QUATRIÈME PARTIE

Défaut III. Démonstration par Vimposssible.

Ces sortes de démonstrations qui montrent qu'une chose est telle, non par ses principes, mais par quelque absurdité qui s'ensuivrait si elle était autrement, sont très- ordinaires dans Euclide. Cependant il est visible qu'elles peuvent convaincre l'esprit, mais qu'elles ne l'éclairent point ; ce qui doit être le principal fruit de la science : car notre esprit n'est point satisfait, s'il ne sait non- seulement que la chose est, mais pourquoi elle est : ce qui ne s'apprend point par une démonstration qui réduit à l'impossible.

Ce n'est pas que ces démonstrations soient tout à fait à rejeter; car on peut quelquefois s'en servir pour prouver des négatives qui ne sont proprement que des corollaires d'autres propositions, ou claires d'elles-mêmes, ou démontrées auparavant par une autre voie; et alors cette sorte de démonstration, en réduisant à l'impossible , tient plutôt lieu d'explication que d'une démonstration nouvelle.

Enfin, on peut dire que ces démonstrations ne sont recevables que quand on n'en peut donner d'autres; et que c'est une faute de s'en servir pour prouver ce qui peut se prouver positivement : or, il y a beaucoup de propositions dans" Euclide qu'il ne prouve que par cette voie, qui peuvent se prouver autrement sans beaucoup de difficulté.

Défaut IV. Démonstrations tirées par des voies trop éloignées.

Ce défaut est très -commun parmi les géomètres. Ils ne se mettent pas en peine d'où les preuves qu'ils apportent sont prises, pourvu qu'elles soient convaincantes ; et cependant ce n'est prouver les choses que très -imparfaitement, que de les prouver par des voies étrangères, d'où elles ne dépendent point selon leur nature.

C'est ce qu'on comprendra mieux par quelques exemples. Euclide, livre I, proposition 5, prouve qu'un triangle isoscèle a les deux angles sur la base égaux en prolongeant également les côtés du triangle , en faisant de nouveaux triangles qu'il compare les uns avec les autres.

Mais il n'est pas incroyable qu'une chose aussi facile à prouver que l'égalité de ces angles, ait besoin de tant d'artifice pour être prouvée, tomme s'il y avait rien de plus ridicule que de s'imaginer que cette égalité dépendit de ces triangles étrangers;

au lieu qu'en suivant le vrai ordre, il y a plusieurs voies trèsfaciles, très-courtes et très-naturelles pour prouver cette même égalité.

La kV du livre I , où il est prouvé que le carré de la base qui soutient un angle droit est égal aux deux carrés des côtés, est une des plus estimées propositions d'Euclide; et néanmoins il est assez clair que la manière dont elle y est prouvée n'est point naturelle, puisque l'égalité de ces carrés ne dépend point de l'égalité des triangles qu'on prend pour moyen de cette démonstration, mais de la proportion des lignes, qu'il est aisé de démontrer sans se servir d'aucune autre ligne que de la perpendiculaire du sommet de l'angle droit sur la base.

Tout Euclide est plein de ces démonstrations par des voies étrangères.

Défaut V. N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.

C'est ici le plus grand défaut des géomètres. Ils se sont imaginé qu'il n'y avait presque aucun ordre à garder, sinon que les premières propositions pussent servir à démontrer les suivantes; et ainsi, sans se mettre en peine des règles de la véritable méthode, qui e6t de commencer toujours par les choses les plus simples et les plus générales, pour passer ensuite aux plus composées et aux plus particulières, ils brouillent toutes ehoses, et traitent pêle-mêle les lignes et les surfaces, les triangles et les carrés, prouvent, par des figures, les propriétés des lignes simples* et font une infinité d'autres renversements qui défigurent cette belle science.

Les éléments d'Euclide sont twat pleins de ce défaut. Après avoir traité de l'étendue dans les quatre premiers livres, il traite généralement des proportions de toutes sortes de grandeurs dans le cinquième. Il reprend l'étendue dans le sixième, et traite des nombres dans les septième, huitième et neuvième, pour recommencer au dixième à parler de l'étendue. Voilà pour le désordre générai ; mais il est rempli d'une infinité d'autres particuliers. Il commence le premier livre par la construction d'un triangle équilatère , et vingt -deax propositions après, il donne le moyen général de faire tout triangle de trois lignes droites données, pourvu que les deux soient phts grandes qu'une seule; ce qui emporte la construction particulière d'un triangle équilatère sur une ligne donnée.

Il ne prouve rien des lignes perpendiculaires et des parallèles