VI. — LA RÉFORME DE LA LOGIQUE FORMELLE. — LA LOGISTIQUE

La logique qui vient d'être exposée est en grande partie la logique d'Aristote ou s'en déduit directement. Mais nous avons vu que, dans la dernière moitié du \ixc siècle, des logiciens avaient profondément remanié la logique formelle en s'inspirant dos méthodes et des procédés du raisonnement mathématique, méthodes cl procédés que le xix" siècle a analysés el constitués avec la dernière rigueur. Ils ont terilé d'établir une logique formelle phi- générale et plus complète que la logique d'Ârtstote. A L'aide d'opérations simples, régies par des règles inflexibles comme le calcul et pouvant s'exécuter mécaniquement comme lui, les logiciens modernes ont voulu établir avec les termes, signes des idées, et avec les propositions, expressions des jugements, toutes les formes possibles de raisonnements, c'est-à-dire tous les enchaînements possibles d'idées et de jugement. En appliquant les règles qu'ils donnent, on est donc sVir de construire toutes les démarches concluantes de notre pensée, absolument comme, en appliquant les règles de l'arithmétique ou de L'algèbre, on est sûr d'obtenir les résultats numériques exigés par les prémisses du problème. Raisonner revient donc à calculer, conformément à certaines règles, des combinaisons de signes. Si toutes les règles sont suivies, la conclusion à Laquelle on arrive est la conclusion acquise par la pensée. Celte algèbre de la I gique qu'il faut se garder de confondre avec la Logique de L'algèbre, puisqu'elle est toute la logique formelle, et à laquelle on a donné Le nom de logistique, s cet avantage que les signes sur Lesquels elle opère peuvent représenter indifféremment des termes, c'est-à-dire

des concepts, OU des propositions, c'est-à-dire des jugements, ce

qui t'ait que les mêmes opérations nous donnent la logique du jugement ou la logique du raisonnement.

Bile a eu pour point de départ la théorie de la quantification du prédicat inventée par Bentham et développée par H ami l ton. m D'après l'ancienne logique, le sujet de toute proposition a une quantité, il est universel ou particulier, il «si quantifié, leprédical ne l'est ; Je dis, par exemple : Tous les hommes sont mortels, les triangles sont les figures à trois cotés, sans attribuer une quantité déterminée aux prédicats « mortels », et « figures à trois côtés D'à llamilton ce serait là un défaut de langage, En fait, dans la pensée,

53î LOGIQUE

une quantité serait attribuée au prédicat : dire les hommes

sont mortels, c'est penser « tous les hommes son I quelques mortels, puisqu'il y a d'autres mortels que les hommes. Dire les triangles sont les ligures à trois côtés, c'est dire tous les triangles sont toutes les figures à trois côtés, puisqu'il n'y a pas d'autres figures à trois côtés que les triangles. Or la logique doit exprimer explicitement ce qui est implicitement contenu dans la pensée. Voyons donc ce qui est au fond de l'acte par lequel nous unissons cm prédicat h un sujet. Une notion est l'idée de L'attribut commun ou de l'ensemble des attributs communs par Lequel différents individus distincts se ressemblent. Elle implique par conséquent Ja perception et la comparaison d'une pluralité d'objets et la reconnaissance en eux d'éléments semblables. Elle est donc un tout idéal que l'esprit forme pour classer les objets qu'il perçoit. Qu'est-ce maintenant qu'attribuer un prédicat à un sujet? C'est penser ce sujet. Objet individuel ou notion sous ou dans une notion donnée. Dire, par exemple, l'homme est animal, c'est placerla notion homme sous ou dans la notion animal. xMais, pour placer ainsi une notion dans une autre notion, c'est-à-dire pour affirmer qu'elle appartient à telle ou telle classe, il faut savoir qu'elle y occupe une certaine place, sans cela comment l'y faire entrer? Si, par exemple, nous ignorons que le concept homme occupe une certaine place dans le concept animal nous ne sommes pas obligés de dire que homme faitparlie de la classe animal. îl y a plus. Non seulement pour penser un concept sous un autre, il faut savoir que l'un est partie de l'autre, mais il faut savoir encore quelle portion il en occupe. Une notion est en effet une unité factice de la pensée. L'étendue est égale au nombre des objets dont elle exprime les éléments communs; d'autre part, penser un objet c'est le faire entrer dans une notion ; il en résulte qu'en le pensant nous délimitons exactement la partie qu'il occupe dans la classe à laquelle il est rapporté. Le prédicat est donc toujours nécessairement pensé avec une quantité donnée égale à la quantité du sujet. Il y aurait, par suite, non pas seulement quatre, mais huit espèces de propositions :

1° Les affirmations toto-totales, dans lesquelles sujet et prédicat sont pris dans toute leur extension : tout triangle est trilatéral ;

2° Les affirmations toto-partielles dons lesquelles le sujet est pris universellement et le prédicat particulièrement; exemple : tout triangle est quelque figure;

3° Les affirmations parti-totales, dans lesquelles le sujet est particulier et le prédicat universel ; exemple : quelque figure est tout triangle ;

4° Les affirmations parti-partielles, dans lesquelles sujet et pré-

Notions DB LOGIC FORMELLE 535

dicat sont tous les deux particuliers; exemple : quelques figures équilatérales sont quelques triangles :

5° Les négatives toto-totales dans Lesquelles le sujet eu toute son extension est exclu du prédicat ; exemple : aucun triangle n'est aucun carré ;

Les négations toto-particlles, où le sujet entier est exclu de L'extension seulement du prédicat; exemple : aucun triangle n'est quelque figure équi latérale ;

7° Les négatives parti- totales, où une partie seulement du sujet est exclue de l'extension de l'attribut; exemple : quelque figure équi latérale n'est aucun triangle;

8° Les négatives parti-partielles, où une partie de l'extension du sujet est exclue d'une partie seulement de l'extension du prédicat : exemple : quelque triangle n'est pas quelque figure équi latérale.

Par suite, toutes les propositions pourraient se convertir simplement, puisque, dans les théories de l'ancienne logique, l'obstacle à la conversion simple était, dans les cas où elle n'était pas possible, l'inégale extension du sujet et du prédicat. Enfin toutes les propositions se réduiraient au fond à des équations entre le sujet et le prédicat, puisque l'un el l'autre sont égaux dans L'extension. Le type du syllogisme serai! alors le suivanl : A = B, U =C,d -ne A = C. Raisonner, ce ne serait donc pas fa re rentrer une notion dans une autre, mais substituer dans des propositions données des notions équivalentes à d«>s notions équi va entes. Tous les syllogismes reposeraient sur le principe de substitution des semblables Stanley Jevons), en vertu duquel dans toute proposition une notion équivalente peut être substituée à une notion équivalente. Ainsi toute différence fondamentale s'effacerait entre les syllogismes mathématiques qui assemblent des notions ou équivalentes et les syllogismes proprement dits qui assemblent des notions qualificatives : hommes, etc. • l<L 62 .

On voit que d'emblée la théori de Hamilton oonsidère les concepts uniquement au point de vue de l'extension ainsi que i l'avons fait ci-dessus, d'après Liard, dans la théoriedu syllogisme .

C'est ce point de vue que les r ■ orm iteurs de la logique formelle maintiennent exclusivement contre le point de vue de la compréhension et de la qualité pure, qui fut celui d'Arislole, celui de la théorie classique, partiellement celui de Leibniz, et qu'a repris de nos jours Lachelier.

Mais si grands que soient ivantages, la quantification du

prédicat ne nous donne encore me notation symbolique et [dus précise de la logique traditionnel le. Ils'agit de pousser plusloii

536 LOOIQl i.

core dans cette voie et de faire de la logique déductive linstrumenl universel de la pensée raisonnante.

Ou ambilionne la création d'une logique où la différence essentielle du point de vue de la qualité et de la quantité s'efface pour faire place, à un point <le vue absolument général reposant sur le principe de la substitution des semblables et permettant de traiter aussi bien et en môme temps des raisonnements mathématiques, que des raisonnements conceptuels ordinaires ou qualitatifs.

C'est ee que se sont efforcés de faire Boole, Schrôder Mac Cullogh Peano, Russe!, Vailali, Whitehead, Couturat, etc. Bien queces systèmes soient d'un maniement difficile et dépassent la portée d'un exposé élémentaire, il convient d'en donner un aperçu général et sommaire en insistant sur leurs fondements communs.

Pour les bien comprendre, il faut apprécier d'abord en quoi la logique formelle traditionnelle a paru trop étroite aux novateurs, et ensuite comment ils la transforment pour en faire l'instrument vraiment universel de l'enchaînement et de l'expression de nos pensées.

a) La logique. d'Aristote est trop étroite ;

1° Parce qu'elle n'est qu une logique de classes, Ses trois principes, identité, contradiction, tiers exclu, ne peuvent servir qu'à classer les termes pris chacun en eux-mêmes, c'est-à-dire, les concepts isolés, selon l'ordre dans lequel ils peuvent se subsumer, s'impliquer, c'est-à-dire se servir réciproquement de sujets et d'attributs — et du point de vue de la compréhension surtout, puisqu'on négligeait même la quantification du prédicat, c'est-à-dire son extension réelle. Mais ce classement des concepts, dans l'ordre de la compréhension, ne fait en somme qu'établir les conditions du concevable dans le sens le plus large, qui est aussi le plus vague.

Pour penser il faut respecter ces conditions et cet ordre de classement, c'est évident. — Les nier ce serait nier la pensée, et en ce sens il faut respecter les règles de la logique d'Aristote. Mais il faut en outre respecter d'autres conditions et d'autres règles. La logique d'Aristote ne fait qu'établir les conditions préalables dont on ne peut rien tirer de réel au point de vue de la pensée, si l'on ne va plus loin. On ne pense pas en effet avec des termes isolés, mais avec des propositions. Toute pensée est une proposition, c'est-à-dire un ensemble de termes liés ensemble, c'est un terme composé. Et la logique formelle doit compléter la logique traditionnelle des classes, par une logique, des propositions, en faisant subir à celles-ci, c'est-à-dire aux termes composés, les mêmes opérations ou des opérations analogues. 11 s'agit de voir comment les propositions se subdivisent et s'impliquent, se classent, pour

.notions DE LOGIQUE FORMELLE

rendre possible la déduction, c'est-à-dire le raisonnement concluant. 2" D'autre part la Logique traditionnelle en traitant des propositions, ne s'occupe que des relations d'inclusion, c'est-à-dire de ces

relations entre les concepts <|ni sont marquées par le verbe être, et <Je celles-là seulement, en un mol des seules relations d'attribut à sujet, de qualificatif à qualifié. Mais, à côté de ces relations, n'y en a-t-il pas quantité d'antres qui sonl marquées dans I»' Langage par les relatifs, les prépositions, les conjonctions, par les cas dans Les Langues à désinence. Il faut Les considérer si Ton vent faire de la Logique L'instrument universel de L'expression «le toutes nos pensées valides. L'analyse de La pensée et du langage esl toul à fait insuffisante; chez Aristote, il Tant la poursuivre pins a fond.

La Logique traditionnelle essayait d'éluder cette insuffisance manifeste par un artifice puéril. Elle décomposait les propositions autres que les propositions de qualification du type « Dieu esl bon », de la façon suivante : je viens de Paris, devenait : je suis venant de Paris. Mais on voit tout de suite qu'elle aégligeait une réelle relation de la pensée — la plus importante de beaucoup dans L'exemple cité — la relation de L'éloignemenl d'un lieu donné. De plus, même là où le verbe esl en apparence le verbe ôlre, comme A est semblable à H, A est plus grand, plus petit que IL A est le pi'/-/' de II, est le lieu di' l>, etc. : la copule réelle n'est pas la relation exprimée par être tout court, mais bien la relation exprimée par l'ensemble de L'expression. La preuve en est <jue m Ton convertit la proposition, on ne prendra pas pour sujet : semblable à B, mais bien H tout court, et on dira \\ vA semblable à A.

b Comment remédier à ces très (/rares lacunes. — 1° Pour ^uhstituer la considération des propositions à celle des concepts, et faire une Logique qui vailleaussi bien pourassembler les propositions que If- termes idoles, Boole a remarqué que L'opération déductive en quoi consiste le syllogisme revient à éliminer le moyen terme, dans un système de trois termes, comme <>n élimine une inconnue dans un système d'équation à deux inconnues. En généralisant celte remarque, on peut dire que toute opération déductive, que tout rai-

anemenl concluant revient à ceci : « Etant donné an système d'un nombre quelconque de termes, éliminer autant de moyens termi quon voudra et déterminer tontes les relations impliquées par

prémisses entre lés éléments qu'on désire retenir.

La Logique tonnelle doit devenir la théorie générale de ['élimination. Or l'algèbre, dans la théorie des équations, oouse déjà m en lace d'une théorie de L'élimination; mais L'élimination ne porte là jamais que sur des quantités. Est-il possible d'élarf dé

de calcul, jusqu'à le l'aire porter aussi bien sur 1"- qualités que

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sur les quantités, sur les concepts e1 les propositions aussi bien que sur les nombres el les relations numériques. Certainement, puisque te mathématicien ne Meut rompu- tant qu'il raisonne, que des opérations àeffectuer sur des symboles, abstraction faite de toute interprétation de ces symboles, de toute considération des cho concrètes qu'ils représentent.

Quelles seront alors les règles à observer dans ce calcul nouveau. Nous ne savons pas a priori si elles seront les mêmes que dans le calcul algébrique.

Mais, pour les formuler, il faut et il suffit d'analyser toutes les opérations de l'esprit engagées dans la déduction, les représenter par des symboles, et établir les rapports qui peuvent Être établis entre ces symboles, c'est-à-dire définir les opérations dont ils peuvent être susceptibles pour correspondre aux opérations réelles de la pensée. C'est l'œuvre qu'ont réalisée Peano, Russel et Couturat.

Ils ont commencé (et cela est absolument conforme à la marche réelle de la pensée défigurée dans le syllogisme catégorique, dans le syllogisme-type d'Aristote) par poser tout syllogisme sous la forme hypothétique, qui est bien la forme véritable et vivante du processus déductif. Si A est vrai, Best vrai, si B est vrai, Cest vrai, etc. La théorie du syllogisme hypothétique n'est alors que l'ensemble des lois suivant lesquelles se combinent dans les articulations de notre pensée la conjonction, si, etlanégation ne... pas. C'est essentiellement leur syntaxe. Les conjonctions et, ou qui interviennent également dans le syllogisme hypothétique s'y trouvent jouer le même rôle et se traitent par conséquent de même façon que les signes algébriques >: et -f-.

L'un définira la multiplication logique avec les mêmes propriétés que la multiplication algébrique : distribut ivité et commutativilé; l'antre définira l'addition logique avec les mêmes propriétés que l'addition algébrique : associativité , et commutativité. On définira ensuite deux symboles, deux classes 0 et 1 dont le premier représentera toutes les propositions impossibles ou fausses, le second les propositions vraies. Pour manier cette symbolique, les rénovateurs de la logique formelle ont pu élaborer un procédé régulier de développement, permettant d'arriver, en partant de prémisses données, à toutes les conclusions qu'elles comportent valablement et à celles-là seulement. Ce procédé est l'ensemble des moyens automatiques, qui permettent d'éliminer les moyens.

Il se trouve que toutes ces règles concordent purement et simplement avec celles qui président, en algèbre, à la résolution des 1 équations, par rapport aux inconnues, et à l'élimination des

inconnues. La méthode du calcul logique n'est dune autre, on le sait maintenant, que la méthode du calcul mathématique.

Ou arrive ainsi à énoncer explicitement dans te Langage tout ce qui est contenu dans la pensée. En résumé, riant posés € en tain tiennes ou certaines propositions, on peut en déduire toutes les relations qu'ils comportent, </ur ces relations soient déjà connues ou, au rontr/iire, inconnues ou non explicitement connues, tandis que la logique d'Aiistole ne permettait de déduire que les relations dé connues.

La nouvelle Logique formelle serait donc aussi une véritable méthode inventive, c'est-à-dire propre à la suggestion de pensées absolument nouvel!

Mais jusqu'ici nous n'avons encore fait ([n'étendre la logique de l'inclusion. Il s'agit maintenant de compléter celle-ci qui n'est que 1-9 préface nécessaire mais seulement la préface de la logique, en comblant la seconde lacune signalée plus haut dans la critique

de La. logique traditionnelle. Il faut étendre nos opérations Logiques

aux cas — les plus nombreux de beaucoup — où la copub- n'est plus le verbe être, ou le seul verbe être. Ici les choses deviennent infiniment plus compliquées et plus difficiles.

La méthode suivie par les Eogistictens peut être a peu près esquissée comme suit : On s'adressera aux différent ences où règne

déjà le mode d'exposition et de déveb ppement déductils. et on élargira el complétera les relations déjà étudiées par l'analyse et l'élude des relations nouvelles qu'elles nous offrent.

On essaiera ensuite de relier déductivement ces relations nouvelle- aux relations envisagées dans la logique île l'inclusion.

En effet, on peut remarquer que fa logique de l'inclusion ne cor respond guère — au point de vue des «dément- mis en jeu, — qu'à la théorie des ensembles de points dans leurs relations d'identité et d'inclusion, théorie que nous rencontrons dans l'analyse, où la théorie des ense m'oies tend de plus en plus à devenir fondamentale.

1) .Mitre part, dans la théorie des fonctions l< giques au stade de ta logique de l'inclusion, les variables ne peuvent jamais prendre que x valeurs Oet 1 .

Elle se restreint donc à la forme a c, qui n'est évidemment

satisfaite que pour les valeurs de ./■ : 0 el 1.

Il faut passer de ces relations extrêmement limitées, à toutes celles qu'eux isageirt l'analyse, puis la géométrie, puis la mécaniqu pins la pbysique mathématique, etc. Autrement dit, il faut que les axiome*, les postulats, les principes, qui différencie ni ces différents développements scientifiqu van *ii$sen1 en tant qu'existen

elle et ne soient plus que des définitions dé§ l\n

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rèmes permettant le développemenl complet de la science 6 l'aide «1rs seuls axiomes de la logique formelle.

Alors ion les les notions envisagées dans ces champs de Tin vestiga (ion rationnelle, ne seront plus que les pièces d'un universel formalisme. La simple déduction logique permettra d'y passer d'une notion à l'autre, sans recoins à l'intuition.

Toute la science sera une promotion de la logique. Ainsi se trouverait atteinte l'ambition de Descartes et de Leibniz, fondée sur la philosophie ou la science (ici c'est tout un) universelle et éternelle.

Il paraît difficile d'admettre que Ce rêve gigantesque sera réalisé dans cette voie, qui n'est autre qu'un rajeunissement de la scolastique, Les tentatives effectuées jusqu'ici concernant la géométrie et même l'analyse n'ont pas paru à l'abri delà critique, surtout en géométrie métrique. L'indication et la mise en marche de développements nouveaux, dans chaque branche de la connaissance ne seront-elles pas toujours en elï'et apportées par une intuition extérieure au formalisme logique, par une expérience quelconque? Et ce formalisme sera-t-il jamais autre chose qu'une exposition et une mise en forme de résultats acquis par ailleurs? Quoi qu'il en soit, il semble cependant bien certain que, comme logique de l'exposition et comme analyse de l'instrument d'expression de notre pensée, comme technique de la validité de cette pensée aussi, la logistique marque un progrès considérable sur la logique traditionnelle.