III. — ORIGINES DE LA NOTION DE NOMBRE

Les premières notions qui concernent l'ordreetlenombre paraissent remonter très haut dans l'histoire de l'homme. Peut-être même certaines espèces animales sont-elles susceptibles de compter clans des limites extrêmement restreintes, 3 ou 4 par exemple; c'est ce qui semble ressortir d'observations faites par des naturalistes. « Une expérience conduite avec méthode par Romanes a montré qu'un chimpanzé peut compter jusqu'à 5; distinguer les mots qui désignent 1, 2, 3, 4, 5, et au commandement présenter le nombre de brins de paille qu'on lui demande. Il y a là une forme de numération concrète à peu près indiscutable » ; chez le primitif, l'opération garde cette apparence concrète : compter, c'est simplement percevoir une pluralité sans que l'abstraction y soit pour rien : ce qui est fort loin de la notion que nous avons du nombre actuellement. « Le nombre, sous sa forme abstraite et tel qu'il résulte d'une élaboration séculaire, consiste en une collection d'unités semblables ou réputées telles. » Il implique donc deux notions plus simples : celle d'unité et celle de collection.

A. Notion d'unité. — La notion d'unité semble avoir son point de départ dans l'expérience, d'abord sous une forme concrète. « Quoiqu'elle puisse entrer dans la conscience par plusieurs portes, quelques psychologues, sans raisons légitimes, ont attribué son origine à un mode déterminé de perception externe ou même interne

HISTOIRE DE LA Ml-.'l HODE DES SCIENCES MATHÈMATIQI ES

qu'ils ont choisi à. l'exception de tout autre. » Pour les uns, c'e<t le toucher; là où il y a des pleins et des vides, où il y a discontinuité on aperçoit une pluralité, et on a l'idée de La nombrer, c'est-à-dire dé compter à chaque discontinuité une unité nouvelle. Pour d'autres, c'est la vue : la perception d'images simultanées laissant entre elles des lacunes dans le champ visuel, remplacerait l'opération du toucher. Pour d'autres enfin,, ce sont les sensations sonores qui, séparées par des intervalles de silence, ont donné à L'homme l'idi e de nombre et d'unité.

« A Tencontre de ceux qui cherchent l'idée d'unité dans les événements extérieurs, il y a ceux qui L'attribuent à la pure expérience interne. On a soutenu que la conscience de notre moi était le prototype de l'unité arithmétique. Mais il semble que cette notion de formation très tardive ne soit pa< semblable, en tant qu'unité', à L'unité arithmétique. »

La thèse de James est très supérieure : « Le nombre semble primitivement signifier les différents actes de notre attention quand nous essayons de distinguer les choses. Ces actes restent dans la mémoire en groupes, grands ou petits, et les groupes peuvent être comparés entre eux. » (James, Psychol., t. II, p. 263.)

Ainsi L'idée d'unité émanerait île notre expérience intime et serait le résultat d'une abstraction spontanée par laquelle nous isolerions nos actes successifs d'attention, des choses, des objets auxquels nous taisons attention.

Quoi qu'il en soit de ces théories, on peut dire qu'à l'origine il n'y a pas perception claire de l'unité d'abord, de la pluralité ensuite ou inversement.

« Il y a un état confits, indéfini, don sort l'antithèse du continu et du discontinu, équivalent primitif de l'imité et de la pluralité. Il a fallu des siècles pour arriver ii la notion précise de l'unité abstraite telle qu'elle a existé dans L'esprit des premiers mathématiciens, et cette notion est le résultat d'une décomposition ci non d'un acte direct et immédiat de position. » (D'ap. Hi bot, Evolut, des idées génér.y p. 100 et suiv.)

/>. La notion de collection. — La numération. — En même temps donc que se constitue l'idée d'unité, se forme l'idée de collection; leur synthèse donne l'idée de nombre, un nombre étant une collection d'unités.

Rassembler, collectionne!' des unités, d'une façon pr< '. dire les compter, les nombrer, est l'opération que l'on appelle numération. Elle est dite cardinale quand il s'agit de -avoir «l'une façon précise combien la collection enferme d'unités, ordinale.

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quand il s'agit en outre d'ordonner tous les termes qui comp< la collection, en assignant 5 chacun un rang. Il semble que le nombre cardinal, c'est-à-dire l'idée de simple collection, ait précédé L'idée de nombre ordinal, c'est-à-dire d'une organisation

en série, selon nue loi déterminée, de tous les termes de La

lion. En tous cas, logiquement, cette dernière idée paraît plus

complexe.

L'histoire de la numération paraît confirmer la nature expérimentale de la notion de nombre, du moins à C origine % car, comme l'idée d'unité, ridée de collection paraît une suggestion de L'expérience.

L'idée de collection est d'abord une représentation vague et indéterminée. Elle s'appuie surtout sur l'étendue, c'est-à-dire sur la place occupée dans l'espace par l'ensemble considéré. Suivant que cette place est perçue plus ou moins grande, la collection semble elle-même plus ou moins nombreuse. Il y a à ce sujet de très curieuses expériences de Binet : Si Ton étale devant une petite fille de quatre ans qui ne sait ni lire, ni compter, deux groupes, l'un de 15 jetons, l'autre de 18 jetons de môme grandeur, placés a peu près à la même distance les uns des autres dans chaque groupe, la petite fille reconnaît rapidement le groupe le plus nombreux. Si les jetons qui composent le plus nombreux sont plus petits que ceux qui composent l'autre, la petite fille se trompe constamment; elle croit que le groupe où les jetons sont le plus grand, mais le moins nombreux, renferme plus de jetons que l'autre.

« Ce fait ne peut s'expliquer qu'en supposant que l'enfant apprécie d'après l'étendue, non d'après le nombre, d'après la perception de la grandeur continue et non d'après celle de la grandeur discontinue. » (Ri bot, Évolution des idées générales, p. 45!)

Nous avons ainsi peut-être l'explication de ce fait que l'arithmétique et l'algèbre se sont développées à leurs débuts sous une forme géométrique. Le nombre, la collection ont beaucoup de peine à se détacher des étendues occupées par les objets qu'il s'agit de compter.

Tout ce que nous savons d'ailleurs de la numération nous montre que le nombre n'existe pas sans un support imaginatif et c'est dans ces supports imaginatifs qu'il faut peut-être chercher l'origine des différents systèmes de numération.

Chez un grand nombre de sauvages, actuellement, les noms des nombres se confondent avec les noms des doigts (d'où très probablement l'origine de la numération décimale). Le vulgaire compte encore partout sur les doigts.