DE L'ORIENT

Soit que nous examinions l'origine de la notion de nombre et les premières formes de la numération, soit que nous essayions de découvrir l'origine de la notion, d'espace géométrique homogène et intinie, soit enfin que nous recherchions dans les très maigres documents que nous possédons, les premiers rudiments des mathématiques, il semble que nous puissions énoncer ces conclusions : les mathématiques ont été a l'origine un recueil d'observations empiriques très mal et très approximativement établies. L'exactitude, la rigueur qui caractérisent aujourd'hui ces sciences, n'apparaissent nullement dans toute cette période. Celle conclusion est une constatation de fait.

Si nous en cherchons la cause, nous pourrons la trouver d'abord, à ce qu'il paraît, dans l'impuissance de l'esprit humain à s'élever aux formes supérieures de l'abstraction, à ce que les psychologues appellent les abstraits supérieurs, c'est-à-dire à des notions qui ne peuvent pas s'imaginer, car elles ne sont que des rapports. Or, on ne peut que concevoir un rapport à l'aide d'une définition et cette définition ne met en jeu aucune image, si ce n'est des mots et des signes qui par eux-mêmes n'ont aucune ressemblance avec un objet représentable. L'impossibilité de penser les rapports, même les ; lus simples, indépendamment de choses concrètes, voilà ce qui empêche les mathématiques de prendre la forme qu'elles revêtiront plus tard.

Dans toute la période que nous avons examinée et que l'on peut

qualifier de préscientifique, nous ne voyou- que des opérations faîtes sur les objets réels ou sur leurs Images. Noua ne voyons que des esprits absorbés dans le concret el qui ne pcuvenl comprendre qu'à condition de voir une forme concrète.

Une deuxième raison très voisin»1, de la première, pour expliquer l'aspect des mathématiques dans toute celte période, es! que l'intelligence humaine ne travaille que pourchercher des résultats pr tliques. Ce sont la nécessité, le besoin qui créent les premières inventions relatives au calcul, à la géométrie ou à l'astronomie. Ces! pour pouvoir échanger et compter des objets que Ton fait de l'arithmétique. C'est pour pouvoir mesurer la terre que l'on fait de la i métrie. C'est pour pouvoir s'orienter, mesurer le temps que 1 on fait de l'astronomie. La science n'a donc à aucun moment l'aspect de recherche désintéressée qui semble si manifeste clans les mathématiques d'aujourd'hui. Elle se confond encore avec les techniques.

Et comme les techniques chez les peuples primitifs sont extrêmement voisines de rites religieux et de certaines formules magiques, il ne faut pas s'étonner que l'on trouve dans toute cette période et jusqu'au milieu de la civilisation grecque une assimilation étrange, incompréhensible pour nos cerveaux modernes entre les nombres, les figures géométriques et certaines vertus religieuses ou magiques.

Si nous cherchons à nous représenter, avec toutes les réserves qu'un pareil but entraîne à sa suite, des recherches qui, tout près de nous, présentent des caractères analogues, il semble que l'alchimie du moyen âge, la médecine jusqu'au xixe siècle puissent être citées.

Nous retrouvons en effet le môme mélange du point de vue scientifique et du point de vue utilitaire ; l'alchimiste ne cherche pas la constitution des corps, il cherche à faire de l'or; le médecin du xvie siècle ne cherche pas, comme le biologiste moderne, à constituer une science rigoureuse des phénomènes de la vie. Il cherche directement à guérir d'une façon toute empirique. On trouverait encore une relation étroite entre certaines croyances religieuses ou certains rites magiques et l'alchimie ou l'ancienne médecine. Ne peut-on conclure alors que les mathématiques, à l'origine, ressemblent étrangement à toutes les autres sciences considérées dans la môme période. Même dans les parties qui paraissent les plus scientifiques, comme la numération des Babyloniens, l'arithmétique et la géométrie des Egyptiens, les résultats approchés que Ton y trouve rappellent par leur forme générale les lois approchées de nos sciences expérimentales.

HISTOIRE DE LA MÉTHODE DES SCI] v< ES MATHÉMATIQUES

VII. — DÉVELOPPEMENT DES MATHÉMATIQUES CHEZ (.ES GRECS. CONSTITUTION DE LA GÉOMÉTRIE COMME SCIENCE RATIONNELLE.

De tout ce qui précède il semble que l'on paisse conclure que levolution historique des mathématiques est allée constamment du eouerel vers ['abstrait, de l'intuition empirique vers la construction rationnelle, des laits particuliers à la coneeplion abstraite de leurs rapports et de la recherche utilitaire vers la recherche exacte et désintéressée. C'est une question de savoir si, dans cette évolution, les mathématiques se sont transformées au point de rompre complètement avec leurs origines expérimentales ou si elles gardent toujours quelque chose qui les rattache à leurs premiers pas. Cotte question constitue le problème de l'idéalisme et de l'empirisme mathématiques, h' premier tenant pour la première solution, le second pour la seconde. Mais en tous cas, au point de vue historique, il paraît difficile de se représenter autrement le développement de ces sciences.

Avec la civilisation hellénique nous voyons apparaître pour la première fois un etîort d'abstraction assez puissant pour donner aux mathématiques leur forme moderne, pour substituer à la considération des fails particuliers celle de leurs rapports abstraits et généraux.

Les Grecs ont vu que, lorsque Ton a une base assez sure et assez solide, il convient de tirer de ces prémisses devenues inébranlables, le plus rapidement possible et aussi le plus rigoureusement, toutes h1- conclusions qu'elles permettent. Pour cela il importe de se débarrasser des images concrètes et d'opérer sur des signes abstraits d'après des procédés qui ne permettront pas l'introduction de Terreur, c'est-à-dire d'après des procédés conformes aux exigences de. la raison. On peut dire, pour résumer cette nouvelle période qui commence dans l'évolution des sciences mathématiques, que tous les efforts vont visera rationaliser l'objet de ces science- et à aller le plus loin possible dans l'abstraction : ce qui ne veut peut-être pas dire que les mathématiques se réduiront à la simple logique et délaisseront au terme toute intuition concrète, mais ce qui veut dire (pie la mathématique fera tous ses efforts pour réduire la pari de l'intuition. 11 ne faut pas s'étonner que les Grées, qui furent les créateurs de la logique, aient été aussi les créateurs des mathématiques : l'un ne pouvait aller sans l'autre.

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La géométrie devient alors science positive, en devenant science rationnelle. Les rapports qui s'établissent entre les objets, par suite de leur situation dans l'espace, les rapports qui unissent telles portions de L'étendue, telles figures, aux éléments qui lesconditionnent, en résumé les propriétés de l'espace et des parties limitées de l'espace, sont ramenées à un petit nombre de rapports élémentaires d'où l'on peut ensuite systématiquement les déduire. I rapports sont les raisons de rapports plus complexes qu'ils permettent ainsi d'expliquer comme leurs conséquences et leurs résultantes. Ces derniers à leur tour permettent de rendre compte de rapports encore plus complexes et ainsi de suite.

La géométrie se présente alors comme un enchaînement qui paît de quelques rapports simples, posés comme propositions préliminaires, comme principes (définitions et axiomes), et va de proche en proche en rendant raison de propriétés toujours plus complexes. Cet enchaînement de raisons et de conséquences qui satisfait complètement notre curiosité, car il explique la conséquence par la raison et l'explique d'une façon rigoureuse et logique, en entraînant l'adhésion entière de notre esprit, est la méthode rationnelle. Si l'on entend par connaissance positive, une connaissance solide, qui sait apporter ses titres à notre confiance, et ne fait appel qu'à la raison, cette science rationnelle est, par cela môme, une science positive.

On pourrait s'étonner que les mathématiques soient devenues positives lorsqu'elles ont abandonné la méthode expérimentale pour la méthode rationnelle, puisque, comme on le verra, à propos des autres sciences, celles-ci deviennent positives en se soumettant à une méthode à la fois expérimentale et rationnelle, le rationnel traduisant l'expérimental.

Mais on peut lever cette objection de deux façons : ou bien en posant, comme les idéalistes, que les mathématiques ont leur fondement non dans l'expérience, mais dans des notions de l'esprit, et alors l'expérience n'ayant plus de rôle, la méthode positive ici n'est que la méthode de déduction rationnelle; — ou bien, si l'on admet, comme les empiristes, que les mathématiques ont une base expérimentale, il faut reconnaître que cette base est extrêmement restreinte. Elle se réduit à des habitudes peu nombreuses que presque inconsciemment l'homme avait contractées depuis les temps préhistoriques et dont nous venons de faire l'histoire: notions d'espace et de nombre, de ligne, de surface, de volume, de position (ou point), de distance, et quelques rapports simples impliqués par ces notions ou construits à leur aide. Aussi, une fois cette base fixée d'une façon inébranlable, on pouvait immédiatement et sans faire appel à des expériences précises opérer d'une façon exclusi-

HISTOIRE DE LA MÉTHODE DES SCIENCES VfATHÉMATIQI

vement rationnelle. Les mathématiques ont un objet si simple que sa représentation expérimentale est en quelque sorte présente constamment à l'esprit et qu'on n'a pas besoin d'y faire appel d'une façon explicite

La géométrie ainsi constituée se développera d'une façon normale. Elle ne subira plus de profondes modifications, saut' celles que l'on doit à Descartes lorsqu'il créa la géométrie analytique. La géométrie analytique est d'ailleurs le résultat d'un nouvel effort d'abstraction. t le dernier pas fait dans la voie de la rationalisation de la science géométrique : ce < i n i explique que cette découverte n'étail possible qu'avec une algèbre largement constituée. L'algèbre néglige en arithmétique les quantités numériques dé Unies, la géométrie analytique néglige en géométrie les constructions figurées définies. Elle ramené toutes les grandeurs géométriques à des grandeurs algébriques, si bien qu'en raisonnant algébriquement, nous pourrons démontrer toutes les propriétés géométriques que nous trouvons dans la géométrie ordinaire, et cela en réduisant le nombre des principes dont nous partons et en donnant plus d'unité s\ stématique à la science. Descartes arrive à ce résultat en introduisant en géométrie une méthode nouvelle et eu faisant de cette méthode une application universelle: la méthode des coordonnées. Tov\{ point d'un plan peut être défini par sa distance à deux lignes se coupant perpendiculairement dans ce plan, dans le système des coordonnées rectilignes ou à une distance et à un angle dans le système des c données polaires. Toute ligure géométrique plane, pouvant être définie par des points, peut être représentée par un système de grandeurs algébriques représentant les distances de ces points aux - pris pour origines. Pour la géométrie dans l'espace, il suffi! d'introduire une troisième coordonnée en prenant par exemple, pour origine dans le système des coordonnées rectilignes, un trièdre rectangulaire.