ET DE L'ALGÈBRE

A) Arithmétique et algèbre des Grecs, encore préscientifiques.— Ce n'est pas du jour au lendemain que l'esprit humain a pu taire l'effort d'abstraction qui permettait de rationalis peu près complètement la science mathématique. Ce1 efforl dure pendant toute la civilisation grecque. Et il ne s'achève pas compl< meut avec cette civilisation. Il ne semble pas en effet que les

r,o. loi

Grecs aient pu concevoir le nombre pur sans une intuition géométrique, el les relations dénombre sans 1rs relations encore concrètes de l'étendue : ce qui explique que, remarquables géomètres, ils furent de très pauvres arithméticiens et algébristes. Aussi résolvaient-ils d'une façon géométrique à peu près toutes les questions numériques; la théorie des nombres, dans Euclide, est toute géométrique. Ils ne voient vraiment bien les rapports numériques que lorsqu'ils se les représentent d'une fa<;on géométrique.

biopkante (325-409 ap. J.-C.) passe pour l'inventeur de l'algèbre; c'est dans ses écrits que, pour la première fois, non-, voyons négliger nettement la représentation géométrique des grandeurs quand leur valeur numérique est inconnue. Il représente les nombres cherchés par des lettres, et il écrit l'indication des calculs qu'il faudrait effectuer pour vérifier leurs valeurs si on les connaissait. Par là il obtient des relations entre les quantités connues et les inconnues ; il amène ces relations à des formes équivalentes, à des équations, par lesquelles les valeurs des inconnues sont mises en évidence. Cette méthode est bien la méthode algébrique. Mais il faut remarquer qu'elle est encore fortement imprégnée d'empirisme dans ses applications. Pour qu'une méthode de ce genre puisse être constituée d'une façon précise et définitive, il faut nécessairement que l'on ait imaginé un système de signes bien approprié aux services qu'il doit rendre. Or on ne trouve rien de tel dans l'algèbre de Diophante et de ses successeurs. Le symbolisme opératoire se développera d'une façon tout à fait empirique, selon les besoins et les circonstances, et personne ne songera à chercher un système unique qui puisse non seulement se prêter à toutes les applications qu'on en attend, mais qui soit assez simple, assez souple et assez précis pour suggérer des applications nouvelles. Gela tient évidemment à une insuffisante puissance iV abstraction.

B) Les Hindous et les Arabes : L'arithmétique devient une science systématique. — Chez les Hindous, l'arithmétique, grâce au système de numération qu'ils inventent et qui est devenu le nôtre, se transforme en science positive et rationnelle. Ces travaux semblent remonter à 300 ans après Jésus-Christ; mais c'est surtout entre 1100 et 1200 que la mathématique indienne arrive à établir à peu près la théorie du calcul. Le système de position qui assigne dans la numération à chaque chiffre une valeur suivant su place, les règles de calcul qui y sont attachées et qui sont devenues les règles de nos quatre opérations, sont nettement énoncées dans la mathématique hindoue. Le chiffre 0, très imporlantdans ce système de numération, se trouve déjà dans des ouvrages du v* siècle

HISTOIRE DE LA MÉTHODE DES SCIEM kTHÉMATIQI ES

apr^s Jésus-Christ et il marque un puissant effort d'abstraction. Il est vraisemblable que les Arabes, dès le moyen âge, ont dû beaucoup à la mathématique hindoue. Iles! en tout cas incontestable qu'à la fin du moyen âgCi les Occidentaux sont en possession d'un système de numération éminemment pratique, qui est aussi rationaliste, dans son genre, aussi abstrait, que I»' système des représentations «métriques des Grecs dans le sien.

Grâce à ce système, l'objet de L'arithmétique et de l'algèbre est devenu lui aussi transparent pour la raison; on peut sortir de l'empirisme des cas concret- et particuliers dans lesquels étaient confinés les Grecs et même jusqu'à un certain point les Hindous pour construire une sciem tématiqueel générale.

C) Apparition des différents signes dans le calcul. — C'est à partir de ce moment qu'apparaissenl les différents signes qui symbolisenl les opérations les plus générales : les signes -j- et — qui remontent au xiu° siècle et se sont vulgarisés en Allemagne vers !«' w ; le signe de l'égalité qui ne sera véritablement adopté que vers le xvnV siècle.

Les origines de l'exposant introduit sous sa forme actuelle par Descartes, en 1637, remontent au delà du xiv siècle, puisque noua trouvons l'exposant négatif au wc et l'exposaiil fractionnaire au xive. La notation chiffrée pour l«i> radicaux est postérieure, de môme que l'usage des parenthèses, pour soumettre tous les termes (Tune polynôme à lamême opération. Les signes de multiplication et de division n'apparaissent qu'à la lin du xvue siècle.

Ces signes sont intéressants parce que leur emploi généralisé et unifié n'indique pas seulement l'adoption, par les savant-, d'un moyen commode pour s'entendre, mais encore une puissance d'abstraction suffisante à la création d'une science qui s'impose tomme nécessaire et universelle, et qui rallie tous les esprits par ses méthodes, ses procédés et ses résultats. C'est l'indice que l'algèbre esl assez forte et as^ez clairement conçue pour s'imposer comme une science positive et rationnelle,

/)) Viète : l'algèbre se systématise. — L'algèbre en eiïet est définitivement rationalisée, devient un corps scientifique définitif avec Viète, qui vécut de 15V0 à 1603. GVst lui qui se met à employer d'une façon systématique les lettres b la place des nombi et i\^> signes symboliques pour indiquer d'une faç< île cer-

taines opérations. Certes, déjà, chez les Pythagori employait

signes el des lettres pour indiquer des opérations mathématiques.

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Mais Viète a vu qu'au lieu d'employer ce procédé au hasard des circonstances et pour les cas particuliers qui - y prêtaient d'une façon très naturelle, il fallait en faire une méthode générale. C'est on cela queconsiste véritablement la grandeur de sa découverte. Avec elle, l'intuition <lu nombre n'est plus nécessaire. De même qu'avec les Hindous l'intuition du nombre avait pu se pas r définitivement de l'intuition géométrique. Viète s'éièveà l'intuition de la quantité, quelle qu'elle soit, et de l'opération, sur quels nombr< 9 que ce soit. Il conçoit abstraitement, en dehors de toute donnée numérique, le mécanisme opératoire, l'agencement des opérations qui peuvent conduire des données d'un problème à sa solution. Par là il établit une formule générale qui servira à tous les problèn es analogues et permettra d'arriver à la solution, quelle que soit la valeur particulière des données.

Il fait un nouveau pas, considérable, dans la recherche des rapports les plus généraux qui permettront de rendre compte d'une multitude d'autres (de toutes les propriétés ou relations quantitatives), par une déduction systématique. Cette généralisation nouvelle est aussi importante que celle qui a permis aux Grecs de déduire de quelques relations toutes les propriétés géométriques, et que celle par laquelle les Hindous et les Arabes s'élevèrent aux principes de l'arithmétique.

Viète s'élève (théorie des équations) à une abstraction encore plus haute. Il conçoit des méthodes générales pour traiter tous les problèmes. « La science de bien trouver en mathématique comprend les quatre opérations arithmétiques appliquées aux polynômes, les règles générales pour réduire les équations à la forme canonique, c'est-à-dire pour isoler les termes connus des inconnues et une esquisse magistrale de la théorie générale des équations. »

E) Stévin et la mécanique rationnelle. — Vers la mémo époque à'^um aperçoit la possibilitégénérale de représenter des forces, par des segments, et de ramener toutes les propositions de mécanique aux propositions géométriques : c'est la création de la mécanique rationnelle. Il faut remarquer que cette création marquait de nouveau un progrès considérable fait dans l'abstraction, puisqu'elle ramenait de nouvelles intuitions empiriques au symbolisme mathématique et qu'elle permettait une nouvelle extension de cette dernière science en introduisant l'idée de grandeur dirigée et d'expressions algébriques représentant non seulement des nombres ou des figures, mais encore des directions dans l'espace.

Jusqu'ici les progrès faits dans l'abstraction permettaient de

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traiter les grandeurs finies et déterminées; mais on n'avait pas encore conçu des grandeurs n'existant que comme rapports entre grandeurs variables. Pour cela il faut abandonner résolument toute intuition de grandeur, môme algébrique, et s'élever à la notion purement abstraite d'un rapport entre des grandeurs variables, c'est-à-dire de fonction.

F) Le calcul infinitésimal. — L'invention du calcul infinitésimal réalise ce dernier progrès. On appelle encore le calcul infinitésimal analyse^ et Viète avait déjà donné ce nom à son algèbre. Il esl certain que ce mot exprime très bien l'effort continuel de l'esprit dans la création des sciences mathématiques. C'est par une série d'abstractions qui diminuent constamment la part de L'intuition et réduit progressivement les notions que l'on considère à quelques cléments très simples que progresse la mathématique. Les cas les plus complexes ne sont plus alors considérés que comme des combinaisons, des synthèses opérées avec ces éléments par un raisonnement qui n'obéit qu'aux lois rigoureuses de la logique. La mathématique est donc bien une succession d'analyses ou, plus exactement, une analyse qui pénètre toujours plus profondément les objets sur Lesquels elle porte.

Le calcul infinitésimal repose essentiellement sur l'idée de limite, et sur celle de fonction, grossièrement parlant. 11 s'agit de trouver la valeur du rapport qui lie, à chaque instant, la variation de la fonction à celle de la variable dont elle dépend [calcul différentiel), puis, connaissant ce rapport, de retrouver la fonction dont il exprime la loi génératrice [calcul intégral). On comprend quel effort d'abstraction il fallait pour concevoir la notion pure et simple du rapport des variations de deux grandeurs, indépendamment de toute valeur déterminée de ces variations, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend ce rapport lorsque les deux variations deviennent aussi petites que l'on veut, autrement dit infiniment petites (d'où le nom de calcul infinitésimal).

Fermât^ à la suite des travaux de Galilée et «le CavaHerit tenta les premières généralisations de cette méthode et trouva, par suite, quelques applications particulières du calcul intégral, tandis que Descartes, par son étude des tangentes, conçue il est vrai d'une façon toute géométrique, s'acheminait vers la découverte du calcul différentiel. Ainsi, au xvi" <it au xvn8 siècle, l'ensemble des problèmes capitaux du calcul différentiel et intégral, c'est-à-dire de l'analyse infinitésimale était résolu pour les fonctions alors en usage, mais il ne l'était que comme solution particulière de questions dont les données étaient bien déterminées et représentées

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toujours d'une façon plus ou moins intuitive; on ue p< ssédait ni méthode générale ni notions su fiisamment abstraites el rationnelles pour permettre l'établissement «le cette méthode. Chaque géomètre avait d'ailleurs ses notations particulières, et tout ce qui ce rapportait ô celle branche «lu calcul algébrique ressemblait tout à fait a l'étal de L'algèbre, des grandeurs finies avant les travaux de Viète.

Newton et Leibniz, vers 1667, firent pour le calcul infinitésima (|iie Viète avait fait pour l'algèbre ordinaire. Ils conçurent un symbolisme opératoire et en même tempsdes défini ti< us înéralog et une méthode universelle pour traiter tous les cas analogue en cela qu'ils méritent le litre d'inventeurs du calcul infinitésimal.

D'ailleurs ils furent loin de pousser leurs investigations jusqu'à leur terme et de nous livrer une méthode absolument universelle appuyée sur des principes définitifs. On peut dire que, jusqu'à la deuxième moitié du xixe siècle, le calcul inlinitésimal a manqué de rigueur logique; cela vient de ce qu'il est extrêmement difficile d'arriver a une abstraction assez forte pour se représenter, sans le secours d'intuitions particulières, les notions nécessaires au développement du calcul infinitésimal, ces notions étant extrêmement loin de l'imagination, même d'une imagination rompue aux habitudes mathématiques.