MÉTHODE DEDUCTIVE. SCIENCES MATHEMATIQUES

'.a théorie traditionnelle fait des axiomes des propositions ana^ lytiques, des Identités immédiates imposées d'elles-mêmes a la raison, el pour cela évidentes. Les postulats seraient au contraire des propositions sy/iM^/t0t/£$ indémontrables établies, posées par la raison en raison de ses lois propres ou des exigences de la recherchi

Les théories nouvelles assimilent au contraire axiomes et postu lats el les considèrent tous comme des définitions déguisi Poincaré), les plus générales de toutes les définitions, celles qui ,i nécessaires a la science tout entière, parce qu'elles Bon! les propriétés caractéristiques générales de son objet, — celles qu'on doit poser au début même de la science, comme le point de départ de toute la recherche.

Entre les uns et les autres, il n'y a qu'une différence de complexité, la simplicité de l'axiome l'imposant comme ('vident, lundis que la

m pie xi té du postulat ue le fait admettre que par la nécessité et la vérité des conclusions qu'on en tire.

<-V sont les énoncés de relations ou de propriétés si générales qu'on a pour ainsi dire perpétuellement besoin de les considérer au coins i\s>> démonstrations.

Rôle ofs axiomes dans la démonstration. — Nous rangeons axiomes el postulais parmi les éléments de la démonstration, el pourtant, si nous examinons une démonstration, nous trouvons qu'ils n'y interviennentjamàis. (l'est que les axiomes, par cela même qu'ils sont des vérités communes, nécessaires à un grand nombre de démonstrations, n'ont pas besoin d'être rappelés à chaque instant. comme les définitions particulières, car il- interviennent constamment d'une façon latente ; ce sont eux qui légitiment les enchaînements Ao< propositions mathématiques, les articulations du raimeiiirut. et (jui les légitiment toute-, sans se rapporter î\ un - particulier plutôt qu'à un autre. Ils sonl comme les tendons et les muscles dans la marche ; ou ii" les voil pas agir : mais c'est a\ leur aide que le mouvemenl a lieu.

C. Des propositions mathématiques. — Une fois posés les définitions, les axiomes et postulats, la déduction ou démonstration se fait par une suite de jugements ou propositions mathématiques.

Ces jugements ont celte particularité d'unir le terme sujet au terme attribut par la copule cyale =. Cette copule n'est que la copule est avec un sens plus précis et plus fort. A la perception d'unrapport plus ou moins vague que signifie dans un jugement ordinaire la copule est, la copule égale substitue l'affirmation d'un

fiOM LOGIQl i-

rapport d'équivalence absolue el rigoureuf Ce sont des relations à! équivalence établissant en définitive une identité entre des éléments qui ne Laissent pas apercevoir cette identité d'une façon immédiate.

On voit donc que les propositions mathématiques dont on use au cours d'une démonstration ont les mêmes caractères que les axiomes ou les définitions préliminaires. Elles expriment des relations d'identité^ immuables, nécessaires et universelles. Mais ces relations n'ont ces caractères qu'au cours de la démonstration mathématique, c'est-à-dire déduites des définitions posées, en vertu des seuls axiomes accordés. Si on les considérait isolément, ce seraient des jugements ordinaires, qui n'auraient rien de définitif, de nécessaire ni d'universel.