MÉTHODE DÉDUCTIVB. - SCIENCES MATHÉMATIQUES

Je superpose le triangle A'BC au triangle ABC de façon a faire coïncider les sommets des angles en A et en A'; comme par hypo-

thèse les angles en A et A' sont égaux, que les côtés AU et A' B', AG et A'C' sont respectivement égaux, A'B' prendra la direction AB, B' tombera en B; A'G' prendra la direction AG, C tombera en G, et les deux figures coïncideront dans toutes leurs parties.

Deuxième cas. — Décomposition de la figure sans déplacement de parties. — "Deux rectangles de môme base sont entre eux comme leurs hauteurs. Pour démontrer que les rectangles ABDG et EF11G, qui ont même base, sont entre eux comme leurs hauteurs.

dont l'une est double de l'autre, je décompose chacun d'eux en un certain nombre de carrés égaux, et je vois que le rectangle ABDG en contient deux fois plus que le rectangle EFHG.

Troisième cas. — Transformation de la figure en une figure équivalente. —cSoit à démontrer qu'un trapèze a pour mesure le produit de la somme de ses bases par la moitié de sa hauteur, ou, ce qui revient au même, qu'il est équivalent au triangle qui aurait pour base la somme des bases du trapèze ei la même hauteur.

Je prolonge la base BG

A/^r- iD d'une quantité égale à AD.

Je joins A e1 E; j'obtiens ainsi un triangle équivalent au trapèze A.BCD; en effet, les deux tri AOD et

E( IC sont égaux ; l<> trap «•-I égal à l;i somme de AOCB et de AOD; si j'en retrancha

LOGIQl E

triangle AOI) et que j'y ajoute le triangle égal COE, la surface totale n'est ni augmentée ni diminuée. Par conséquent, le trapèze ABCD est équivalent au triangle ABE, qui a pour mesure le produit de la somme BG et CE par la moitié (Je sa hauteur.

Mélange des différents cas. — "Soit à démon lier que le carré

de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal ;i la somme des carrés des deux autres côtés. Comment procéder? La superposition directe est impossible, car la somme des deux petits carrés n'a pas même forme que le grand.

Mais si, décomposant le grand carré en deux rectangles, je montre que chacun d'eux est égal à l'un des petits carrés, la proposition sera démontrée. Mais ici encore la superposition directe est impossible, un rectangle n'a pas môme forme qu'un carré ; les deux figures ne peuvent coïncider. Un artifice est donc indispensable. Si le rectangle et le carré respectifs sont égaux, leurs moitiés sont égales. Or le triangle AGB est la moitié du carré AFGB; le triangle BMD est la moitié du rectangle BMND. Mais, ici encore, la super position des deux triangles est impossible; ils n'ont pas môme forme. Pour sortir de peine, je modifierai progressivement les deux triangles en question sans en modifier la base et la hauteur ; ils deviendront ainsi les triangles GBG et ABD; or ces deux triangles sont égaux, car ils ont chacun un angle égal compris enlre deux côtés égaux respectivement.

Telles sont ici les articulations successives de la démonstration. On voit comment, pour faire apparaître la liaison nécessaire de deux grandeurs données dans la question, il a fallu intercaler entre elles toute une série de grandeurs équivalentes. Cette procédure est commune à toutes les démonstrations mathématiques.

On s'en convaincra aisément si l'on passe de la géométrie à la science des grandeurs en général, abstraction faite des matières où elles sont réalisées.

Soit l'équation x2 -f- px ■+■ g = o. On demande la valeur de x en fonction de p et de q.

Je la déterminerai par une série de substitutions. Je remarque d'abord que le binôme x2 + px est composé des deux premiers

px + y j j'ajoute y à l'équation donnée, je

termes du carré x2

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l'en retranche en môme temps, ce qui me donne la môme valeur:

Au carré développé x1 H- px -\- '— se substitue son équivalent

Je fais passer y- -f- q dans le second membre de l'équation, ce qui, grâce au changement des signes, n'en change pas la valeur:

d'où je tire

■+f-*vT-«

fai-ant passer -+- £- clans le second membre, il vient :

Ainsi, depuis le plus simple raisonnement d'arithmétique :

2 + 2 = 4 donc :

jusqu'aux spéculations les plus élevées et les plus complexes du calcul intégral, la démonstration mathématique procède par substitution de grandeurs égales ou do grandeurs équivalentes.

L'invention <in mathématiques consiste 6 découvrir des 1 nouvelles entre les grandeurs et leurs symboles el les intermédiaires grâce auxquels ces liaisons apparaissent comme les conséquences nécessaires de liaisons déjà démontrées ou évidentes par elles- | mêmes. » Lia ni, Logi '.que, 86 à 91.)

Nous voyons ainsi que ce qui fait la force de la démonstration mathématique, c'est-à-dire de l'enchaînement des propositions, c'est ce qui fait la force de ces propositions elles-mêmes : l'esprit y adhère sans réserves et de boittes ses forces, parce que c'est Rétablissement d'un système d équivalences , d'égalités', le raisonnement -\ poursuit sous l'unique direction du principe d'identité et de contradiction, une fois que les définitions ont posé les éléments des objets qu'on y étudie et leurs relations fondamentales.