IV. — LES FORMES DE LA DÉMONSTRATION

Nous avons analysé les éléments qui entrent dans toute démonstration et les procédés généraux d'après lesquels elle s'opère. Mais ces procédés et ces éléments ne sont pas toujours utilisés de la même façon. Selon la façon dont on les utilise, la manière dont on les agence, on distingue plusieurs formes de démonstrations. Ces formes se ramènent à deux principales : la synthèse qui va des propriétés élémentaires aux propriétés résultantes, et l'analyse qui va des propriétés résultantes aux propriétés élémentaires.

A. La synthèse. — La méthode la plus directe, celle dont les éléments d" Euclide nous présentent un monument presque définitif, est la démonstration par synthèse. On part d'une proposition, et on en déduit toutes les conséquences. Les propositions sont enchaînées entre elles d'après le même principe. La science part donc de quelques données élémentaires, et en les combinant entre elles, découvre à chaque pas de nouvelles conséquences ; d'où le nom de synthèse donné à cette forme de la démonstration.

B. Analyse. — a) L'analyse est une méthode inverse. Hippocrate de Ckios paraît en avoir eu le premier l'idée dans sa méthode de réduction qui consiste à ramener successivement un problème à un autre, de sorte que, le dernier une fois établi, le problème dont on est parti s'en déduit nécessairement. On a ainsi ramené la propriété considérée à une propriété qui permet de l'établir et dont la première est la résultante.

b) La méthode de réduction à l 'absurde peut être envisagée comme un cas particulier de la précédente. On montre que la proposition contradictoire de celle que l'on veut démontrer est fausse, d'où résulte nécessairement la vérité de celle que l'on veut démontrer :