V. - ÉLÉMENTS INSÉRÉS DANS LA DÉDUCTION MATHÉMATIQUE

Nous avons considéré jusqu'ici que les axiomes, les postulats et les définitions étaient des éléments de la déduction. En effet, c'est de ces éléments que partent les déductions. Mais il a été facile de s'apercevoir, dans l'analyse que nous avons donnée de la définition, analyse valable aussi pour les axiomes et les postulats qui ne sont que des définitions déguisées, que ces éléments ne sont pas en euxmêmes obtenus par déduction. Bien au contraire, la déduction les suppose ; d'ailleurs ne définit-on pas les axiomes des vérités évidentes par elles-mêmes et les postulats des vérités requises pour la suite des déductions, mais indémontrables en elles-mêmes. Certaines définitions sont, il est vrai, l'énoncé de propriétés que Ton peut à leur tour déduire d'autres propriétés du môme défini. Mais il est facile de voir qu'il faudra bien toujours commencer par prendre pour point de départ de toutes les autres déductions l'une de ces propriétés, l'une de ces relations, quelle qu'elle soit : celle-ci sera donc posée, construite, et non déduite. On peut encore démontrer qu'une définition est possible, c'est-à-dire qu'elle exclut toute contradiction. Mais ce n'est pas la poser. C'est dire simplement qu'on a le droit de la poser.

Il y a plus. Pour établir certaines propositions interviennent encore, surtout en arithmétique, en algèbre et en analyse infinitésimale, les raisonnements par récurrence que H. Poincaré appelle aussi les inductions mathématiques ou inductions complètes.

Voici ce qu'il faut entendre par là. On veut définir l'addition : « Je suppose que l'on ait défini préalablement l'opération x -f- 1 qui consiste à ajouter le nombre 1 à un nombre donné x. Cette définition, quoi qu'elle soit d'ailleurs, ne jouera plus aucun rôle dans la suite des raisonnements.

Il s'agit maintenant de définir l'opération x -f- a, qui consiste à ajouter le nombre a à un nombre donné x.

Supposons que l'on ait défini l'opération: