MÉTHODE DÉDUCTIVE. SCI EN* ES MATHÉMATIQUES

sont nées et se sont développées d'abord inductivcment el par l'expérience, ce n'est nullement admettre que L'esprit est resté inerte devant la nature, et que toutes ses notions ne sont que des copii inaltérées de l'objet. Nous n'avons qu'à nous reporter à ce que nous avons dit en psychologie de la formation des perceptions d'abord, -1rs concepts ensuite, pour voir le travail direct que L'esprit apporte dans toute connaissance : il dissocie et associe, analyse et combine, abstrait et généralise, et au terme symbolise.

Cette généralisation et cette abstraction, cetle symbolisation, ne peuvent se faire que par des rectifications incessantes, d< transformations profondes apportées aux faits tels que la nature les donne. L'esprit, en tirant de L'expérience les premiers éléments dont il compose les notions mathématiques, les élabore, les transforme, les rend maniables, conformes à ses desseins pratiques, à sa nature, et s'affranchit des suggestions immédiates, de l'expérience. Si bien qu'au terme on en arrive à croire, comme les idéa listes, qu'il est en face de notions tirées de son propre fonds, sans le secours de l'expérience. De plus, les définitions mathématiques ne sont pas des faits bruts, ni même des faits rectifiés, abstraits, symbolisés comme certains de nos concepts inférieurs; elles sont des loisi des relations découvertes par l'expérience entre les faits; toutes ces définitions sont des constructions, des systèmes de rela lions, suggérés par les relations que nous présente l'expérience, mais que L'esprit fait siens en quelque sorte en les engendrant par la loi de construction g ti il pose.

On pourrait objecter ici : comment se fait-il que l'appareil expérimental ait disparu complètement, que l'observation ne vienne pas constamment solliciter l'attention, comme dans les sciences de la nature, pour affirmer le bien fondé des conclusions qu'on lire? C'est que précisément, à cause de la simplicité de l'objet, de la facilité» de son étude, les sciences mathématiques ont 1res vite achevé leur travail inductif, et découvert les relations fondamentales d'où peuvent se déduire toutes les autres. Les calculs, les figures -géométriques, rappellent néanmoins L'expérience originaire. Kl dans les sciences comme la mécanique, où la forme déduclivê est plus récente, le souvenir de l'expérience est aussi plus marqué.

Enfin dans quelques-uns des récents travaux sur la méthode mathématique Goblot el surtout /.. Webery etc. . ona pu considérer que les calculs algébriques et les constructions géométriques constituaient des expériences d'un ordre spécial. Celte expérience idéale, dont la matière serait toujours une construction de L'esprit, se distinguerait par Là de L'expérience dans les sciences de la nature, mais elle y serait apparentée en tant que procédé méthodologique. 11

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semble d'ailleurs qu'on peut très !>i<'n relier cette expérience idéale à L'expérience, au sens ordinaire du mot, c'est-à-dire à l'expérience

sensible. Ne paraîtrait-elle pas idéale, seulement pince qu'elle met en jeu des relations abstraites «le L'expérience sensible, mais très Loin d'elle, et devenues si habituelles en tant que notions de L'esprit qu'on en oublie les origines, comme il arrive d'ailleurs parfois dans la physique elle-même à propos de ses principes? Si bien que L'expérience idéale ne serait alors qu'un cas Limité de l'expérience tout court.

Quoi qu'il en soit de ces vues théoriques, remarquons en fait que la physique pose constamment de nouveaux problèmes aux sciences mathématiques. Elle réclame en effet de celles-ci une traduction rationnelle et déductive des nouveaux systèmes de rapports qu'elle découvre dans la nature. //. Poincaré a insisté sur les services que la physique rend ainsi aux mathématiques en provoquant dans ces dernières de nouvelles extensions et de nouveaux progrès. Ce fait montre bien comment, sous les suggestions de l'expérience et par des systèmes de rapports offerts par l'expérience, les mathématiques sont amenées à étudier de nouvelles fonctions et à ajouter sans cesse au corps de doctrines qu'elle nous présente.

Par cet exemple actuel on peut conjecturer ce qui a toujours dû historiquement se passer et comment les mathématiques se sont développées au contact de l'expérience.

En résumé, ce que l'expérience otfre aux mathématiques, ce sont des rapports et des systèmes de rapports entre les faits. Exprimer ces rapports et leurs enchaînements systématiques d'une façon claire et distincte, voilà leur but. C'est d'ailleurs le but de toute connaissance scientifique, qui porte toujours sur des rapports, les termes de ces rapports reculant indéfiniment devant nous.

Par là les empiriques s'efforcent de montrer que les mathématiques ne sont pas des sciences isolées et spécifiques, mais qu'elles doivent prendre place au milieu des sciences de la nature, qui comprennent d'ailleurs toutes nos connaissances scientifiques, quelles qu'elles soient. Si elles ont été de bonne heure démonstratives et rationnelles, c'est que les rapports entre les nombres dont s'occupent l'arithmétique et l'algèbre et entre les situations dans l'espace, dont s'occupe la géométrie, sont connus par une expérience immédiate et très simple; si bien que l'esprit croit les découvrir en lui-même plutôt que dans la nature.

Conclusion : Utilité de la culture mathématique : L'esprit géométrique. — Les qualités d'esprit nécessaires à la pratique de la méthode mathématique sont naturellement aussi les qualités que

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développe cette pratique : les en u m ère r montrera donc l'utilité de la culture mathématique pour L'éducation générale de l'esprit.

Pascal, en distinguant deux sortes d'esprit : Y esprit géométrique et Yesprit de finesse, assignait par là les deux qualités essentielles que doit s'efforcer de posséder tout bon esprit. Il va de soi que la culture mathématique développera surtout la première et que celle-ci est, avant toutes, nécessaire aux mathématiciens. L'esprit géométrique est d'abord l'esprit logique : exact (ne se contentant jamais d'à peu près), précis (évitant avec soin la confusion et L'équivoque), rigoureux (ne passant d'une idée ou d'un jugement à d'autres qu'en y étant autorisé strictement par les règles de la logique formelle), rationnel (n'admettant rien qui ne satisfasse absolument la raison), il vise toujours à avoir des idées claires et distinctes, à V évidence. Il sait utiliser toutes les données d'une question et n'utiliser qu'elles, en éliminant la négligence et l'arbitraire ou les écarts de l'imagination. Cet esprit doit présider b toute déduction, si l'on veut que ce procédé de raisonnement donne la certitude.

Mais les mathématiques, on l'a vu, t'ont une part à l'intuition. Aussi, surtout dans la résolution des problèmes et l'invention, nécessitent-elles el développent-elles une forme d'imagination très précieuse : un esprit de pénétration et de profondeur qui voit, non pas les détails, niais les raison* des choses, les propriétés ou les liens caractéristiques, et pour cela essentiels, qui permet lent la déduction rigoureuse des résultats cherchés.