TOME II

P. 60. Sur la question de la contingence des lois de la nature, il y a un malentendu à éviter. Les lois de la nature sont contingentes, d'abord parce que la nature elle-même est contingente ; puis, parce que Dieu lui eût pu imposer

KRR.VTA.

ERRATA

.. . .. loi. n qui. celles qui existent .1 en peut superdaulres lois, cl qu ^^ ,^ j^;^ p,,,^

poser d'autres quand .1 le eu M ^^ ^^^

m rlle-meme. si par exemple on a trouve qu

, t „n rercle une ellipse, une forme géoméphénomene est un cuct ,^^ ,^ ,,ométrique,

trifiue auc conque, il est clair qiu '^ ;^'::!eilc-n'mcsn>sipaseontH.,enle^^

nell. vénfo. De pins, il est nécessaire qu il y ait des lois, et !t^.;in.>n.lac>ul.osdel)ieu,etqueDieu,cm^^^^

l dit Leibniz, ,ouv..eloutconfornieu.nt à lui-même.

> ,30. « Pour tout niouvement,il faudraitun temps m- ,,i *„ Nous sommes bien loin de vouloir accepter comme bon ce raisonnement contre la réalité du mouven^ni. Nous ,i.on> seulement qu'on y lepond pa. cette vente générale et ancienne, que Dieu est cause première de tout mouve- ,nent, comme de toute existence, et que tout mouvement est impossible sans rartion de la eause première

P .43. iiuand nous disons : .L'objet mî^me de la loi, le , seul nbjrl de la loi, c'est Dieu, » nous voulons parler de Vobrtfomel de la loi, ou .lotif fonneU\e la foi, comme s'exprime la Ibéoloî^ic. 11 est trop clair (luil ne s'agit pas ici des objets divers auxquels la loi peut s'appliquer.

P 253." « ... Suivis de toutes les Écoles théologiques, u „,oins quelques particuliers. » Nnus avons peut-être ic. trop facilement compté les Écoles. Mais, dans notre Traite de la connaissance de Dieu (voir la note placée à la t,n du second volume), nous avun^ cilé les noms et les textes des grands auteurs qui soutiennent la proposition dont il s'agit : Inesse naturaliter creatnrie ratiomU appetitum innatum ad visionem Dei intuitivam. Cette proposition, du reste, ayant étonné quelques personnes, qui n'en connaissaient pas l'his-

toire, nous saisissons cette occasion de dire que, quant à nous, nous n'y tenons par aucun intérêt de système. Nous n'en avons aucun besoin pour appuyer ce que nous soutenons dans la Logique, comme dans le livre de la Connaissance de Dieu. On y effacerait le vaoi naturaliter, on supprimerait même le mot intuitivam, que tous nos raisonnements subsisteraient.

P. 281. Nous avons assez défini, dans notre Traité de la connaissance de Dieu, la nature du désir inné dont il est question dans cette page.

P. 343. « Pensez-vous que le Fils de l'homme, lorsqu'il « viendra, trouve encore de la foi sur la terre? » Ce texte, nous le savons, est considéré, par la plupart des commentateurs, comme une pure négation. Néanmoins, nous avons cru pouvoir le présenter comme une simple question, un simple doute, en nous appuyant sur ce qu'en dit saint Augustin en deux endroits de ses ouvrages : « Ce doute de « celui qui sait tout, dit-il, est la figure de notre doute. j> {Dubitatio enim cuncta scientis nostram dubitationem prœfiguravit, II, 366, C, et IX, S74, C.)

P. 414. Nous louons avec raison l'Index de saint Augustin; mais nous devons prévenir le lecteur que Fénelon trouvait a ce merveilleux travail des Bénédictins » quelque peu entaché de Jansénisme.

On appelle, trop souvent et depuis trop longtemps, Philosophie un certain genre littéraire, fâcheux et faux, qui, je le crois, va disparaître; genre étrange, qui, sous prétexte de précision et d'abstraction, se passe de style et de clarté, et qui, dispensé de clarté, se passe de tout ; genre orgueilleux et dangereux, dont la prétention essentielle est de représenter la vérité, tandis que son obscur et vague domaine, quand il n'est pas le désert même, est le repaire principal de Terreur. La nullité, l'ignorance, Faudace de l'affirmation absolue, fortuite et arbitraire, le mensonge même et la haine de la vérité, peuvent se cacher dans ses dissertations insaisissables, qui ne relèvent d'aucune langue connue. De ce terne foyer, à certains moments, le venin de l'absurde s'efforce de gagner, pour prendre corps, la littérature générale et toutes les directions de la pensée. Mais, il faut Tespérer, tout ce genre est près de sa fin. Il ne se soutient plus qu'à force de scandale logique, en affirmant, pour saisir l'attentidn, que le oui c'est le non, et puis en déduisant de cette formule générale de l'absurde les prodiges lo-

INTRODUCTION

«ques qu'elle renferme. Mais ce criant effet de dissonance, connu depuis Gorgias, sifflé avec mépns par Aristote , qui en donne le grossier procède , ne peut étonner qu un instant, et le genre tout entier va penr, aussi bien dans sa forme absurde, la sophistique, que dans sa forme vide, la philosophie séparée \

Au lieu de ces stérilités ou bien de ces indignités, resprit humain demande la science, et la vérité claire.

Or, nous avons sous les yeux l'admirable et vivant exemple de la grande science de la nature. Voilà le commencement de ce que >• ut l'esprit humain. Il veut la science réelle, la science non pas parfaite et achevée, mais constituée, progressive, portant sur ce qui est, et s'étendant à tout : au monde que nous voyons, à cet autre monde que nous sommes, et au monde infini qui est Dieu, monde infini vers lequel tendent les mondes

finis.

Nous croyons que le prochain effort de la raison moderne constituera la science totale, et cela d'après la méthode qui vit et règne dans la partie déjà constituée, la science du monde visible.

• J'appelle philosophe abitraite ou séparée celle qui repousse l'an des éléments essentiels de la philosophie. Les éléments essenlif'ls d- la philosophie complMe sont : les trois essences dont parle Aristote, deux naturelles, l'autre immuable. Ce sont les trois mondes dont parle Pascal, monde des corps, monde des esprits et monde surnaturel ; ce sont les trois vies qu'a retrouvées et constatées Maine de Biran, vie physiologique, vie psychologique et vie divine. Lisez Pascal , lisez Maine de Biran {Journal iniime) pour bien comprendre la solidité ahsolue et Importée de cette grande distinction.

INTRODICTION.

Nous avons essayé de travailler à ce progrès par nos ouvrages, et surtout par notre Logique. Dans cette Introduction, nous voulons expliquer, plus clairement encore, l'un des points de la théorie générale de la méthode, savoir : comment celui des deux procédés nécessaires de la raison que j'ai nommé l'acte ou le procédé fondamental de la vie raisonnable, et qui est I'Induction, se trouve, aussi bien que l'autre, organisé dans les mathématiques, oii l'on peut en saisir les lois et en constater la nature et la fécondité.

Nous prions le lecteur de nous prêter son attention et de nous juger par lui-même.

Voici d'abord, sur l'ensemble de la logique, des propositions textuelles d'Aristote : « Tout ce que nous « apprenons , nous l'apprenons par déduction ou par « induction \ — L'une des sources de la science, c'est (c l'induction ; l'autre est le syllogisme. — L'induction « est le passage régulier du particulier à l'universel. — . u L'induction donne le principe et l'universel. — Les (c majeures sont les points de départ du syllogisme. Le (( syllogisme ne les donne pas ; c'est donc l'induction « qui les fournit. — Lorsqu'il y a t/n intermédiaire par

* Voyez 'tome II, y. 16 et suivantes, où nous citons toutes ces formules, et d'autres, avec le texte grec.

îîo

INTRODUCTION

« lecinel une proposition se peut déduire d'une autre « K qnei "' i" ^ ■ ^^ais lorsqu il

«c'est le syllogisme qui nous y mem , „nV a point d'intermédiaire, c'est 1 induction.,»

t'u. !.-t la doctrine d'Aristote, qui est aussi celle de Platon et celle du moyen Age, et au fond celle de tous

les temps. . , ^„^Ac«)

En effet, qui voudra contredire ces simples énonces? Leur vérité n est-.lle pas manifeste? La raison n^a-t-el e nas en effet ces deux mouvements? Ne sont-ils pas à la Lis nécessaires .1 suffisants? Ou la raison cherche ce quelle n'a pas, ou elle développe ce qu'elle a; ou elle trouve un principe, ou elle déduit des conséquences; ou elle s'élève des faits particuliers aux affirmations générales, ou elle déduit, et va du général au particulier. L'un des deux piuc.de. commence, invente; et lautre suit, explique et développe.

Mais ce qui caracltiise ces deux mouvements de la raison, Finduction et la déduction, c'est que la déduction procède par voie d'identité ; elle marche par moyens termes, comme le dit Aristote; elle marche par voie d'équation, d'identités en identités, ou, comme s'exprime Platon, « elle ne sort pas de son point de départ. )>

L'induction au contraire, pour trouver les majeures, les principes, pour atteindre ce qu'on n'avait pas, ne peut aller par voie d'identité, ne peut rester dans son point de départ : elle doit, comme le dit Aristote, procéder sans moyen terme, et, comme le dit Platon, « s'élever auc( dessus de son point de' départ. » D'un fait conclure une loi, ou du particulier l'universel, c'est aller sans intermédiaire syllogistique ; c'est sortir de l'identité, en

INTRODUCTION

d'autres termes , c'est procéder par voie de transcendance.

Or, nous avons affirmé et montré amplement dans cette Logique, que si Tun des deux procédés, la déduction ou le syllogisme , est parfaitement connu, l'autre , l'induction, le procédé de transcendance, est ordinairement méconnu. Nous avons dit comment l'un des plus grands fléaux de la philosophie et la cause des erreurs les plus énormes, c'est cette prétention au raisonnement déductif continu par voie d'identité , qui règne encore parmi la plupart des penseurs*.

Chacun admet que le procédé qui déduit, qui développe ce que l'on tient, qui va par voie d'identité, qui ne sort pas de son point de départ , est évidemment rigoureux. Mais on ne comprend pas ce qu'est cet autre procédé, qui cherche ce qu!on n'a pas, qui va plizs haut qrie le point de départ, qui procède sans intermédiaire, par transcendance et non plus par identité. Presque tous nous considérons l'induction comme synonyme de tâtonnement, de conjecture; comme un vague procédé qui ne produit que vraisemblance et probabilité.

* Le lecteur est prié de lire avec attention le chapitre iv du livre I de cette Logique, où se trouve le développement de cette assertion : a La prétention à la démonstration déductive continue con- « siste à -appliquer à tout l'un des deux procédés de la raison, Je « syllogisme ou le principe d'identité ; on prétend établir, de tout a point à tout autre, un passage continu du même au même; ce « qui prouve qu'on ignore l'existence de l'autre procédé de la tt raison, et qu'on suppose la possibilité de tout voir dans l'iden- « tité absolue. » C'est là un des plus grands travers de l'esprit humain ; c'est la source du panthéisme contemporain.

INTRODUCTION*

. , .,,,,. , .ppiioés de rinduciioii dans ces Tous ceux qui se sont occuper ut: 1 1

derniers te.ps, Hao.iltoa, Whe. ell, Apelt, avouen que la théorie de rinduction est encore a créer. << C est en- «coreu^pieuxdésir,ditM.Apelt^>>^<<Lalog.q^^^

« de rinduction, dit M. Whewell, n est pas encore faite. » (Tke iogik of induction h.s not .jet hem constructed .)

Hamilton, de son eut., .exprime ainsi : ce ^ous ne . connaissons pas de logicien qui ait clairement detini le « caractère propre de l'induction dialectique, et il y en a « peu qui ne soient tombes sur ce point dans les plus a graves erreurs. La doctrine d'Aristote , quoique assez « maigre, est exacte en substaiier. Alais les logiciens posu lérieurs, en essayant de perfectionner la doctrine du K maître, n'ont fait que la corrompre au lieu de la corn- « pléter. - Les procédés, déductif et inductif, sont des « éléments également essentiels de la logique : ils se sup- « portent réciproquement. Le premier n'est possible qu'à «travers le second.... La proposition majeure dont il « fait sortir la conclusion est nécessairement elle-même « la conclusion d'une induction antérieure.... Non-seu- « lement la possibilité du syllogisme déductif dépend, Cl sous un point de vue général, de l'ioductif ; mais il H faut remarquer en outre, ce qui n'a pas été fait encore, Il que le premier est, dans l'ensemble et les détails, dans it le tout et les parties, dans le but et les moyens, en périt fection et en imperfection, précisément la contre-parti tie du dernier. Les tentatives de presque tous les lo-

I Théorie de Vinduciion. Préface.

» Philosopfne des sciences induelives. \i.l. *2 p. fil«

INTRODUCTION

« giciens, sauf peut-être Aristote, pour assimiler et iden- « tifier les deux procédés, en réduisant le syllogisme in- « ductif aux propriétés du déductif , ayant toutes pour « origine une notion complètement erronée sur leur anac( logie et leur différence, ont contribué à envelopper la « doctrine de l'induction logique d'un nuage d'erreur et «de confusion. L'argument inductif est aussi indépen- « dant et aussi susceptible d'analyse que le déductif, « quoiqu'il soit beaucoup moins compliqué ; il est gou- K verné par ses propres lois, et doit être apprécié dans sa « nature propre.... Mais l'inductif, apprécié comme on (( l'a toujours fait, d'après le type du déductif, ne peut (I paraître qu'un véritable monstre*. )>

Rien de mieux dit sur cette grande lacune de la logique de l'induction.

Or, c'est précisément ce procédé que j'ai prétendu faire connaître plus clairement qu'il ne l'était. J'affirme que c'est le procédé scientifique par excellence ; c'est le procédé d'invention dans toutes les directions de l'esprit humain, c'est le principal et le plus fécond des deux procédés de la raison.

L'induction, dis-je, loin de n'être qu'une sorte de conjecture ou de tâtonnement qui ne mène qu'à la vraisemblance, l'induction est un procédé scientifique, et qui mène régulièrement à la vérité.

J'entends par induction celui des procédés de la raison qui ne va pas par voie d'identité, mais qui procède ^^ /

« Hamilton, Fragmetits de philosophie, trad. de L. Peisse, p. 249 et suivantes.

^j INTRODUCTION.

par transcendance entre deux points que ne lie pas

l'identité'. .

Or, pour montrer que l'induction est un procède scieniiflque légitime, je vais prouver que Tinduction est 1 un des deux procédés fondamentaux de la géonietrie, et même le principal et le plus fécond. Dès lors l induction est un procédé scientifique, un raisonnement valable, comme tout ce qui est géométrique.

^ïais je n'oublie jamais qu'aujourd'hui, en matière scientifique, personne ne croit au raisonnement. On ne se n nd qu'à Fautorité.

C'est pourquoi , avant d'en venir à ma démonstration,

j'exposerai mes autorités.

Sans doute je n'ai rencontré ces autorités qu'après

I J'appelle voie de transcendance tout ce qui n'est pas la voie iVidentité. Je ne donne pas au mot transcendance d'autre sens. i Le caractère de rinduction c'est la transcendance, comme le caractère de la déduction c'est l'identilé. C'est, en d'autres termes, l'idée d'Aristote : n La raison va par induction, dit Aristote, quand « il n'y a pas de mo^jen fer?we entre lesdeuv idées ; elle va par syl- « lugisme ou déduction, lorsqu'il v a un moyen terme. » Cela répond encore à cette profonde dislincUon de Leibniz (Cf. Connaissance de l'âme, tome 1, page 301), entre a les vérités réductibles «entre elles à l'identité, v\ les vérités non réductibles à Tiden- « tité-, w ce que Leilunz n.uipare « aux deux espèces de rapports « enliv grandeurs géomeuiqu*- : -raiideurs commensurables et « grandeurs iucommensuraldes, c est-à-dire qu'aucune analyse « ne ramène à l'identité. »

INTRODUCTION

coup, longtemps après avoir trouvé la vérité elle-même ' par la raison. Mais la raison et l'autorité se soutiendront ici d'autant mieux qu'elles se rencontrent librement.

Je veux démontrer que l'induction, l'un des deux procédés nécessaires de la raison, celui qui va par transcendance, non par identité, est l'un des procédés fondamentaux de la géométrie. J'ajoute en particulier que le procédé infinitésimal de la géométrie, c'est Tinduction même sous forme mathématique.

Mais comme cette assertion peut sembler étrange à ceux qui n'y auraient pas réfléchi, je commence par montrer que je ne suis pas le premier qui ai dit tout

cela.

Voici une première autorité qui éveillera sur ma thèse l'attention du lecteur. C'est celle de Laplace. Laplace dit, en parlant de l'analyse géométrique : « L'analyse et « la philosophie naturelle doivent leurs plus importantes (( découvertes à ce moyen fécond que Von nomme indue- « tion. Newton lui est redevable de son théorème dn bi- « nome et du principe de la gravitation universelle^. »

I Théorie analytique des probabilités. Introd., p. cuii (Paris, 1847). Laplace développe ailleurs son assertion relative au binôme de Newton ; « En comparant par la voie de l'induction, dont (( Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances « du binôme avec les coefficients des termes de son dévelopa pement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, « il détermina la loi de ses coefficients, et il retendit par analogie (' aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives. y> Ihîd., p. 4. Ailleurs encore Laplace parle ainsi de l'induction : (t La méthode la plus sûre qui puisse nous guider dans larecher- (( che de la vérité, consiste à s'élever par induction des phéno- « mènes aux lois, et des lois aux forces. » Ibid., Introd., p. cr.viii.

INTRODUCTION

INTRODUCTION

L-iplace affirme donc ceci : que rinduction est un iBoyeo fécond, c^est-à-dire une méthode, et la méthode la plus féconde en géométrie aussi bien qu'en physique.

Je passe à d'autres autorités qui s'expriment plus explicitement. Voici un grand géomètre classique, Wallis\ contemporain de Fermât, de Leibniz, de Newton. wJuis est en quelque sorte le père de Leibniz et de Newton dans rinvention du calcul infinitésimal. Or Wallis, traitant ex professo de la méthode infinitésimale, soutient et démontre que cette méthode est Finductioii.

Nous avons sous les yeux les œuvres de Wallis. Son Arithmétique des infinis a pour second titre : Nouvelle méthode pour rechercher la quadrature des courbes \ ^ Or, quelle est cette méthode ? C'est, selon Wallis, Tin-

• Il est historiquement connu que VJrithmétique des infinis, de Wallis, fut k point de départi t le livre excitateur des travaux di: N.Nvton .1 de eeux de Leibniz sur l'analyse infinitesunale « L'époque de \ Arithmétique des hi/inisde Wallis, ditMontucla, « est celle à laquelle on doit tix.r 1. ,(»mmencement des progrès <« remarquables de cette partie de laî^éométrie moderne. A l'aide « d'une induction habilement ménagée, il soumet à la géométrie « une multitude d'objets qui lui avaient échappé jusqu'alors. » {Histoire des mathématiques, part, iv, l. 6).

Voici sur Wallis l'opinion df Lt.ibiH/. • ^« Wallisius pra^ler arilh- M mcticam infinitorum, divinationibus (juidem, sed ingeniosisc simis et tV'lieissimisnixara, alias siqurficies conoïdes ligurasque « planas et solidas mensuravit. » Maclaurin dit de V Arithmétique desififinis : « Wallis aima mieux décrire simplement la méthode « qu'il avait trouvée pour découvrir de nouveaux théorèmes, et «i Ion doit avouer que cet excellent traité contribua beaucoup « aux grands progrès que Ton fit peu après. » Introd., p. 49.

> Arilhmeticainfinitorum seu nova methodus inquirendi inCurvilineorum quadraturam. Oxford, 1655.

duction. « Ceux, dit-il, qui seront satisfaits de notre (( méthode par induction pourront en prendre connais- (( sance dans notre arithmétique des infinis *. » Et, en effet, je lis, à la première page de cette arithmétique des infinis , cette description de la méthode : c< Le moyen (( d'investigation le plus simple, en ce problème et quel- « ques autres qui vont suivre, c'est d'abord d'opérer plu- « sieurs fois le calcul, d'observer les rapports qui surgis- « sent, puis de poser enfin une loi "générale par indue- « tion'^, »

Mais voyons de plus près ce que Wallis entend par induction.

Wallis entend par là, comme nous, le raisonnement/ qui conduit du fini à l'infini, ou d'une série à sa limite. / ^ Voici en effet le principe fondamental de son arithmétique des infinis tel qu'il l'énonce : « Nous passons à l'ari- « thmétique des infinis dont voici le fondement : Lors^ (( que dans le fini deux quantités convergent d'une « manière continue^ en sorte que leur différence de- « vienne moindre que toute grandeur donnée ^ ces deux

' algèbre, p. 330 : Qui contenti erunt mea per inductionem methodo, et deductionibus inde factis, eam videant in arithmetica infinitorum. Pages 1, 2, 19, 20, 39, 40, 180, etc. Dans l'édition de 165o, voyez pages 365, 366, 382, 383, etc.

' Simplicissimus investigandi modus, in hoc et sequentibus aliquot problematibus, est:!'* rem ipsam aliquousque praestare; 2° et rationes prodeuntes observare; 3** ufinductione tamdem universalis propositio innotescat. Ailleurs, p. 383 : Facto experimeuto patebit rationes inductione reportas ad hoc continue propius accedere ita ut differentia tandem évadât omni assignabili minor; adeoque in infinitum contmuata evanescet.

INTHODIICTION.

„.Mnlité doivent être cmisidérées comme égales dam ; S Nous défendons ici cette méthode et nous la : L:tons contre les objections de quelques ecn-

" t'ife';, déjà l'on commençait sur la méthode infini-

tésSalectte longue polémique qui n'est point encore

trit, mais qui sera finie quand on voudra corn-

prendre ce qui me semble manifeste et ce que je demon-

f ovnir flue le procédé géométrique mhnitesimal, / tre, savoir . que le piui^^^ ° t « r„,^ ^«c

^ qui va par transceodance, n'est autre chose que l un des

deux procédés nécessaires de la raison.

Fermât donc objecte à Wallis que sa méthode par induction n est pas une méthode rigoureuse.

Mais Wallis se défend, et soutient que 1 mduction considérée comme procédé infinitésimal, c'est-à-dire comme concluant d'une série à sa limite, ou du fini a l infini, c'est-à-dire d'une convergence dans le fini à une égalité dans l'infini, est en mathématique la méthode d invention par excellence, et une méthode de démonstration

« Le procédé par induction, dit Wallis% est admis « par Fermât comme méthode d'investigation ; mais, setc Ion lui, on peut douter de sa rigueur démonstrative.. ..

. Préface de VJlgèbre. Oxford, 1693 : Uinc in arithmcticam intinitorum transilur, qua- cl ii>s;t nititur exhaustionum methodo Quippe aux Ua continm convergunt ut citra infimtaiem distent dato minus, ea in infinitum cmtinuuta censenda sunt œqualta. Den.ouslranai methudiis iûibi usitaU defenditur et a quorunidam eMepUonibiis vindicatur.

» Algèbre, i». 331. Vojez encore les chapitres 78, 79 et 80, consacrés surtout à cette polémique.

INTRODUCTION

« Mais l'illustre géomètre, qui met en doute la solidité c( de mes démonstrations par induction, et qui cherche à « faire mieux, ne s'est pas aperçu que la méthode qu'il « veut substituer à la mienne n'est autre chose aussi c( qu'une induction, mais qui est loin de valoir mieux « que ce que j'ai donné.... Au fond je regarde Vinduc- (( tion comme méthode d'investigation par excellence : v (( elle nous conduit souvent comme par la main à la dé- (( couverte des lois ; sinon elle nous met sur la voie. Or, (( dans le cas oii sa recherche arrive à nous montrer la « loi, il n'est pas nécessaire de chercher une autre dé- « monstration\ »

Cette réponse est fort remarquable. On voit d'abord que Fermât ne nie point l'induction comme procédé infinitésimal ou fondement de l'arithmétique des infinis. Il l'accepte comme procédé d'investigation. Il met seulement en doute sa rigueur démonstrative. Wallis répond fort heureusement que Fermât lui-même, qui cherche à faire mieux, n'évite nullement l'induction, mais l'enveloppe seulement sous une plus mauvaise forme. C'est ce qu'ont fait tous les géomètres qui ont voulu, comme Lagrange, éviter ce procédé inductif par transcendance» dont ils ne comprenaient pas la valeur logique, et qui prétendent tout démontrer, comme l'a dit fort bien

* Rem ipsam quodspectat, ego certe inducHonem existimo egregiam investigandi methodum: ut quaï multotics nos manuducit ad generalis regulœ detectionem, aut eo saltem proxime conducit. Et quoties ejusmodi inquisitionis exitus rem observatu facilempatefacit, non est necesseulteriorem demonstrationeminquirere. (Algèbre, [). 335.)

INTRODUCTION

M Cournol, eu restant dans le principe d'identité. Quoi

-, "n L.Dlace en parlant de cette polémique, nu 1 en soit, L.apidte, '="1' . , .- , I,

T „» r«;^n à Wallis contre Fermât qui, dit-il, « ta t r: r. pe„ d,n« de ,„i ..... ^..^n^hod.

,„';i n-iviit pas suffisamment approfondie . » " Cis Surs de.ie„tici bien fort, lorsqu'il affirme que le fond et le principe de sa méthode, dont .1 mam-

,xnir rei.ro.lmt à sa manière « l'expression du rapport , ,v,„v> .n» . «'I"'" "' , ,|„i,s Infinis, . donnée par

;";.'•' 'l "■; i::: 'Xu e ^2 ..'ua, en m^, dans son ^ritU.

:: ;^r5:™ - -■- '«,' >•- ;r,CenTr:e:

. ranalvse. par Im-n..'.,,. e. parla manière dont 1 '"^«"^^^ > «^* ' ,â" n. . . <-'"e n.Mu.r.. ,lr P-n ,l,r par la voie d .nduetum ut Litr. en elïel eMrannl.n.u,. anx géomètres accoutumes tt ig eur de. anci,,.. Vu.m ^.>..„.-nous que de grands géomètres "n.ucmporains a, VVaUis, ..n furent peu sat.sfa.ts; et « mtircfe, iii^ i „,i^n.... -iviT \)\^h\ lit des obiections

« Fermât, daiis sa correspuiiaauii' auc »»o>'.S ^ a j

.. neu dignes d- lu. , .ontr.- rettc metl.ode, qu il n ava t pas suf- 1 ZmLui approam<li.. Elle doit être sans doute employée avec : ruToHsplctionextrème;XVallisdHlui.mème enrepondanl

; , i;,,„,,t, q,u- r<^st ainsi qu'il s'en est servi. Wallis observe que « les aiuirus avaient sans doute de semblables moyens d invention „ ,,uils u uni pa^ lait connaître, se contentant de donner les rc- « .ultals aiqm>es tic démonstrations synthétiques. Il regrette avec „ rt.son iîu'ils nous aient celé leurs moyens d'y parvenir; et il « dit a Fermât qu und< »it lui savoir gré de ne les avoir pas imites , ,t a. n'avou- pas détruit U p..nt après avoir passé le Aeuvç. 11 « fsi digne de remarque (pie Newton qui avait profite de cette « métbude d'inductiuD de Wallis a de ses résultats pour decoua vrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que « Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui I. lavaient conduit à ses découvertes. » Théorie analytique des probabilités, p. S06 et suivantes. Nous verrons plus bas que Newton appelle son moyen de découvertes tantôt Vinduction, et lantùl êon anaiijse cachée.

INTRODUCTION

tient d'ailleurs partout la nouveauté quant à la forme et à l'application, repose sur le même principe que celle de Cavallieri et que celle d'Archimède. « J'explique ici, « dit-il dans la Préface % la vraie notion de la géométrie « des indivisibles de Cavallieri. Elle n'est autre, quant « au fond, que l'antique méthode à' exhaustion sous une « forme plus simple. C'est le même principe; elle est « aussi démonstrative ; je ne vois pas pourquoi , bien u comprise , on voudrait la tenir pour suspecte et peu (i géométrique. De là, je passe à mon arithmétique des « infinis, qui elle-même s'appuie sur la méthode d'ex- (( haustion, c'est-à-dire sur ce principe : Ce qui converge « dans le fini, doit être considéré comme égal dans l'in- « fini. »

Ce principe de Wallis n'est aatre chose que le principe d'Archimède lui-même.

De sorte que ce principe, le plus fécond de la géométrie, comme Laplace le déclare en propres termes, apparaît dans la science dès l'origine. En pouvait-il être autrement? L'un des deux procédés essentiels et nécessaires du raisonnement humain pouvait-il ne jouer aucun rôle dans une science jComme les mathématiques? Leibniz,

' Indeque de (Cavallierii) geometria indivisibilium; cujus genuina notio explicatur; nec aliam esse (rem ipsam quod spectat) ustenditur, quam illam veterum exhaustionis methodum breviori forma adhibitam; eodem cum illa fundamento nixam, indeque demonstrabilem : ut non sit cur suspecta habeatur (recte intellecta) aut geometriae adversa. Hinc in arithmeticam infmitorum transitur, quœ et ipsa nititur exhaustionum methodo. Quippe quae ita convergunt ut citra infinitatem distent dato minus, ea in infmitum continuata censenda sunt aequalia. Algèbre. Préface.

INTRODUCTION

aidé de Descaries, el en môme temps Newton lui ont donné ses formes les plus puissantes, du point de vue des mfiniment petits et du point de vue des limites. Mais, dès Forigine , il vivait dans la science comme son plus fécond instrument.

Rien de mieux dit et de plus vrai à ce sujet que ces paroles d'un géomètre fort compétent ': « La notion des a infiniment petits remonte à Archimède... Déjà dail- « leurs on avait été amené à la conception fondamen- « laie des limites. Ainsi les deux idées générales les plus

« fécondes des sciences mathématiques mtimement

«liées Tune à Fautre remontent presque jusquà

« leur berceau '. »

» Duhamel, Éléments de calcul infinUéshnal. Préface. * Montuda traite fort heureusement i . i»oint d^histoire de la tiéométrie {Histoire des mathématiques, tome l, p. 230) : « I.o « écrita d' Archimède et des géomètres anciens, diWd, nous pre- « sentent une foule d'exemples d. tour de dcnionslration, „ „,ais Us pn'Tédenls nous suffisent pour en dévoiler l esprit. Un « wit qu'il consiste à examiner les propriétés .les grandeurs rec- « tilif;n*s qui enferment les curvilignes, et qui s'approchent d elles « cimtinuellement comme de leur limite. .. Ce qui détermine qu ime « grandeur est la limite de deux autres, c'est lorsqu'elles peuvent « s'en approchn di manière qu'elles n'en différent que de moins u qu'aucune quantité donnée. On démontre ensuite facilement « que la propriété qui convient à ces grandeurs, convient aussi d îileur limite; c'est p..ui cela que quelques modernes ont appelé (. ..it. mélhculr d.s limites; (juelques autres lui ont donné !•• cuiuiii .I.' inétlKMl.^ iVexhaumon , |.ar(e qu'il senildc qu on « épuise le^ giandvin- ivrt,ii-nes dans lesquelles se résout la « iv^uiT nirviligne «lu Dn mesure. La démonstration ad absura dum, ceht-à-dirc par laquelle un montre qu'il y aurait de tt l'absurdité si la proposition était autrement qu'un ne l'énonce, «est fort remarquable, j'oserai mèm«' dire fort ingénieuse;

INTRODUCTION

Quoi qu'il en soit, voici donc , au moment où paraît dans la science le calcul infinitésimal, sous sa forme moderne, voici entre deux géomètres, aussi considérables que Fermât et Wallis, une polémique où l'un des deux, celui auquel Laplace donne raison , soutient ce que j'ai moi-même soutenu avant de me savoir si solidement appuyé. Wallis affirme que le procédé qui conclut des polygones aux courbes, ou du fini à l'infini, ou d'une série à sa limite, c'est Yinduction; et que cette induction, qui est surtout un procédé d'investigation , est un procédé suffisant de démonstration. Telle est la vérité. Mais pourquoi un aussi éminent esprit que Fermât, qui d'ailleurs admet l'induction en géométrie comme procédé d'investigation, déclare-t-il ce même procédé insuffisant comme procédé de démonstration? C'est justement parce que Fermât lui-même oublie, avec la plupart des modernes, que l'induction, ainsi que le montre Aristote, est l'un des deux procédés essentiels de la raison. Fermât partage ce préjugé qu'on ne raisonne que par voie d'équation ou d'identité, et que le raisonnement n'a qu'une forme , un procédé, le syllogisme. Mais, comme le dit Aristote , s'il en était ainsi, la science serait impossible, puisque évi-

« c'était le seul moyen de" ne laisser rien à répliquer, mais ce « n'est cependant pas ce qui constitue le fond de la méthode. « Pour satisfaire ceii\ qui désireraient de plus grands détails sur « ceci, nous indiquerons l'introduction au traité des fluxions de " Maclaurin. Ce savant géomètre y développe avec beaucoup *» d'étendue la nature de cette méthode ancienne; celle que « Newton a appliquée dans ses principes, et qu'on trouve expli- « <iuéc dans le livre 1, sect. i, en est une imitation heareuse et «t n'est pas sujette aux mêmes longueurs* »

tll»

JiNTRODLCTlON.

a.mment le syUogisme ne peut faire autre chose que dédemmeni le »j" & mnipiires oas de princi-

duire L'esprit n'aurait pas de majeures , pdb f

l'induction. ^„„„., de celle de Laplace, doit suf-

Cette autorité, appuyée ae ceue uc ^ , fi J^ «i iP ne me trompe , pour que les géomètres et le.

• „. J. nrpndre en considération notre travail ogiciens aient à prendre en co.

.o cnipt travail qui constitue une grande partie ae sur ce sujei, udvdu 4" ^ ■ , j« n,/,,,

noU-e Lo^t^eet même de notre Connaissance de Dieu.

Mais nous avons en noire faveur une autorité plus

rande encore que celle de Wallis, c'est celle de Newton.

Voici d'abord la logique de Newton tout entière. On

va voir, peut-être avec étonnement, que cette logique est

iustement celle d'Arisiote, et c est aussi la nôtre.

Newton nomme anali/se rinductiou '. Il nomme syn^

thèse la déduction.

Pour lui la même méthode, c'est-à-dire l'induction et la déduction, c'est-à-dire la raison dans ses deux mouvements nécessaires, s'applique, et en mathématiques, et en physique.

* Vovez M. de Rémiisat. Philosophie de Bacon, p. 429 . « Si. a uar l'application de la méthode, analytique ou inductive, etc. » M. de Hémusat suppose ces deux mots, analyse ou induction, synonymes dans le langage de Newton.

INTRODUCTION

(( En physique aussi bien qu'en mathématiques, dit-il, (( l'investigation des problèmes par l'analyse doit tou- (( jours précéder la synthèse *.

c( L'analyse, ajoute-t-il , consiste à s'appuyer d'abord « sur l'expérience, à observer les phénomènes; puis, par « le raisonnement , elle va du composé au simple , et (( conclut des mouvements aux forces et des effets aux <( causes ; et puis des causes particulières aux causes plus {( générales. La synthèse, au contraire, prend pour prince cipes les causes trouvées et prouvées, explique par ell^ t( les phénomènes qui en dérivent, et démontre cesexpli- « cations ^. »

C'est bien là en effet le résumé de la logique entière. Il n'y a que deux mouvements, deux procédés de la raison. Ces deux sont nécessaires, mais ils suffisent. Induire ou déduire, trouver les principes, ou bien tirer les cou- / ^ séquences ; chercher ce qu'on n'a pas, ou développer ce 1 qu'on tient; avancer par identité, ou bien par transcendance; ^'élever inductivement des effets aux causes, ou expliquer déductivement les effets par les causes ; con-

■ Optique, p. 347 : Quemadmodum in mathematica, ita etiam in physica investigatio rerum difficilium ea methodo, quae vocatur analytica, semper antecedere débet eam quae appellatur syn- Uietica.

* Methodus analytica est, expérimenta capere, phaenomena observare; indeque ex rébus compositis, ratiocinatione colligere simplices; ex eausisque particularibus générales; donec ad generalissimas tandem sit deventum. Methodus synthetica est, causas investigatas et comprobatas assumere pro principiis , l'orumque ope explicare phaenomena ex iisdem orta istasque explicationes comprobare. Optique, fin.

INTRODUCTION

Cure inductiveme^t du particulier à l'universel ou bien ondur. déductivementde l'universel aupart.cuher . ,1 y „ 1 deux mouvements, il n'y en a pas d autres '^ i: Is deux mouvements ou procédés suffisent a toutes les (Piivres de Tesprit humain. ^ ^

^Or, celui des deux qui commence, qui trouve et qm invente, Newton l'appelle indifféremment analyse ou méucHo: Partout il donne Vinduction.^ r.on.rnee^ lui, comme le procédé d'invention. Quelle est en effet, d'après lui, la méthode qui a créé le livre des Pnnapes ce monceau des découvertes les plus considérables de la physique, de la mécanique , de la géométrie et de astronomie? C'est rinduction. «Dans cette philosophie, <c dit Newton à la fin de ce même livre des Principes, les « propositions sont tirées des phénomènes et générait- « ,n> par riMn<TioN. C'est ainsi que nous avons trouvé « les lois du mouvement et de la gravité \ » / Telle est donc la méthode du livre des Principes : c'est rinduction. Mais ne serait-ce point l'induction sous forme Géométrique? Nous l'affirmons, et voici nos raisons. De quoi s'agit-il en effet dans ce livre? Il s'agit des principes mathématiques de la philosophie naturelle. C'est le

t Prîncipia mathematica, fin, Londres, 4726, p. 530. In hac philosophia proposiliones cleducuntur ex ph.Tnomenis et redduntur générales per inductionem. Sic leges motuum et gravitatis

innotuerunt. , . . . i

Et dans sa quatrième règle, il nomme les résultats de la science: « Propositions tirées des phénomines par l'induction. » Et il ajoute : « que rhvpotlicse m renverse jamais cet argument de « r indiirtirm . (Propositiones ex pliœnomcnis per inductionem cola leela ... Ne argumentum inductionis tollatu per hypothèses.) »

INTRODUCTION

titre de tout l'ouvrage, dont voici les premières paroles : « Les modernes ayant entrepris de ramener tous les phé- {( nomènes naturels à des lois mathématiques, il nous / « semble à propos, dans cet ouvrage, de traiter les mate thématiques dans leur rapport à cette philosophie de « la nature '. » Philosophie de la nature, lois mathématiques, principes mathématiques, voilà dès le début, d'à- / près Newton, le livre des Principes; et ces principes mathématiques. Newton affirme d'ailleurs les avoir trouvés par induction : u Dans cette philosophie les proposi- « tions sont tirées des phénomènes par induction. »

Or, l'induction, pour Newton, c'est la même chose que l'analyse, et l'analyse a été mise par lui sous forme géométrique. Cette analyse mathématique, Newton la nomme son analyse nouvelle, son analyse cachée, son calcul des fluxions. Et c'est pourquoi ces mêmes principes qu'il affirme avoir trouvés par induction , il dit ailleurs qu'il en doit la plus grande partie à son analyse nouvelle, à son analyse géométrique. Voici ses paroles : « C'est par « le secours de cette nouvelle analyse, celle des fluxions, (( que Newton a découvert la plus grande partie des pro- (( positions contenues dans le livre des Principes,., Ceux (c qui ne sont pas très-exercés en ces matières comprenc( draient difficilement cette analyse cachée, par laquelle (( ont été découvertes ces propositions *. »

» Principia mathematica, p. 389 : Cum recentiores... phaenomena naturœ ad leges mathematicas revocare aggressisint, visum est in hoc tractatu mathesim excolere quatenus ea ad philosophiam spectat. Préface.

* Cf. Journal des savants (octobre 1855), p. OOî : a Ceci a

rNTRODUCTION.

INTRODUCTION

Donc, pour Newton, celt^ analyse ou cette induction ,ui trouve les théorèmes ou propositions mathématiques

lit \i Riot aue Newton avait trouvé la « donné lieu de ^^«^^ ; ^^^ J f ;;^r. de l'analyse dont il a « plupart de ses théorèmes PJ J ^^^^^^^ traduits sous les

. tant agrand; la V^^^^^^ ^j^^ ^^ ,e,,ire complète- . formes -«^^^^^^^iL soH S^^ au. regards de la foule : :t :ïr :Sirc^^ am. .ue re^prlmals dans^ce ou al linnion d. Inancoup de géomètres et la mienne p o- :C t r rendis compte de la correspondance de New^n avi; € >ls. or, nous avons maintenant la même pensée, expri. ^ 1^ de^ ^rmes près.,, .dentiques, par Newtonha.meme; Zr la page 3. du Commacium epistolicum 2- edmon r«s trouvcfns de lui ce passage : Ope nov.e UUus analyseos l (^ iceifluxionum) majorem illarum propositionum partem,MiKe « (scincci uuMui u , j .,..,..,.„,. invenit Newtunus. At euni <» in principus philosophue lubtniui, n>tî"»^ ^ « an iqui geometr.T qiK. certiora omn.a t.er.nt, ml ni ni geouu - It amadmiserint priusquam synthetice demonstratum esset ; torco propositiones suas s> nthetiee demonstrav.t Newtonus, ut ; l.vrum svstema super eerta geometria const.tueretur. Atque „ . , .au^.i . <t, cur hnmines hariun rerum impenti, analysmi la- . t:nt.n., cnjus op. propositiones ilhe i..ventœ ^^^^^^^ . admod^n. p-eipiaut. » Si Newton eût dévoile a toa J^s y^x . cette analvse, au lieu de la cacher, Thonneur de l avoir decou- « verte lui aurait été incontestablement assure par les applica- . tiens qu'on Hi aurait faites, et la science y aurait gagne autant . que lui-même. Mais, pour employer ici une image que j eni- . nninte à Wallis, il a rompu le pont après avoir passe le lleuve, ^ . Liant être admire plutôt que suivi ; et d'autres ont trouve un

M £ué ailleurs. ... , ^

« Dans les notes additionnelles à ces articles du Journal des . sarants, jai montré que tous ces théorèmes fondamentaux . établis svnlhétiquement par Newton, dans les sections i et m du . l" livre" des Principes, sont renfermés dans une expression M analytique très-simple de la force centrale, de laquelle tous les u tas d'application qu'il a considéré> >. déduisent immédiate- « ment dans le même ordre bizarre qu'il a suivi en les exposant.

du livre des Principes, est la même chose que l'analyse géométrique qui trouve la plus grande partie de ces pro- / positions. Le calcul des fluxions ou calcul infinitésimal, sous Tune de ses deux formes, celle des limites, est donc réellement, aux yeux de Newton comme aux nôtres, l'induction sous forme géométrique.

Du reste cette importante remarque avai tété faite avant nous. <( D. Stev^art remarque , dit M. de Rémusat , que u Newton identifie l'analyse en physique ( Vinduction ) « avec l'analyse mathématique ' . »

« Newton lui-même, dit en effet D. Stewart, a, dans « une de ses questions, mis directement en parallèle Taie nalyse mathématique et l'analyse physique, comme si « ce mot exprimait, dans les deux cas, la même idée. »

« En physique, dit Newton, la recherche des choses « difficiles par la méthode analytique devrait toujours, « comme dans les mathématiques, précéder la méthode ce décomposition.

« Un des plus illustres disciples de Newton, M. Ma- « claurin, a non-seulement sanctionné cette observation « en la rapportant dans les termes mêmes de Tauteur, u mais a cherché en outre à l'éclaircir et à la fortifier par u des considérations nouvelles, a 11 est évident , dit-il, « qu'en physique, comme en mathématiques, Tinvesti- « gation des choses difficiles par la méthode d'analyse

« De sorte qu'il semble impossible qu'il ne les ait pas tirés de « cette formule même. Ceci offre un exemple frappant de cette « analysin latentem, dont il parle dans le passage que je cite de

u lui. »

' Bacon, sa vie, sa philosophie, page 422. (En note.)

INTRODUCTION

!d.™t toujours pré* la méthode de composition

" M Aplultn c6té ne met pas même en doute que Ncwion' iécmant l'induction sous le nom d analyse, n'entonde par là son analyse malhenialique ..

Dinc pour Newton, comme pour Maclaunn, cette uonc, puui i ^^gg

analyse géométrique mfin.teMmale a e.i

l'induction sous r„rme géoUH,lr.que.

C'est la thèse que nous avons em.se en l8o2 , et que

"trqr r qt^-on .

deTllde. cVst-.-diro a,, rinduction et de la de

duction,dei;aualyseetaelasy.^^^^^^^^^ raison humaine douée de ses aeux luuuv tiels, à créer la physique et les mathématiques.

Newton voit, da.. < s deux mouvements généraux d

la raison, la méthodo même, et la logique universelle qu s^étend à tout, à la u.claphysique et à la morale, tout aus.i bien qu'à la physique et à la géométrie. Voyez a fin du livre de XOpliqm\ Après la description si nette des deux incuvements de la raison, après avoir pose que c'est ranalyse ou induction qui s^élève aux causes de plus en plus générales, il ajoute ces belles paroles: « Que si ce la philosophie naturelle , poursuivant cette méthode, ce veut aller à son terme et devenir une science entière, « alors elle pourra servir môme à reculer les bornes de Cl la philosophie morale. Caria philosophie naturelle nous

t Théorie de l'induction, p. 153 et 154. * Optique. Londres, p. 347 et 348.

INTRODUCTION

(c élevant jusqu'à Tidée de la cause première, de sa puis- (( sance, de son pouvoir et de ses bienfaits , nous aidera, (( par cette lumière que la nature nous donne, à mieux {( connaître nos devoirs envers Fauteur de la nature et ((envers nos semblables \ » Sur quoi lord Brougham, dans son bel ouvrage sur les Principes, remarque fort à propos que ce n'était pas là pour Newton une vague pé- i/ roraison, mais une prétention scientifique sérieuse, raisonnée , opiniâtrement poursuivie comme but suprême de ses travaux.

Voilà bien, dans ces dernières pages de V Optique^ la

logique entière, universelle, résumée parla simplicité du

génie. Aussi nous ne sommes pas loin de souscrire à ce

prodigieux éloge de Newton : a L'immortel ouvrage de

(( Newton donne pour la première fois le vrai lien théo-

.:< rique des trois degrés de la connaissance, déjà distin-

« gués par Platon : le degré empirique, le degré mathé-

(( matique (dianoétique) et le degré philosophique ( noé-

« tique). Le livre des Principes est un modèle qu'on n'a

(( point surpassé, qu'on ne peut surpasser, et dont on

<( peut abstraire, en toute sécurité, la forme logique de

ce la science \))

1 Optique, Londres, 1706, p. 347 et 348 : Quod si philosophia naturalis, banc methodum persequendo tandem aliquando ab omni parte absoluta erit facta atque perfecta scientia; utique futuriim erit, ut et pbilosopbiae moralis fines itidem proferantur. Nam quatenus ex pbilosopbia naturali intelligere possimus, quœnam sit prima rerum causa, et quam potestatem, et jus ea in nos habeat, et quœ bénéficia ei accepta sint referenda; eatenus officium nostrum erga eam, œque ac erga nosmetipsos invicem, quid sit, per lumen naturœ innotescet.

* Apelt, p. 155.

INTROlïl'CTION.

, ces, ce lien des trois degrés de }^J^^^^^7Zn. expérimentale, mathématique et metaphys que que nous expermi.: ' a jg mettre en lumière dans cette

avons nous-mêmcessa\baeiiici n,v,» Pp Hpii

lomue et dans notre Connamance de Dieu. Ce lien, i.oy«</« mouvements nécessaires,

c'est la raison , avec ses dtux mouvei r/est fort simple, mais plusieurs paraissaient 1 ignorer. Fn résumé. Newton décrit les deux mouvements essen-

^. S^ttl-r Valàrme avoir découvert ^s principes mathématiques par induction ou par sou nnalYse géométrique. Le calcul des fluxions est pour lu. l'induction sous forme géométrique. L'induction est pour lui la méthode d'invention, soit en physique soit en mathématique., .oit en métaphysique ou théologie

naturelle.

Encore une fois , c>sl cela même que nous sou-

tenons.

lY

Mais, que nous dira sur ce sujet l'inventeur de la plu> puissantedesjor^^ ^^"^ ^"*

aTTitroduit dans la science laJormeJgiMtésus^^ prement dile.' Que nous dira Leibniz? Leibniz a écrit pliiiï^ pages publiées sous ce titre : Eistou^e de la découverte du calcul différentiel.

• HiU, et origo cale. di/f. a Uibnitio conscripta. Hanovre,.

Souvent on avait demandé à Leibniz quelle était la nature logique de sa méthode, dont la rigueur paraissait contestable *.

Leibniz répond : « Ma méthode est la même pour le « calcul mathématique infinitésimal et uoimlaphYsique.

« L'un et Tautre reposent sur la loi de continuité.

(( Voici cette loi ou postulatum : Étant donnée une (( convergence continue vers une limitej on peut con- « dure de la série à la limite ^ »

Tel est renoncé du principe. Et Leibniz le commente en montrant comment on conclut d'une série à sa limite, des polygones aux courbes, et du fini à l'infini. Par exemple, dit-il, on conclut de l'ellipse à la parabole, quand l'un des foyers de l'ellipse marche vers l'infini. La parabole est alors la limite vers laquelle converge la série des ellipses \ C'est conclure en même temps et du fini à l'infini et d'une série à sa limite.

Mais qu'est-ce que ce principe de Leibniz ? N'est-ce pas le principe de l'induction tel que le pose Wallis? Wallis dit : Lorsque dans le fini deux quantités convergent indéfiniment , on peut conclure qu'elles sont éf/ales dans rinfini.

' Ihid.^ p. 40 : Aliquoties prtpositum fuit demonstrationibus muniri calciili iiostri fundamenta... ut scrupulis satisfiat.

* lbid.9 p. 40 : Est autem mihi praeter calculum infinitesimalem usurpata etiam in physica methodus... utrumque complector lege contiiiuitalis. Assumu autom hoc poslulatum : Proposito quocumque transitu continua in aliquem terminum desinente, liceat ratiocmationem communem instituerez qua ultimus terminus comprehe ndat ur.

3 Ihid., p. 41.

INTItODUCTlON.

IWTRODUCTION.

Et Leibniz dit : Étant donnée une convenjence continue vers une limite^ on peut conclure de la série à la

limite.

C'est le même principe énoncé sous deux formes peu différentes ; c'est , comme Ta dit Wallis , Tinduction , c'est-à-dire celui des deux procédés de la raison qui ne va pas par voie d'identité. Et c'est pourquoi Leibniz parle de mstulgimn- Ce mot est à l'adresse de ceux qui ne connaissent que la déduction.

Il fiiut bien remarquer aussi que Leibniz reconnaît, comme Wallis, que ce principe se trouve déjà dans Archimède et dans Conon ; que c'était là probablement le principe caché des belles découvertes des anciens; y que Cavallieri a ressuscité cette méthode ; que Descartes fait le même raisonnement en concluant des polygones aux courbes ; qu'IIuyghens et Lahire suivent la même

voie *.

Mais ce qui est intéro^ignnt et décisif, c'est que Wallis de son côté affirme, comme nous le soutenons nousmême, qu'en effet son principe inductif est bien, en géométrie, et celui de Leibniz, et aussi celui de Newton. Car, après avoir posé, dans sa Préface, l'énoncé qu'il dit être le fondement de son arithmétique des infinis {qum lia continuo convergtmt.»»)^ et qu'il nomme l'induction, il ajoute immédiatement : u C'est sur ce même principe « qu'est fondée la doctrine de ce qu'on nomme les « séries infinies, ou convergentes, ou continûment aptt prochantes ; principe qu'ont introduit depuis long-

» Ilist. et origo cale, diff. , p. 42.

« temps Newton, Mercator et Leibniz \ » Or ce principe, encore une fois, comme le montre et le soutient Wallis,' c'est l'induction. Ainsi Leibniz, aussi bien que Wallis et Newton, appuie notre assertion fondamentale, savoir, que ^ le principe du calcul infinitésimal, c'est Imduction.'

W^allis et Newton sont ici d'accord avec nous, et pour le fond des choses, et pour le nom du procédé. Ils le nomment induction. Quant à Leibniz, nous nous accordons avec lui pour le fond des choses, mais non pas pour le nom du procédé. Leibniz a exclu le mot induction, par cela même qu'il appelle induction, bien à tort, selon ' nous, la collection ou l'énumération des faits particuliers [collectionem singidarium seu inductionem) \

Leibniz, d'ailleurs, déclare qu'il n'a pas deux procédés divers, l'un pour la géométrie, Fautre pour la physique. Sa méthode est une, et repose sur ce principe unique, applicable en physique, en géométrie, et partout où va la raison : Étant donnée une convergence continue vers une lirnite, on peut conclure de la série à la limite, Leibniz affirme d'ailleurs, ce que nous savons être vrai, qu'il a puisé l'idée de son analyse géométrique infinité- 1 simale « à la source philosophique la plus profonde ' » .] Il affirme comme nous « que cette nouvelle découverte « mathématique tire sa lumière de la philosophie, et doit ((donner à la philosophie une nouvelle force ^ ». Par

' Algèbre. Ihéfacc.

' Dissert, de stylo phiL, no xxxii. Erdmann, p 70

^ De iiostra hac analysi irifmiti, ex intimo philosophi.-e fonte

d(Tivata. Nouvelles lettres et opuscules inédits de Leibniz, p. 328

edit. Foucher de Careil.

* Ibid. Et hœc nova inventa mathematica partira lueem acci-

INTRODlCTiON.

INTRODUCTION

exemple, dans son Essai sur la recherche des cames, il montre que « Tanalyse des lois de la nature et la re- « cherche des causes nous mènent à Dieu, et comment K dans la voie des causes finales, comme dans le cakul i' des différences, on ne regarde pas seulement au plus H grand ou au plus petit, mais généralement au plus M déterminé ou au plus simple ' . »

C'est-à-dire qu\uix yeux de Leibniz, comme aux yeux de Neuton, comme aux nôtres, le procédé qui, en métaphysique, cherche Dieu, en physique les lois et les

. causes, est le même que celui qui analyse, en géométrie,

lindivisible et l'infini {analijsis indivisibilium seu infi-

nitorum). C'est-à-dire, en d'autres termes, que la raison

, humaine a les mêmes lois logiques et les mêmes procé-

i|l dés fondamentaux partout dix elle s'exerce, ce qui d'ailleurs n'a jamais pu être nié que par irréflexion.

Telles sont nos principales autorités pour affirmer que

l'analyse infinitésimale, c'est l'induction sous forme gé^-

niétrique.

pienl a iiostris philosophematihus, partim ipsis aiictoritatem dabunt.

• Nous devons à l'ohligeanrt dr M. le turate Foucher de Careil la communication de ce manuscrit inédit, intitulé : Tentamen anagogicum ou Essais anagogiques dans la recherche des causes. C'est une comparaison entre l'analyse géométrique inlinitésimale et l'analyse des lois de la nature, et la rechenhr do

Nous avions déjà publié et démontré cette thèse de logique lorsqu'à paru le remarquable ouvrage de M. Apelt g sur la théorie de l'induction. Cet auteur développe et démontre à son tour notre thèse.

Voici d'abord son assertion sur ce sujet : « La con- « clusion de l'effet à la cause, quant à la nature logique, c( n'est autre chose que l'induction.

c( L'analyse infinitésimale révèle le mystère de la relavc tion entre les causes et les effets. Ceci réside dans l'es- « sence même du calcul infinitésimal. » Telle est l'assertion. Comment l'auteur la démontre-t-il? Précisément, en montrant en détail ce qu'avait dit Newton, savoir, que son analyse nouvelle, son calcul des fluxions, était sa méthode d'invention, cette même méthode qui, d'un autre côté, toujours selon Newton, est aussi en même temps l'induction. M. Apelt démontre donc que « le problème inductif que se posait Newton, « savoir : Étant donnée la figure de l'orbite, trouver la « loi de la force qui produit cette figure, est un pro- « blême de calcul différentiel K La figure de l'orbite est « l'effet, dit notre auteur ; la loi de la force est la cause « qui produit comme effet cette forme de l'orbite. Or, « étant donnée l'équation de l'orbite, trouver le quotient (( différentiel, c'est trouver la loi de la force. » Voici le texte de ce raisonnement.

causes naturelles et surtout de la cause première. Remarquez le mot anagogique, comparé m mot épagogiqiœ d'Aristote. Éjmgogique signifie inductij ou transcendant. Anagogique veut dire inductif ou transcendant de bas en haut , par exemple de l'effet à la cause, du monde à Dieu.

» Apelt. Théorie der Induction, p. 20. Leipzig, 1854.

INTRODUCTION

Après avoir exposé de ce point de vue comment Newton a découvert la loi de l'attraction générale, il ajoute : « On voit, par cet exemple, que cette conclusion « de l'effet à la cause n est autre chose, quant à sa nature « logique, qu'une induction. C'est ce que Ton voit surtout « par la manière dont, à partir de la forme eUiptique des Cl orbites, on affirme que la force qui produit cet effet « agit en raison inverse du carré des distances : la figure c( de Forbite est l'effet, mais la loi par laquelle la force « centrale ramène continuellement Fastre de sa tangente (( sur son orbite, est la cause qui produit comme effet la « ligure de l'orbite. Ici se découvre la remarquable liaison « du procédé qui va de Teflet à la cause, et du calcul «infinitésimal. L'analyse infinitésimale met à nu la j « loi de la force , cause de Forbite , loi cachée dans « la figure de Forbite qui est Feffet. L'analyse infini- « tésimale révèle donc le mystère de la relation entre « la cause et Feffet ; ceci réside dans Fessence même du M calcul infiniLcbiuial. Il est visible que, dans Fexemple « cité, la forme de l'orbite est Feffet, et le mode d'action Il de la force est la cause. Or, de fait, Fanalyse infinitéc( simale a deux procédés inverses, appelés calcul diffé* « rentiel et calcul intégral, dont l'un monte de Feffet à

« la cause, et Faulre descend de la cause à Feffet. Etant « donné Forbite, on trouve la loi de la force par le calcul a différentiel : étant donnée la force, on trouve Forbite c( par le calcul intégral. L'analyse inlijuiiàiimale , dans tt Fexemple cité et les autres cas analogues, met donc H enéyidence le rapport de la cause à Feffet, ou celm de « Feffet à la cause. En général, en physique ou en méca-

INTKODUCTION.

« nique, si Fon cherche la cause, étant donné Feffet, (c c'est un problème de ca]culdifferentiel ; si Fon cherche « l^efiet, étant donnée la cause, c'est un problème de c< calcul intégral.

(( Si Fon pose ce problème : Trouver l'équation de la « courbe, d'après la loi des changements de direction de « la force, ou bien d'après la loi des directions de la « tangente ; en d'autres termes, étant donné l'angle que (( la tangente en un point quelconque {x, y) fait avec « Faxe des x^ en conclure le rapport entre x et y, c'est « un problème de calcul intégral. Veut-on au contraire, « à partir de Féquation de la courbe, trouver la loi des (( changements de direction qui la produisent, il suffit (( d'une différenciation : car le quotient différentiel n'est « autre chose que la tangente trigonométrique de l'angle (( que fait avec l'axe des x une droite qui touche la « courbe au point donné : ce quotient donne donc Fin-

« tensité actuelle de la force qui engendre la courbe

« Ainsi, le problème inductif de Newton : Étant donnée « la forme de l'orbite, trouver la force, est un problème « de calcul différentiel. Et le problème déductif inverse : ({ Etant donnée la loi de la force, trouver l'orbite^ est un « problème de calcul intégral. »

Cela posé, je passe à la démonstration directe de ma

INTRODUCTION

thèse, qui, d^aillcurs, par ce qui précède, est déjà presque

démontrée.

Si quelque géomètre, faisant autorité dans la science, lisait ces lignes t'I ii était pas d'abord de mon avis, je lui demanderais la permission de soutenir, même à son égard , une discussion respectueuse , mais franche. Je lui dirais ce que j'ai dit souvent à notre illustre maître et ami, M. Cauchy : « En mathématiques, lui disais-je, je suis tout au plus en état de vous comprendre, et cela, quand vous voulez bien vous mettre a ma portée ; mais, en logique, je suis votre égal. Je me suis occupé de logique toute ma vie, comme vous de mathématiques ; mais je me suis occupé de mathématiques, plus peutêtre que vous ne vous êtes occupé de logique. Or, en géométrie, j'accepte sans discuter tout ce que vous affirmez. Je ne vous demande pas, en logique, d'accepter tout eu que j'affirme. Je vous prie seulement de vouloir bien admettre que, sur ce terrain, vous pouvez vous tromper comme moi, et moi soutenir le vrai contre vous. Donc, s'il s'agit d'un résultat géométrique, je m'incline devant vous sans discuter; mais s'il s'agit, non pas du résultat, non pas même du procédé, mais seulement de la nature logique du procédé, alors, je raisonne avec vous.»

Et d'abord nous pensons qu'aucun géomètre ne nous contestera les propositions suivantes : U induction et la déduction sont deux procédés f/é orné triques. U induction et la déduction sont les deux procédés lof/i(jues fondamentaux de la géométrie, comme de toutes les sciences. En géométrie, comme dans toutes les sciences, l'indue^ tion est le procédé d'invention par excellence.

Voilà, je crois, ce qui m'est accordé. Or, au besoin, je m'en contente. Mes thèses principales de logique sont établies si les propositions précédentes sont vraies.

Mais peut-être plusieurs diront que l'induction ne peut rien démontrer, et que la déduction seule démontre.

Si, par démonstration, l'on entend démonstration apodictique , syllogistique, par voie d'identité , je nie moi-même qu'en ce sens l'induction démontre. Mais si, par démonstration, l'on entend en général un mouvement ou une opération de la raison qui, appliquée co7nme il faut, là où il faut, donne et montre la vérité, jM je dis que l'induction démontre.

Je dis appliquée comme il faut, là où il faut. N'en est-il pas de même pour la déduction? La déduction ne "^ démontre la vérité que si elle est appliquée comme il faut, c'est-à-dire selon les règles, là où il faut, c'est-àdire à une majeure vraie. Faute de quoi l'esprit se trompe par déduction, aussi bien que par induction.

J'entends donc ici le mot démonstration comme K^er, lorsque, parlant de sa méthode infinitésimale, il dit : (( Si je ne démontre pas mes théorèmes apodicti- « quement, je les démontre en les montrarit. »

En ce sens, j'affirme avec Wallis, qui soutient la même thèse contre Fermât, et que Laplace approuve hautement, j'affirme qu'en géométrie, comme partout, l'induction, qui est le procédé d'invention par excellence, est aussi un procédé de démonstration suffisant, simple et rapide, de même que la déduction, procédé de démonstration souvent très-lent, mais rigoureux par excellence, est aussi un procédé de découvertes, en ce

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INTRODUCTION

INTRODUCTION

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sens que, d'une vérité générale donnée, il peut tirer des conséquences qu'on n'apercevait pas.

Il est d'ailleurs bien manifeste que d'ordinaire l'esprit, arrivé à la vérité par induction, vérifie, étend et démontre aussitôt par déduction ce qu'il vient de trouver. Les deux mouvements de la raison se soutiennent et se croisent perpétuellement comme les mouvements des deux mains.

Je reprends donc ma thèse, et je dis : L'induction, celui des procédés de la raison qui va par transcendance et non pas par identité , est un procédé scientifique légitime, puisque c'est un procédé géométrique. L'induction est un procédé géométrique, puisque le procédé des limites et le procédé infinitésimal, ces deux idées les plus fécondes de la géométrie, sont précisément l'induction sous deux formes peu différentes*.

En effet, la méthode infinitésimale conclut du fini à r infini, par exemple du polygone d'un nombre fini de côtés, à la courbe considérée comme polygone d'une infinité de côtés. La méthode des limites conclut de la série à sa limite, par exemple de la série des polygones elle conclut à la courbe, limite des polygones.

Or, entre le fini et l'infini, comme entre la série et la limite, comme entre le polygone et la courbe, il y a un abîme.

« On nous a prêté, au sujet du calcul infinitésimal, les idées les plus extraordinaires et les plus insensées, comme, par exemple, lors(iu. M. Saissr:t suppose qu'à nos yeux Vinfini géométrique cest r infini concret et Dieu même! J avais eu pourtant la précaution, presque étrange, de iirévenir, par une page entière, celte invraisemblable objection.

Le polygone se rapproche de la courbe sans l'atteindre jamais. Le fini marche vers l'infini sans l'atteindre jamais , et la série converge vers sa limite , mais ne peut / pas l'atteindre. J'appelle abîme l'impossibilité d'atteindre, qui est géométrique et absolue.

Donc, s'il y a un abîme entre ces notions ou objets géométriques, s'ils sont, comme s'exprime Leibniz, irréductibles à l'identité, je dis que l'on ne conclut pas de l'un à l'autre par voie d'identité ; je dis que l'on conclut y de l'un à l'autre par voie de transcendance , en d'autres termes, par induction \

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Je reprends ma démonstration pour l'expliquer.

En géométrie , la méthode infinitésimale et celle des limites consistent l'une et l'autre en ce que, par exemple, dans l'étude des courbes, on conclut des polygones aux courbes.

Dans le point de vue infinitésimal , à partir du polygone d'un nombre fini de côtés, on conclut au polygone

' Je ne dis pas, notez-le bien, qu'on ne peut jamais s'appuyer, d'une certaine manière, sur Tune de ces notions pour rien conclure de l'autre par déduction. La démonstration de la mesure du cercle, par la réduction à l'absurde, me donnerait tort. Mais e dis que, si l'on procède par la voie des limites ou par celle des infiniment petits, si l'on transporte les propriétés du polygone d'un nombre fini de côtés aux courbes considérées comme polygones d'une infinité de côtés, si l'on conclut de la série à la limite, alors ce ne peut être que par transcendance ou induction.

IINTRODUCTION.

d^une infinité de côtés. Dans le point de vue des limites, étant donnée la série des polygones inscrits qui convergent vers leur limite, qui est la courbe, on conclut de la série à sa limite.

Or, entre le fini et Finfini, entre une série et sa limite, entre le polygone et la courbe, il y a un abîme, abîme que Tapproximation, poussée aussi loin qu'on voudra, ne peut jamais combler. A partir d'un nombre fini de côtés, on n atteint pas un nombre infini de côtés. A partir du polygone de six côtés, on peut multiplier tant qu'on voudra le nombre des côtés, on n'atteindra jamais qu'un nombre aussi fini que le nombre six. Le polygone, sans doute, se rapproche de la courbe tant qu'on voudra, mais n'y arrive jamais. La courbe est la limite des polygones inscrits. Or, on définit la limite, d'une manière évidemment exacte, en disant que c'est un terme constant « dont la variable s'approche indéfiniment sans jamais «Tatteindre. » S'approcher indéfiniment sans jamais atteindre, c'est être séparé par un abîme, je dis par un abîme géométrique , métaphysique, absolu. C'est-à-dire que polygone et courbe sont des notions radicalement distinctes, irréductibles à l'identité. La courbe n'est en aucune sorte un cas particulier des polygones qui convergent vers elle. De l'un à l'autre , il n'y a pas de moyen terme, pas de passage possible par voie d'identité.

Donc, lorsque l'on conclut des polygones aux courbes, par la voie des limites ou par celle des infiniment petits, on ne conclut pas par voie d'identité, mais bien par voie de transcendance, c'est-à-dire par induction. Et c'est justement pour cela^que, de tout temps, on a

INTRODUCTION

contesté la valeur logique de cette conclusion. Tous ceux qui sont dans ce préjugé séculaire que la raison n'a qu'un seul procédé de raisonnement, la déduction, la voie d'identité, ont toujours soutenu qu'on ne pouvait conclure des polygones aux courbes, considérées comme polygones, ni des séries à leurs limites, ni du fini à l'infini.

De là les interminables disputes qui durent encore sur i/ la logique du calcul infinitésimal. Ces difficultés tombent si l'on admet la légitimité logique du procédé de . transcendance.

Tel est notre raisonnement ; mais il en faut encore développer quelques parties.

Si l'on étudie l'histoire de cette polémique, qui remonte à l'origine de la géométrie, deux vérités en ressortentclairement: la première, c'est que cette conclusion des polygones aux courbes, des séries aux limites et du fini à l'infini est légitime, féconde et nécessaire à la géométrie ; la seconde, c'est que cette conclusion n'est pas par voie d'identité. J'en conclus donc qu'elle est par voie de transcendance.

Pourquoi les anciens cachaient-ils leur méthode d'invention, qui était la méthode des limites ou celle des infiniment petits, et pourquoi cherchaient-ils une autre forme de démonstration? Parce qu'ils sentaient bien qu'il n'y avait pas déduction rigoureuse des polygones

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INTRODUCTION

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aux courbes, des séries aux limites, ni du fini à l'infini, et parce que, d'autre part, la logique n'avait pas établi la théorie du procédé de transcendance.

Maclaurin, à ce sujet, loue Archimède de ce « qu il ne « suppose pas que les cordes d'un arc soient divisées à it l'infini, <n sorte qu'après une infinité de bissections, a on puisse dire que le polygone inscrit se confond avec i( la courbe. Ce? suppositions auraient paru nouvelles « aux géomètres de son temps*. » Maclaurin a raison : ces suppositions ne sont pas seulement nouvelles, elles sont absurdes. Pourquoi? parce qu'elles supposent qu'on a opéré une infinité de bissections, ce qui est absurde et impossible. Elles supposent que le polygone devient courbe, ce qui implique contradiction, comme l'identité du fini et de l'infini qu ello^ supposent encore implicitement.

Dès que l'idée des lutiniment petits fut réveillée au xvii*" siècle par Kepler, Tobjection reparut, et Kepler répondit : « Que d'autres cherchent les démonstrations rite goureuses : quant à moi, si je ne le puis démontrer par (( une démonstration apodictique , je le démontre en le « montrant '. » Mais Kepler avoue aussitôt, comme il le faut, « qu'entre le minimum absolu (l'infiniment petit) « et le voisin du minimum (F indéfiniment décroissant), « la conclusion n'est pas toujours sûre '. »

» Préface du Traité des fluxions.

' Demoiisti atioiiem legitimam quaîrant alii ; ego quod non possum apodictice, comprobabo dictke. {Stereometria, Archimed.,

supplem. Thèse xxv.)

^ Etsi t'aleor, ab eo quod pst altsolule minimum ad id quod minimo proximum non ubique tulaui esse collcctionem. [Ibid.)

INTRODUCTION

C'est-à-dire qu'il faut procéder selon les véritables règles, encore peu connues, du procédé de transcendance. C'est aussi ce que déclare Wallis. Il avoue que cette voie demande de très-grandes précautions. Nous avons cité ci-dessus la discussion entre Wallis et Fermât. Nous avons vu Leibniz nommer postulatum le principe sur lequel il fonde son calcul infinitésimal, tant il y avait de doute sur cette méthode de transcendance, dont on ne savait pas la nature logique.

Maclaurin a écrit son Traité des fluxions, méthode qui est la même, au fond, que celle des limites \ et qui a été

^ Selon nous, toutes ces méthodes, méthode d'exhaustion, méthode des indivisibles, méthode des limites, des fluxions, des évanouissants, des infiniment petits, tout cela repose sur le même fond. C est ce que Ton comprend enfin aujourd'hui. Qu'on veuille bien lire la description que donne Newton de sa méthode [Prin^ ctpia mathematica, Lemma xi, Scholium), on y verra presque toutes ces méthodes réunies. ^

La méthode de Newton est résumée par lui dans une phrase que VOICI : Après avoir dit que, lorsqu'il conclut des polyo-ones aux courbes (si pro rectis usurpavero lineolas curvas), ïl ramène tout, a ta considération des limites, ou raisons dernières des évanouissants (Malui demonstrationes ad ultimas evanescentium rationes et ad iimites deducere), il dit : « Ces raisons der- « nieres des évanouissants ne sont pas réellement les rapports « de ces quantités dernières, mais bien les limites dont s'appro- « chent toujours les rapports de ces quantités indéfiniment dé- « croissantes, limites dont elles peuvent s'approcher toujours « qu elles ne peuvent jamais dépasser, et qu'elles ne peuvent at- « temdreque si elles diminuent à l'infini.» Voilà bien les fluxions ou évanouissants, les limites, les infiniment petits, ramenés à la môme conception.

C'est l'honneur d'un géomètre contemporain d'avoir introduit cette vente dans renseignement élémentaire et d'avoir traité le

INTRODUCTION

INTRODUCTION

beaucoup moins attaquée que celle des infiniment petits, pour répondre « à un auteur qui a représenté la méthode « des fluxions comme pleine de mystère et comme fondée <i sur de faux raisonnements *. La géométrie, dit Mate claurin, a pris aujourd'hui de grands accroissements; c< on Uâ a cependant reprucliê en bien des occasions que « les nouveaux progrès qu^'lle fait sont établis sur des « maximes la plupart nouvelles et sujettes à contestation « (l'idée des infiniment petits et celle des limites) et Ton « a été jusqu'à prétendre que les auteurs qui ont le plus « contribué aux dernières découvertes se sont laissés set( duire par des paralogismes *. »

D'où venaient ces difficultés? D'abord , de ce que les novateurs semblaient vouloir conclure, par voie d'identité, des polygones aux courbes, des séries aux limites, et du lini à l'infini \ On montrait tacitement que le moyen

calcul infinitésimal par ces deux procédés à la fois, montrant ainsi que les deti\ idées n'en font (qu'une. « L'objet principal de tt cet ouvrage, » dit M. Duhamel dans la Préface de ses Éléments de calcul infinitésimal, « est le développement de ces diux concep- « lions tjiii Sont intimement liées l'une à l'autre.. . la notion des (t infiniment petits et la eonceptiun t'imdamentale des limites... « qui sont les deux idées générales les plus fécondes des sciences (( matin'' maliques. »

Quant à la méllioflc dVxhuuatiun, nous avons ce texte de l'abbé Bossut : tt Je me suis convaincu, dit- il, que la métaphysique de « l'analyse intlnitésimalc est la même dans le fond que celle de « la méthode d'exhaustion des anciens géomètres. » (Histoire des mathématiques y tome 11, p. 145.)

' Madaurin, Préface du Traité des fluxions. — ' Ibid.

* Newton lui-même ne prète-t-il pas au malentendu par quelques-unes de ses paroles, quand, par exemple, il dit que la quantité décroissante ne peut pas dépasser la limite, et ne l'atteint

terme manquait, et qu'entre ces deux Dotions existait un abîme, que la déduction , la voie d'identité , ne pouvait traverser. En outre, les deux partis ignoraient l'existence ou n'admettaient pas la valeur de l'autre procédé de la raison, du procédé de transcendance. Cependant ce dernier procédé, malgré le soulèvement des pharisiens de la rigueur et de la déduction , prenait pied dans la science par droit de conquête, à force de services rendus, à force de lumières répandues et de prodigieuses découvertes, je dirai presque à force de merveilles. Écoutez Maclaurin, peu ami de la méthode des infiniment petits, et qui la critique vivement et souvent. Il ne peut néanmoins s'empêcher de conclure ainsi : « Nous ne préten- « dons pas non plus donner à entendre que la méthode « des indivisibles et des infiniment petits, dont on s'est « servi pour découvrir tant de vérités incontestables, ne (( soit nullement fondée. Nous avouons même que cette « méthode des infinis a quelque chose de merveilleux qui « nous plait et nous transporte, et que la méthode des « infiniment petits a été poussée, dans ces derniers temps, « avec une subtilité qui n'a point d'exemple dans les auc( très sciences; mais la géométrie est mieux établie sur « des principes clairs et simples ; et ces sortes de spécule lations sont toujours exposées à quelques difficultés. «Néanmoins, les nouvelles méthodes (des infiniment « petits) ont été généralement reçues et elles ont paru « mériter une réception aussi favorable par le grand

que torsqu-'elte est diminuée à Pinfinif Voilà une parole inexacte La limite n'est jamais atteinte. Le polygone n'atteint jamais la courbe.

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INTBDDUGTION.

« avaiitiige qu'on eu miiTepour la résolution des problè- € mes les plus difficiles, et parce qu'elles ont servi a

« DÉMONTRER LES THÉORIES LES PLUS GÉNÉRALES d'uNE MAtt NIÈRE COURTE ET AISÉE. »

Voilà donc des méthodes dont on admire la grande et facile puissance d'invention et de démonstration. Maison trouve cependant que la géométrie est mieux établie sur des principes clairs et simples. Pourquoi ce singulier scrupule ? Parce qu'on ignore la vraie nature logique de ces méthodes nouvelles. Elles ne paraissent ni claires ni simples, parce qu'on ne les comprend pas. On ignore qu'elles ne sont que l'application à la géométrie de l'un des deux procédés ou mouvements nécessaires de la raison.

Toutth ces ditlicultés montrent bien que Ton a senti de tout temps ce que nous soutenons, savoir : que la conclusion de la série à la limite ou du fini à l'inilui , n'est pas par voie d'identité. Donc, disons-nous, elle est par voie de transcendance , < u d'autres termes, par induction, et non par iluduclion.

Quelqu'un voudra-t-il insister et soutenir que du polygone à la courbe il y a continuité, identité ; que le cercle est réellement un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits, et que l'on conclut aluis duu polygone à un polygone, c'est-à-dire du genre polygone à un cas particulier du genre, conclusion qui serait purement déductive? Ce serait là une grande erreur. En voici la preuve :

INTRODUCTION. ,,g

c'est qu'on ne peut pas toujours conclure du polygone aux courbes. Pour trouver certaines propriétés des courbes, la longueur des arcs, les surfaces, les tangentes, on peut conclure des polygones aux courbes ; mais pour trouver d'autres propriétés de la courbe, notamment la courbure ou rayon du cercle osculateur, pour trouver les caustiques ou bien les développées, et, en général, pour toutes les questions qui dépendent des infiniment petits du deuxième ordre, on ne peut plus conclure du polygone à la courbe. Donc, la courbe demeure en dehors de la série des polygones.

D'ailleurs , pour prendre un autre point de vue plus clair, il y a en tous cas, entre la courbe et le polygone l'abîme du fini à l'infini. D'une part un nombre fini de côtes, d'autre part une infinité de côtés, si côtés l'on peut dire. ^

Quelqu'un voudrait-il soutenir que l'infini (l'infîniment jand et l'infiniment petit) n'est qu'un cas particulier de la quantité finie ? Ce serait absolument faux.

Bien des faits géométriques nous démontrent la radicale différence du fini et de l'infini; et comment il v a un abîme de l'un à l'autre, et comment on ne peut conclure de l'un à l'autre qu'à certaines conditions scientifiquement déterminées.

Kepler avoue qu'on ne peut pas toujours conclure de lun a 1 autre {non ubique tutam esse collectionem ). Wallis et Laplace disent que ce procédé demande le plus grand tact et d'extrêmes précautions. C'est qu'il faut dit bien simplement Wallis, procéder selon les vraies rèdes du procédé. "

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INTRODUCTION, oit

Voici un eiemple qui fera comprendre ce que j\ippelle rabîmc qui sépare l'infini du fini, et comment on ne peut pas toujours conclure de Fun à l'autre.

C'est l'exemple des séries semi-convergentes, où l'infini introduit des propriétés singulières et contraires à

celles du fini.

Prenez dans ces séries un nombre fini de termes si grand que vous voudrez. Leur somme, évidemment, sera toujours la même dans quelque ordre que l'on fasse Taddilion. Mais qui croirait que la même série , supposée infinie, prend cet inexplicable caractère, que la somme de ses termes est différente quand on les additionne dans un ordre différent? Soit, par exemple, la ^èvk 1 - i + I - I -+- l - i + f .. Supposez cette série infinie. La somme de ses termes tels qu'ils sont rangés est égale à /. 2. Mais rangez-les ainsi qu'il suit : 1 4. 1 — y 4- i 4- • — ; . . . Alors la somme de ces termes change et devient égal

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Donc, si l'on voulait conclure ici du fini à l'infini ; si, après avoir démontré, ce qui est d'avance évident , que les termes de la série prolongée tant que l'on voudra, mais finie, ont toujours la même somme dans quelque ordre qu'on en fasse l'addition, si l'on voulait soutenir alors qu'il en doit être de même dans la série supposée infinie, ce serait une erreur.

Voici, je crois, le fond de cette question : c'est qu'on ne peut conclure que là où il y a convergence continue et indéfinie , et qu'au fond la conclusion légitime par voie de transcendance est celle^qui a lieu d'une série convergente à sa limite, en précisant rigoureusement ce qui

INTRODUCTION. g,

converge, et ce qui est iimùe. Ainsi, quand le polygone inscrit s'approche de la courbe, quels sont les éléments du polygone analogues aux propriétés de la courbe qui s approchent continûment et indéfiniment? C'est par exemple, la longueur des arcs, c'est l'étendue de la surface. Ici run est vraiment limite de l'autre. On peut conclure de l'un à l'autre ^ Mais la courbure est-elle limite

^ Et ceci même, à la rigueur, est peut-être trop général et demanderait encore à être mieux déterminé. En effet, voici un exemple ou Tune des propriétés de la série ne se trouve pas à la

limite. C'est la série ± + J, + i. + etc Si Ton fait la somme

d'une portion quelconque de la série, cette somme sera toujours

une fraction de numérateur impair et de dénominateur pair Or • a somme de toute la série, supposée infinie, est ^. Ici donc à la limite le dénominateur n'est plus pair, mais impair, et la propriété delà série n'existe plus à la limite. C'est qu'en effet de la série a la limite, et du fini à linfini, il doit y avoir et des analogies et des contrastes. Déterminer en général quelles sont les propriétés analogues et quelles sont les i)ropriétés en contraste ce serait peut-être achever la théorie de l'induction géométrique' et avancer beaucoup la théorie générale de l'induction. Bien probablement Il existe, dans la science à venir, un théorème général qui déterminera ces conditions de Imduction. Je me représente ce théorème comme analogue au beau théorème de M. Cauchy qui, après avoir démontré que la série de Taylor, l'un des tvpes des séries en équation avec leur limite, peut souvent conduire à l'erreur, établit par un seul énoncé les conditions de son exactitude Je veux transcrire ici ce théorème pour montrer avec quelle précision, quelle subtilité scientifique et quels puissants efforts travaillentles géomètres. Si les philosophes travaillaient de la même manière, et ap[)renaient à poursuivre scientifiquement et patiemment jusqu'au bout la vérité, ils trouveraient aussi. Voici ce théorème. Pour que le développement de l'expression /*(^-f-/o suivant la série de Taylor soit légitime, U/aut et il suffit que la fonction soit finie, continue, monodrome, hio7io(/ène, daiis toute h g

INTRODUCTION

des angles successifs que forment les côtés du polygone? Nullement. Ici il n'y a plus limite ni analogie, il y a contraste. La courbure constitue justement la nature propre de la courbe, et ce qui la sépare du polygone. La courbe D*est pas polygone. Le polygone ne devient pas courbe. Il y a de même, en métaphysique, certaines inductions possibles du Uni à Tinfini, et de la créature à Dieu, tandis que d'autres sont impossibles. C'est parce qu'il y a, de l'un à l'autre, des qualités communicables, et des propriétés incommunicables dépendant de la distinction radicale du fini et de l'infini.

C'est pourquoi Leibniz dit admirablement que l'infiniment grand et rintinimeiit petit sont « les deux extré-

l'étendue d'un cercle ayant so7i centre a a point dont l'af(ixc est X, et mil rayon éfjalan module de h,

J*ai siius Ifs vi'ii\ iiiK Irttn; de Abcl (Œuvres, t. Il, p, 2&\), uù il annonce qu'il s'<»c( u|h' du prohième général dont je parle. Après s'être plaint dr f<>'f^ /(a maUtevrs et paradoxes qu'ont enfantés les sér/es (Jir> j. ttes^ il aftirni» u qu'il ne se trouve « dans les matheniali(jin - j. !••-•!!!»< aucune stTir infinie dunt la «somme soit déterniiiite d iiur nuiinèn' ri^nurcuî^ej ctst-à-dirc «que la partie la [du iilielle des nuitlu'ujati(|ues est sans

« fondement;» (fondenu,'iiilu};ique connu?). Puis il ajoute : m La t* théorie des séries infinies, en plierai, est jus(ju*à |)résent trèsce mal fondée. On applique aux séries infinies toutes les o[)éra- «tions, comme :^i elh-s < tuent finies. Mais cela est-il bien « permis? Je crois «[ue non. » Puis il annonce qu'il s'occupe du problème général «J'ai commence à examiner les règles les plus « inqHirtantes qui sont ordinairement approuvées à cet égard, et « à montrer en i|nr| ri-. < lh > sont justes ou non. Cela va assez « Itieîi et m'intéi infiniment.» Je dôgirc fort que quel-

que géomètre grand logicien repreniii li ite importante recherche.

INTRODUCTION

«mités de la quantité en dehors be la quantité ^ » A m- a.s, dit-il ailleurs. <des infinis ne sotprdes^l^^

« grandeur. . „ Leibniz met à part et radicalement en dehors de la quantité finie ou indéfinie ees d trex J mes, l'infîniment grand et Tinfiniment petit

Pascal si profond et si estimé sur cette matière Pas - re^^^^^^^ comme évident que toute grandeur d^Lt ment décroissante ou croissante est toujours infiniment ^o.,n..,.. deux extrêmes qui sont l^nimentTand et 1 mfîuiment petit. Il montre ce les deux infinitï de « grandeur et de petitesse entre lesquelles se sou^n en « toutes les grandeurs croissantes ou décroissantes

^t^mes n Je suis tres-etonné, je l'avoue, qu'il y ait un ^u espnt à qui cela ne paraisse pas maniL!teme':t é^^^ dent. Cet eloignement infini entre Findéfiniment décrohsant ou croissant, et l'infiniment petit ou l'infiniment grand, est ce que j'appelle l'abîme. ^^^iment

De tout ceci je conclus de nouveau qu'il y a réellement m a ime entre le polygone et la couîbe, entre 1 S

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* Tome m, p. 501 (Dutens).

* Lettre de Leibniz à Fontenelle (1704). Pensées^ 1 «-e partie, art* 11,

IHTRODUCTION.

S'ensuit-il qu'on ne poisse démontrer par simple déduction, par ^uie d'idenlilé, des théorèmes trouvés par induction? En aucune sorte. Nous savons au contraire que les anciens faisaient ainsi. Ils découvraient par induction, par la méthode des infiniment petits ou par celle des limites, puis ils démontraient par déduction, ordmairement par la réduction à Fabsurde. Je dis donc seulement que, quand on emploie, pour découvrir ou démontrer, la méthode des limites ou celle des iutiniinenl petits, alors c'est par transi eiidance ou par induction qu'on procède.

Qu on veuille bien remarquer que, pour soutenir l'induction dans ses justes droits, nous ne sommes point Fennemi de la déduction. Celle-ci n a pas d'ennemis, à moins qu'on ne vtuille donner ce titre à Bacon, qui rejetait le syllogisme. Mais Finduction, le procédé de transcendance, se voit malheureusement trop souvent repoussé avec cette sainte horreur de l'infini dont parle si spirituellement Fontenelle, à propos de ceux qui rejetaient la méthode infinitésimale de Leibniz. De là, par exemple, les grands efforts de Lagrange pour extirper de la géométrie le procédé de transcendance. Du reste, cette entreprise d'un si grand géomètre — on le reconnaît aujourjl'hui — est fondée sur un paralogisme, et mène à des erreurs. Quant à nous, nous disons que les deux mouvements essentiels et nécessaires de la raison sont partout et continuellement méiéa et &e soutiennent dans toutes

INTRODUCTION. «5

les sciences. Ainsi les démonstrations indirectes par l'absurde soutiennent les démonstrations ou expositions directes de Finduction. Bien des vérités géométriques trouvées et démontrées par l'idée de Finfmiment petit et par celle des limites, se démontrent aussi par déduction ou voie d'identité. Mais, dans ce cas, on ne conclut ni du fini à l'infini, ni de la série à la limite, ce qui serait par transcendance.

De même , il peut y avoir des démonstrations purement déductives qui établissent la légitimité, dans certains cas, des conclusions par transcendance, soit du fini à l'infini, soit d'une série à sa limite.

Tel est donc, sur ce sujet, l'ensemble de nos raisonnements.

Sur quoi je ferai les remarques suivantes.

Le procédé de transcendance a existé dans la science dès l'origine. Les idées de limites et d'infiniment petits ont fait la vie primitive de la géométrie. Nous avons déjà cité les paroles de l'éminent géomètre qui remarque que la notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des limites, ces deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques, remontent presque jusqu'à leur berceau *.

Il fallait bien que le procédé inductif ou transcendant

face.

Duhamel. Traité élémentaire de calcul infinitésimal. Pré-

fût dès l'origine dans la science, puisqu'à la rigueur c'est Funique procédé d'invention, l'autre ne pouvant que déduire. Mais les deux mouvements nécessaires de la raison sont évidemment et nécessairement dès l'origine dans toute science.

Ce qui est particulier aux modernes, c'est qu'ils ont organisé dans le calcul le procédé de transcendance. Ce que M. Cournot appelle « le développement par l'algè- «t bre du principe d'identité, » c'est l'algèbre ordinaire. C'est le mouvement des équations allant par voie d'identité, transformant un principe donné en toutes ses conséquences. Mais les modernes, savoir Newton et Leibniz, ont incarné dans le calcul , comme méthode régulière, générale et habituelle, le procédé de transcendance.

De sorte que nous n'avons plus sonlement dans la science... « le développement par laUp^bre du principe « d'identité, » nous avons aussi « le développement par te fahjèùre du principe de trrfuficendance. » Les deux procédés ou mouvements nécessaires de la raison sont inoculés dans l'algèbre. Il y a ce que Lagrange appelle c( l'analyse algébrique des quantités finies , » et il y a a l'analyse transcendante. »

Quand Leibniz découvrit son calcul infinitésimal, il lui donna le nom de tramcmdani, et l'appela « supplément « de l'algèbre ordinaire ». De sorte que ce qu'on appelle les hautes mathématiques, 1rs inathématiques transcendantes, ou la haute analyse, c'est précisément cette partie des mathématiques qui repose sur le principe d(> transcendance. Ainsi du moins l'entendent plusieurs écrivains compétents.

INTRODUCTION. g^

« Ce n'est que dans ces derniers temps, dit Gehrard» « que les recherches théoriques ont amené à cette con^ « viction, que la conception des limites est Vunique fon^ a dément solide de tout f ensemble de la haute analyse • « et pourtant il y a bien des voix qui disent encore que « c est une conception trop obscure et trop difficile pour « ceux qui entreprennent l'étude des hautes mathémati- « ques. »

« L'un des fondements de la haute analyse, dit Whe- « wel, c'est l'idée des limites. L'idée des limites ne peut « être remplacée par aucune autre définition ou hypo- « thèse. L'axiome, qui introduit cette idée dans le rai- « sonnement, est celui-ci : Ce qui est vrai avant la li~ 'imne, est vrai à la limite. Cette idée ou axiome est la « base commune de toutes ces méthodes, dites des limites «des fluxions, des variations, des différentielles et le « reste \ .. Ainsi, selon ces deux auteurs, toute la haute analyse repose sur l'idée des limites, ou sur ce principe • « Ce qui est vrai en-deçà de la limite est vrai à la limite » Cette formule ne diffère en rien pour le fond, et diffère tres-peu pour la forme, des formules données par Wallis et Leibniz. C'est le principe de transcendance, ou principe d'induction, base de la méthode infinitésimale comme le soutient et le montre Wallis. Seulement il reste' à critiquer cette formule qui, nous l'avons vu ci-dessus mené à l'erreur si elle n'est appliquée en son lieu et d'a-

« ^ZlTnf", ^" 'T' ""^y''' P^-- '^«h'-^'-d- Halle, 1835. Whewel, PInlosopIry of the indmtive sciences, Aphorism 42

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INTRODUCTION

INTRODUCTION

près les règles. Il faut dire dans quels cas elle s'applique. En d'autres termes, il reste à établir la théorie précise et entière de rinduction.

L'induction donc, aussi bien que la déduction, c'està-dire les deux mouvements nécessaires et suffisants de la raison, sont aujourd'hui organisés dans le calcul et dans

Falgèbre.

Et voici qui est admirable, c'est que cette puissance de la raison, méthodiquement organisée par le calcul dans ses deux mouvements essentiels , a été appliquée par les modernes à l'étude même de la nature, et s'appuie sur les phénomènes contingents pour arriver aux lois. L'analyse transcendante de Leibniz et de Newton est réellement l'induction sous forme mathématique, applicable et appliquée à la physique. Déjà Leibniz avait remarqué que son « calnil <st surtout utile pour appliquer les mathé- « matiques à l'étude de la nature*. » Quant à Newton, il a donné le plus admirable modèle de cette application dans son livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.

Enfin il est fort important de remarquer que l'induc- ^tion ou procédé de transcendance se trouve aujourd'hui dans la science à deux états très-différents : à l'état libre et àUétatorganisé. L'induction est organisée dans lecalcul intiiiitésimal. Elle opère par des règles prévues, lesquelles se ramènent toutes au principe de Wallis et de Leibniz. Le résultat s'obtient méthodiquement, immédiatement, à

' Magrmm cumprimis a.mm hahet calculus ille in transfe» renda matftesi ad mit uro m. hGiire&k Fardella. Septembre 1696.

coup sûr. Passer de la fonction primitive à la fonction dérivée, par la différenciation, c'est un acte de cette induction. M. Apelt le démontre amplement. J'ai cité cette démonstration. De mon côté, j'avais déjà démontré la môme vérité dans la première édition de ma Logique (livre IV, au commencement). L'autre état où se trouve l'induction, l'état libre et non organisé, est celui où Tem- l^ ploient tous les chercheurs et inventeurs, ceux qui font avancer la science, qui cherchent les lois, non encore connues, de certaines suites de faits géométriques et algébriques. Là on ne procède plus à coup sûr : on cherche. C'est ainsi que Newton a trouvé la loi du binôme, en concluant de quelques faits à tous. Mais lorsqu'on trouve, c'est qu'en ce cas on a suivi, au fond et en substance, la méthode telle qu'elle est incarnée dans le calcul, kf^ et telle que je l'ai décrite dans ma Logique et dans la Connaissance de Dieu,

¥:.^P^^*^. distingue ces deux états de l'induction qu'il nomme les deux formes de l'induction, sa forme hypothétique et sa forme jcaté^orique. L'une, dit-Tl, est l'induction de Kepler, et l'autre celle de Newton. Kepler, étant donnés plusieurs points de la courbe que parcourt la planète, a trouvé la nature de la courbe. C'est l'indue- ^i'^à l'état libre, affaire de tact et de génie, dont Kepler dit lui-même : « Mon bon génie me souffle le résultat. » Le bon génie procède selon la loi de l'induction, et l'inventeur aussi, mais l'inventeur a suivi, sans le savoir, la loi que le bon génie connaît bien. L'autre forme, dit toujours M. Apelt, est celle par laquelle Newton, étant donnée l'équation de l'orbite, a trouvé la loi de la cause qui

INTRODUCTION

prodoit cette forme de l'orbite. Or, la loi de cette cause, dit M. Apelt, est donoée justement par la fonction déri-

fée de l'équation de Fellipse.

Wallis disfinsiH* aussi très-bien ces deux formes de rinductîun, luue à Yéud méthodique et Fautre à l'état

libre.

' La preiiiirre est celle qu'il pose comme principe de gOB arithmétique des infinis ; c'est à la fois le principe des limites et des iiiliiiiment petits, savoir : « Lorsque « dans le fini deux quantités convergent de manière (t à s'approcher toujoui's, elles sont égales dans Tin-

« tini '. »

La seconde, qui , lorsqu'elle va droit et quand elle tn.inr, ii'.i pu que p''Arôdcr, au fond, comme la première, cette secoiidt', W aiiis la décrit au commencement de <on arithmétique des inlinis. L'induction , là où elle n't'st pus uryaiii&et; dans le calcul, roii-i^te, selon Wallis, en ceci : 1" Opérer le calcul dans un certain nombre de cas particuliers. 2« Observer les rapports qui apparaissent entre ces cas particuliers. T Puis , par Tacte inductif proprement dit, formuler la loi générale.

Donc enfin, puisque l'induction est l'un des deux procédés fondamentaux de la géométrie, puisque c'est à rinduction, comme s'exprime Laplace, que l'analyse mathématique doit ses plus brillantes découvertes, je conclus que l'induction, ou procédé de transcendance,

« Wallis exprime son a\iunie de plusieurs manières, identiques au luud. Dans h; chapitre ix de l'Algèbre, il dit : « Ouae ita coutinuu converguot ut futura sit differenlia luiiior quavis data, ea, si in infinitum continuantur, coincident. »

IINTRODUCTION. gj

n'est point un procédé de tâtonnement, de conjecture qui ne mène qu'à la vraisemblance ou à la probabilité, mais au contraire, c'est un procédé scientifique, légitime, fécond, exact, le plus puissant des deux mouvements de la rajson pour trouver et montrer la vérité dans toutes les directions de la pensée.

RÉSUMÉ SUR UINDUCTION.

Nous espérons contribuer, par ce travail , à l'achèvement de l'importante théorie de l'induction. De l'aveu des contemporains qui se sont occupés de ce point, cette théorie n'est pas achevée. MM. Hamilton^ Whe'welP, Ape]t\de Rémusat^et Waddington^ chez lesquels je' trouve des données excellentes sur l'induction, sont ici d'accord avec nous**.

' Œuvres complètes. - « jji.toire des sciences inductives (cet ouvrage a ete traduit en allemand par [ Jttrow). — ^ Théorie de l'induction, - * Bacon, sa rie, sa pAiiosopàie, - « Essais de logique.

« 11 y a, dans le livre de M. de Rémusat, une discussion fort remarquable sur l'induction. J'y lis ce jugement fort simple, mais excellent : « 11 n'y a point d'induction de Bacon. » J'y vois d'ailleurs Bacon fort bien jugé comme philosophe, — ni^si haut, ni si bas, — sans partialité ni passion. Quant à l'induction même, M. de Remusat en poursuit et en corne l'idée avec beaucoup de tact, de finesse et de liberté d'esprit. Mais, selon nous, il ne l'atteint pas. n ne la distingue pas assez décidément du syllogisme et ne croit pas que l'existence ou la non-existence du mo?jen terme soit une différence radicale entre les deux. Nous croyons que c est la précisément ce qui empêche de saisir la véritable idée de l'induction.

'Il*

INTBODUCTION

Quant à nous, si nous croyons avoir fort avancé cette théorie, nous n^avons jamais espéré Fachever, Farrèter et la formuler tout entière, scientifiquement. Ce travail reste à faire, et nous exhortons vivement les logiciens à l'entreprendre, en s'aidant des auteurs que je viens d'indiquer, et aussi des ouvrages de Herbart et des nôtres.

Voici d'ailleurs le résumé de notre pensée sur l'induction considérée en elle-même, et dans ses rapports avec l'ensemble de la philosophie.

1. Il y a Dieu, il y a l'âme, il v a le monde. L'âme est Fimage de Dieu : le monde aussi, d'une certaine manière, est Fimage de l'âme et de Dieu.

2. L'âme sent tout, et, comme le dit Bossuel, a le pouvoir d'être rendue conforme à tout. L'âme sent Dieu et le monde et elle-même.

3. Ce sens de Fâme, qui est sa première puissance, la racine double de son intelligence et de sa volonté, ce sens qui est Finstinct du désirable et de Fintelligible, ce sens implique foodamentalement deux idées qui, dans leur substance, sont innées : l'une est Fidée de l'être, de Fêtre fini et de l'être infini ; Fautre est Fidée de cause, de cause première et de cause finale.

4. Pourquoi ce sens implique-t-il Fidée de Fêtre fini et de Fêtre infini? Précisément parce que l'âme sent Dieu, l'être infini, et le monde et elle-même, êtres finis. Pourquoi ce sens implique-t-il Fidée de cause première et de cause finale? Précisément parce que Fâme sent Dieu, qui est tout cela.

5. Quoi qu'il en soit , ces deux idées , implicites et obscures, sont les racines de la raison.

INTRODUCTION. 93

6. De ces deux racines naissent les deux principes rationnels, savoir : le principe dHdeiitité et le principe de transcendance; principe d'identité , relatif à Fidée de Fêtre; principe de transcendance, relatif à Fidée de cause.

7. De là découlent les deux axiomes régulateurs des mouvements de la raison.