RÉSISTANCE DB L AIR

avec ie calibre de 8,}Di avec celui de 22^. Parmi ces deroiers^ il y a lieu de négliger ceux qui se rapportent à la faible vitesse de 208"74^ comme uous l'avons lait pour les calibres de M et de 1% et de rester ainsi dans des limites de vitesse plus res^ tterré^s^ ces résultats présentent d'ailleurs Une anomaliet

33. Coefficients du premier terme d'après rensemble dei éxpi^

Pour obtenir entre tous ces résultats des moyennes plus pré-* clse^^ il convient d'attribuer à chacun un degré d^roportaûCd proportionnel à la résistance mesurée, c'est^^à-dlre pîoportioti^ nel à l'étendue du trajet, et^ quand il s'agit du même calibre, pro* portionnel au produit de ce trajet par la section du grand cercle. On trouve ainsi pour les expériences avec les calibres de 24 et de 12, pour les vitesses les plus habituelles, qui ne sont ni inférieures à 210**, ni supérieures A 468°*,

L'ensemble de ces résultats et de ceux des calibres de ft et de l'obusier de 22*", donne 0,02675. Enfin, en y comprenant les vitesses supérieures à 465°*, n'omettant ainsi que les résultats aux très-faibles vitesses , qui ont présenté des anomalies, on obtient A = 0,02718.

Ces résultats sôUt satlsfkisaiits, et font voir que dans les limites habituelles des vitesses, il ne reste sur la grandeur de la résistance qu'une incertitude qui n'atteint pas un oeiitiétiie de la résistance. De là l'on conclut que la loi de la résistance de l'air, lorsque Sa densité est égale à 1,2083, est assez êxactem^t

représentée par la formule p = ic R' t?^ 0,027 fl -j- ~\ .

25. différence dans la résistance de F air, suivant que la vitesse du corps est décroissante ou constante.

Cette formule de la résistance de l'air, résultant de l'obser^ vation de la vitesse décroissante des projectiles en mouvement dans l'air, n'est pas nécessairement applicable à tout autre mouvement d'un corps sphérique, par exemple à la chute d'uto globe dans l'air par l'effet de la pesanteur^ en effet, dani^ le premier caa^ eu la vitesse est décroissante^ le projeetUe entriane

RÉSISTANCE DE l'AIR. 43

après lui une sorte de poupe fluide^ qui a la même vitesse^ qui agit sur lui comme une masse supplémentaire/et dont l'effet est de rendre la diminution de la vitesse moins rapide; ce résultat doit être accusé dans la formule par une diminution sur les ooefficientSé

C'est en effet ce qui a lieu ; d'après des expériences sur la chute dans l'air des globes du diamètre de 0"13 (moyen entre cetii des boulets de 12 et de 24), et pour des vitesses qui allaient

jusqu'à 9-% on a 4 = 0,537 ou p' = ^l|^i^ = 0,0531,

tandis que, d'après les résultats du tir des boulets pour une vitesse moyenne de 6"*-% on aurait p'=i 0,0274^

C'est donc à tort que les divers auteurs qui ont cherché la formule de la résistance qu'éprouvent les projectiles dans l'air, ont cru devoir l'assujettir à représenter les résultats des expériences de Newton sur la chute des corps dans Tair, ou d'autres dans lesquelles on dbservaili, avec un appareil de rotation^ la résistance éprouvée dans les mouvements uniformes. Nousméine avions été etitrainé dans cette voie, ce qui nous avait conduit i introduira un terme dé plus dans la formule ; mais, comme nous avions eu grand soin d'assujettir cette formule à représenter exactecdent les résultats de l'expérience aux vitesses ordinaires des boulets, il n'en résultait qu'une complication sans aucune erreur dans les applications qu'on en pouvait faire. Il n'y a que dans le tir ordinaire des bombes, à des vitesses plus faibles que celles des boulets, et pour lesquelles nous n'avions pas d'expériences que nous avions proposé une formule un peu différente.

Cette distinction, entre les résultats des deux modes d'expérience, est importante en ce qu'elle simplifie l'expression de la loi de la réiHStanca éprouvée par les projectiles dans l'air. Cependant, aussi, ces considérations conduiraient à distinguer, dans le jel des bonibes, le mouvement d'ascension qui est plus rapide au départi et dans lequel la vitesse va en décroissant plus rapidement que dans le mouvement horizontal^ d'avec le mouvement vers le sommet, où le projectile s'écarte peu du tir des boulets, et d'avec le mouvement de chute dans la branche des* cendante où le mouvement est accéléré; cela compliquerait les

4A nÉSISTANCE DE l'aIR.

lois du mouvement dans ce genre de tir qui présente déjà beaucoup de difficultés. Mais comme dans ce cas les projectiles sont très-lourds et les vitesses faibles^ la distinction perd toute son importance, et l'influence de la poupe fluide ne parattpas assez grande pour qu'il soit nécessaire de l'introduire dans le calcul de la trajectoire.

24. Résistance de Vair sur les balles de fusil déduite de Vobservationde la trajectoire.

Les expériences faites, en 1849, avec des balles de fusil pour déterminer les règles de tir des armes à feu portatives, m'ont fourni un moyen de déterminer le coefQcient de la résistance de Tair dans ce cas particulier.

Dans ces expériences, le fusil était tirera l'épaule par des hommes exercés, qui visaient constamment sur le même point d'une cible de 4" de hauteur et de 4" de base, et sur laquelle on observait la hauteur du passage de la balle ; la moyenne des hauteurs donnait un point que l'on regardait comme appartenant à la trajectoire moyenne {Mémorial d'artillerie, n» vu, 1852, p*. 329 et suivantes). Le résultat d'un grand nombre de coups, à diverses distances, jusqu'à 400", a donné les hauteurs ou ordonnées, au-dessus de la ligne de tir, indiquées ci-après :

Distances. . 25» 50» TS- 400» 425» 450" 475- 200- Ordonnées. . 0,05 0,09 0,42 —0,04 —0,48 —0,42 —0,74 -4,00

En traçant une courbe régulière, qui représente le mieux l'ensemble de ces points, on trouve qu'elle coupe l'axe des abscisses à 100"*, et qu'à celle de 2O0«, elle est de 1"16 audessous de ce même axe. Ces deux points appartiennent à la trajectoire moyenne ; en cherchant l'angle de projection et la vitesse initiale de la balle qui doit passer par ces deux points^ et en faisant plusieurs hypothèses sur le coefficient de la résistancede l'air, on reconnaît celle qui satisfait le mieux aux observations, et notamment à celle de la vitesse initiale déterminée par des expériences directes.

Lediamètre moyen de la balle est O^Ol 67, son poids moyen

RÉSISTANCE DE l'aIR. 45

0*P268 ; celle balle, tirée à la charge de 0^009 de poudre de mousqueterie ordinaire, a donné une vitesse de 446°-''(*).

Eu adoptant 0^0023, pour rapport du coefficient des deux termes, dans la loi de la résistance de Tair, et en prenant pour A diverses valeurs de plus en plus grandes, on trouve que les vitesses initiales sont de plus en plus grandes, et que celles d'où résultent des vitesses qui comprennent la vitesse observée 446°»=% sont 0,027 et 0,028; on obtient respectivement 442",0 et 449'"6 pour les vitesses et en môme temps des inclinaisons de la ligne de projection, qui sont 0,00558 et 0,00531 ; la vitesse observée directement étant à peu près une moyenne entre les deux autres, on en conclut que le coefficient de la résistance qui satisfait le mieux à la condition d'une vitesse égale à la vitesse observée 446" est A = 0,0275.

Chacune des hypothèses représente la trajectoire moyenne passant aussi près des points observés que le permettent les inégalités inévitables dans ces expériences, comme on le voit dans le tableau suivant :

Ordonnées observées et calculées de la trajectoire d'une balle fusil de O^Oie?, tirée à la charge de d^ dans le fusil d'infanterie, modèle 1822 transformé.

Dislances 25» 50« 75» 400» 425» 450»

Ordonnées observées 0,05 0,09 0,42 0,02 —0,48 —0,42

Ordonnées du tracé » » » 0,00 » »

Oj^doii^ jA« 0,027, V«442»'-0. 0,07 0,09 0,08 0,00 -0,45 -0,38

**.fi |A«0,028,V=449ni:»6. 0,07 0,09 0,08 0,00 —0,15 —0.37

Distances. 476» 200» 250» 300» 400»

Ordonnées observées. . —0,73 -4,00 —2,76 -4,87 —44,85

Ordonnées du tracé » —4,45 » » »

o^^|>.*"jA=0,027,V«442«n:-0. -0,74 -4,45 -2,48 -4,56 -42,41

**tteriA=0,028,V=449«:i6. -0,70 -4,45 -2,49 -4,67 -42,40

Les deux trajectoires calculées représentent assez exactement Tune et l'autre, les hauteurs observées; cependant le coefficient 0,027 les représente mieux jusqu'à 250°>. Malgré les diflférences qu'on remarque et qui doivent être attribuées à des

Mémorial ^'artillerie, 1852, page 325.

46 RÉSISTANCE DE L'aIR.

irrégularités inhérentes aux observations^ on doit eondnre que la résistance des balles de fusil dans l'air est à très-peu près représentée par un coefficient 0^0275. Ces expériences ont été faites dans les mois de juin et de juillet 1848^ où la densité de Tair était au-dessus des moyennes de Tété^ du printemps et de l'automne^ ou de 1^2083 ; de façon que, rapporté à cette densité^ le coefficient devrait être un peu augmenté et compris entre 0,0276 et 0,0280. Une partie de Taugmentation que nous trouvons comparativement aux boulets doit tenir aux irrégularités des balles, produites par des chocs ou des compressions de la matière, plus sensibles relativement à leurs diamètres, que dans les boulets.

Ce résultat empêche donc d'admettre que le coefficient de la résistance augmente d'une manière sensible quand le diamètre diminue ; la légère différence que l'on peut remarquer est dans les limites de la précision qu'on obtient; ainsi le calcul fait voir que si, avec la vitesse observée 446*°'*, on prenait le coefficieiii 0,027, au lieu de 0,0275, la nouvelle trajectoire serait moins infléchie que la première, et que si elle passait par le même point à 200 mètres, elle serait comparativement rabaissée de 0«01 à là distance dé 100™. Cette différence 0"01 est dans les limites de la précision sur laquelle on peut compter ; car si dans quelques points, elle éloigne la trajectoire calculée de la trajectoire observée, elle l'en rapproche dans d'autres ; on ne saurait cependant sortir notablement de la limite que nou3 indiquons, sans arriver à un désaccord marqué.

L'accord obtenu entre la trajectoire calculée et la trajec-* toire observée ne tient pas au diamètre du projectile ; il n'est pas moindre pour les forts calibres, comme le fait voir l'exemple suivant :

Dans le tir de 100 boulets de 16 (0"^13) avec une charge et sous une inclinaison constantes^ à travers des réseaux en ficelle, on a déterminé pour chaque projectile les hauteurs à quatre distances ; on en a pris les moyennes et on a eu ainsi les coordonnées de quatre points de la trajectoire» Déterminant, avec les coefficients admis de la résistance de l'air, l'angle de projection et la vitesse initiale qui font passer le projectile par deux des quatre points, et calculant les coordonnées

RÉSISTANCE DE l'aIR. 47

qui correspondent à toutes les distances^ on obtient les résultats ci-après, savoir (*) :

Distances ÎOO» 400» 600» 666» 8

Ordonnées observées.. , . . 3,94? 4,30fi ^0,003 —1,750

Ordonnées calculées 3,912 4,320 —0,003 -^2,766

Différences —0,005 0,0^5 0,000 -0,007

Ces différences sont insignifiantes et ne sortent pas des li-' mites de l'exactitude des observations, La vitesse et l'angle de projection calculés s'accordent égalen^ent avec Iç résultat des observations directes.

S5. Calcul des expériences de Hutton par M. le chef d'e$ca^ dron Touzard^

Les résultats des expériences de Hutton sur Iq calibre de 1 liv. ont été reprises, en 1835, par M* le chef d'escadron Touzard (**).

En nommant h le rapport de la résistance réelle au poids d'un cylindre d'air qui aurait pour base le grand cercle du projectile et pour hauteur, la hauteur due à la vitesse du mobile, rapport qui, suivant la théorie de Newton, devrait être 0,50 pour une sphère, R le rayon du projectile, P son poids, v sa vitesse, § la densité de l'air, g la pesanteur ; la résistance de

l air est p = — - — t?*, et la valeur p' est p' =;: — .

k varie avec les vitesses. En posant — = ^ J^ ^ ou

- = ft —17-, nommant V la vitesse initiale inconnue, v étant c P ' '

la vitesse à une distance x, la résistance étant supposée proportionnelle au carré de la vitesse, et le trajet horizontal, on aura :

y te V 2P *

-z=c ou — zze

(*) Traité de Balistique, p. 294. Expériences de Metz, en 1844 et (*") Mémoif^ prétenté an Comité de i'artiHerie, en mai 18$3.

48 RàSISTANGE DE l'aIR.

OU en preDaot les logarithmes^

LogV = Logv + *-^yÎLoge.

Cette expression fournit une équation de condition entre k qui est Tioconnue et la vitesse initiale également inconnue ; k est regardé comme constant dans I|étendue du trajet et pour les divers projectiles tirés avec la même charge de poudre ; mais la valeur de v n'est pas nécessairement égale dans chaque expérience; il ne sera donc pas possible^ par une même valeur de k, de satisfaire à chacune des relations en particulier^ on peut seulement trouver un système de valeur de t? et de ii; qui donne les moindres chances d'erreur. Dans cette recherche, M. Touzard a employé la méthode des moindres carrés et l'a appliquée aux expériences de 1788 sur le boulet de 1 liv. ; il a ainsi obtenu, pour l'expérience avec chacune des charges de 16% 8*", 3*»% 2**° et 3/4*^", une valeur de k qui doit être regardée comme se rapportant à la vitesse moyenne du trajet^ il est ainsi arrivé aux résultats ci-après : .

Vitesses (pieds anglais). . 4768 U43 4022,5 797 534

Valeurs de k 0,98547 0,89454 0,76308 0,64435 0,52752

Craignant que les résultats obtenus à 30 pieds ne soient affectés d'une erreur provenant de Taclion des gaz de la poudre, il les néglige et obtient des résultats un peu différents des premiers, et qui sont respectivement :

Valeurs de ^ 0,96246 0,84645 0,75960 0,63423 0,53473

Il a également négligé les expériences à la charge de 4°% qui donnent des résistances beaucoup trop grandes.

Il cherche ensuite à représenter ces résultats par une formule à deux termes dont Tun est constant et dont l'autre est proportionnel, soit à la première, soit à la seconde puissance de la vitesse; en y appliquant encore la méthode des moindres carrés, il obtient, 1* en tenant compte de toutes les expériences,

k = 0,0351277 + 0,000371 648 v, ou k = 0,544500 + 0,00000015379 v* ;

2* en ne tenant pas compte des vitesses à 30% k = 0,237843 + 0,0004578 v, onkzz 0,500000 + 0,000000! 6847 v

RâSlSTANGE DB L'aIR. 49

Les formules qui ne contiennent que la première puissance (le la vitesse ont^ au& yeux de Tauteur^ le grand défaut de ne pouvoir représenter les résistances aux petites vitesses; celles qui contiennent le carré s'en rapprochent davantage pour l'ensemble des résultats ; la dernière^ où l'on néglige les vi« tesses à 30% représentant exactement la résistance théorique^ lui parait mériter la préférence ^ elle se réduirait ainsi à

Mais les circonstances du mouvement des projectiles n'étant pas les mêmes que celles de la chute des globes^ c'est un tort de s'assujettir à les représenter par une formule commune.

Les deux premières formules seront mises sous la forme

p'zsAI 1 -|--J ; en remarquant que l'on a pris p' = — , en

adoptant^ comme pour les expériences de Melz, S = 1^2083, ^ = 9'°8090; et traduisant les mesures anglaises eu mètres^ on trouve : l*" en employant tous les résultats ,

p= 0,021656 (l-f -JL— ) ; 2- en faisant abstraction des

vitesses à SO», p' = 0,014649 (i + j^) .

Dans l'une et l'autre de ces formules, le rapport des deux coefficients est plus grand que dans celles que nous avons données, et les premiers termes plus petits. Pour une vitesse moyenne entre celles des expériences de Hutlon, ou d'environ 400°», on aurait respectivement p =0,051676 et p'=0,051637; ces valeurs ne présentent que des différences négligeables. La

formule p' = 0,027 (l + -^ j donnerait p' = 0,051827. Les

deux précédents résultats n'en diffèrent que de quantités peu importantes, malgré la différence des calibres.