n: — - . ■ ■ ■ ' ^- - et de là p'— 3--5r

2c a Loge ^ 2cicR*flf

Les différences qui peuvent résulter des deux modes de cal<cul dans les cas les plus défavorables sont très-faibles ; ainsi, dans une expérience faile avec le boulet de 24, h la charge de 1*50 de poudre, les vitesses moyennes des boulets aux distances dé 18* et 90* du pendule balistique ont été respectivement 865«72 et 346«03, le diamètre du boulet étant de 0^14804, son poids 12^010, la densité moyenne de Taî^ l^SOdl) on a par la première méthode :

^ ""0»»07121.9"809 Tb-'-aSS-ST

t)*après le second n^ode d'opération^ on a ^

î Log 365,78 -^ Log a46,QS 2c"" 75. Log 2,71«2«

rt „»-,JMÎl- Log 365,72 -Log 346,03

*^ P.-ô;onil. 9-809 ' ^ 78. Logi,7iéM ■■■■.■■ac8,0î»W.

(^) I)ans rbypolhèse de la résistance de Vàlt proportionnelle au carré P de la vitesse, - étant la masse du projectile^ la force retardatrice est

|i=p| et ayant fait P^^^,. on am j-,»?'^.

En considérant Iç moayement comme horizontal^ représentant te tra^

, dv V* ^ dx

et parcouru p9r 07, le temps par t^ oq aura ^*=2^# ^^ vu (jue v^-g-, on aura -r""^ ^'^^ en intégrant, depuis Hn^a Jua^n'à x^a^ <^m

de Y à y, on aura :

LogV-LogV'^i^â«*^î ë^ V':=-V« ^^

8 BêâlSTANCE DE l'aIR.

La différence entre ces deux résultats du calcul n'est donc que de 0,00001, c'est-à-dire -^^ du résultat, quantité négligeable et inférieure à Terreur qui résulterait d'une différence de j^ de millimètre dans la hauteur du baromètre au moment de l'expérience. Elle provient de ce qu'à

Log V — Log V, on a substitué ftvXvm' ^^^*® snbstitutioa

donne une différence d'autant moindre, que V — V est plus petit, mais n'est rigoureusement exacte qu'à la limite où l'on

a a loj; V = — .

Remarquons ici que comme l'on doit arriver à une expression linéaire du coefGcient de la vitesse, on ne commet aucune erreur en prenant la moyenne des coefficients individuels d'un groupe d'expériences, pour les attribuer à la moyenne des vitesses correspondantes, puisque ces quantités doivent, dans la loi que l'on cherche, croître danâ le même rapport ; nous reviendrons sur cette observation.

Troisième méihode. Lorsqu'on suppose la résistance exprimée par deux termes, l'un proportionnel au carré, l'autre au cube de la vitesse, et que dans l'expression bindme de cette

résistance p'= A f 1 -| — \ on connaît déjà, ou qu'on se donne

à l'avance, le coefficient du second terme —, on obtient beau- ' r'

coup plus d'exactitude dans la détermination du premier terme A. En faisant 2<?=L--^ on a p=AicR«t>«M+^V et(*)

{*) Dans l'hypothèse où la résistance de l'air est pzsA M + i) t;», laforcerelardatrice est|^M + M — p^; en considérant le mouvement comme horizontal, le trajet étant a;, le temps ^, on aora

RÉSISTANCE DE l'aIK. 9

d'où l'on tire

Log (l +^) = Log (l +^') +^ Log« et ^=rLog(l+^)Log(l+I)]-l

et comme A= — 57^, on aura

'^^gO + ^)-Log(l + l)

5firR*LogC a

Cette formule donnerait dans l'exemple cite en prenant r=435'" conformément à ce que Ton verra plus loin

Log 368,72 + Log 800,72— Log 346,03 - Log78i,03 ^ 0288794

et pour une vitesse SSB^ST, qui est la moyenne, des vitesses observées, on aura p' = 0,0288794 [l + ?^^=0,652505,

celte valeur est tout ft fait exacte si celle de r est bien choisie, ce qui a lieu»

3. Comparaison des trois méthodes, avantages particuliers de la troisième.

En comparant entre elles les trois méthodes, on voit que les

et, TO que V -.5^, on aura ^ - (< + - j ;

d'où * ' rfa!--2c ^"

et, en intégrant entre les limites a et a^ auxquelles correspondent les vitesses V et Y' , puisque o' — a =:a, on aura :

et- 8c log i f(— on 4+f,-(<.f^)«

10 RÉSISTAHCB DE L*AI1I.

résultats diffèrent par les trois termes suivants qui se remplacent mutuellement^ le logarithme étant népérien*

et dans l'exemple cité plus haut^ elles donnent respectivement

p'i5:D,0524fô; p' = 0,052490; p' = 0,052505.

La première donne des résultats trop faibles de gsgr du véritable; par la deuxième méthode^ la différence est réduite aux trois quarts de cette Traction.

Ces quantités sont réellement négligeables dans la recherche qui nous occupe, elles ne correspondent qu'à trois dixièmes de millimètre sur Te^limation de U hauteur 4tt baromètre i mercure *

Le cas le plus défavorable qu^on aura à considérer est celui d'un intervalle de 100« dans le tir du boulet de 18, et dans lequel on a V=3 487, V':s5«4, et i (V + V) = A65,5 ; l'erreur relative neiscrait que de 0,001 , correspondant à moins dé 0**001 de mercure sur l'estimation de la hauteur du baromètre.

La dernière méthode, outre sa plua grande êiaotitudev a l'avantage de se prêter beaucoup mieux à la détermination du coefficient que Ton cherche, lorsque les vitesses observée* ne résultent pas de l'observation du mouvement d'un» même projectile. Si Ton suppose, en effet, que V^ sort la vitesse inittate et que les intervalles soient comptés à partir de la tranche de la bouche du canbn, il en résultera que, pour un même prôjetetile, les vitesses, si elles sont obtenues exactement, décrt)ilroat

de telle sorte que Taccroi^sement de Log (l + y I sera proportionnel & là dîéfôntcdt, et le rapport de cet â(Sch)ï»ÉcAÎ<aii à «i^

multiplié par — ^-r , donnera la valeur de A.

Lorsque le$ y itessê^ observées V> V'm» résultent de vitesses initiales qui ne sont pas les mêmes, itÀîadés Moyennes Vi,V/*..

KÉmtxm^E DB L'Ata. 11

qui ne présentent que de petites différences^ les aocroissements

qu'on peiil observer^ = - Log f 1 -f- ~J — Log il + ^J ne

seront plus nécessairement égaux pour deux ^noyennes quel-t conques, par conséquent, lors même que A, P el R seraient

constants, les valeurs d^ Log ( 1 -^^j paraîtront croître diffié<*

remment de pu Ea représentant les résultats graphiquement par dep points,

en prenaiQl a pour abscisses et Log f 1 -j- ^ j pour ordonnées,

les points seront eo ligne droite si les vitesses sont exactes ; la

valeur de A sera égale au produit de '■'■ • ■' et du quotient

â''KR'Loge ^

^ de la différence de dpux ordonnées quelconques par la différence des Iftbsolsses*

Ce quotient ^ n'est d^ailleurs ici que la tangente trigonomé** trique de l'inclinaisop sur l'axe des abscisses de la ligne qui passe par les deux points et peut être déterminé graphiquement.

Si tes vitesses V, V ont été observées au pendule t)alistU que, les vitesses initiales inconnues Vp V/ d'où elles résultent, quoiqu'pbtenues avec des charges de poudre et des projectiles qu'on regarde comme égaux, présenteront des écarts dans les résultats des ^expériences ^ et par suite dans les valeurs de

Log 1 1 ^ nU Les points ne seront pas en ligne droite. En

traçant la ligne droite qui représente le mieux l'ensemble des points, son inclinaison donnera la valeur moyenne de

p = - ^Log Ji + ~ j — Log Jl +^J j, et, par suite la valeur

de A, qui convient le mieux à l'ensemble des expériences. La hauteur à laquelle elle coupera l'axe des ordonnées donnera

Log (l + F'U Çt par §uitç 1^ vitesse iniliçile moyenne V^»

Cette propriété est précieuse pour l'interprétation des expériences faites au moyen du pendule balistique; elle s'étend évidemment aux charges de poudre et aux vitesses initiales différentes, dans les limites où A doit être indépendant des vHeséé».-