ÉQUILIBRE DES CORPS FLOTTANTS
^ On tire de cette équation où d' est seul inconnu :
En opérant de môme à Tégard de d, on trouverait pour sa valeur le chiffre 1,25.
' Ainsi :
La densité du premier liquide est 1,25,
Celle du second liquide est 1,10.
Mesure du changement de volume dans le mélange de deux liquides, — On fait un mélange de trois parties d'eau et de cinq parties d'acide sulfurique. Lorsque ce mélange est refroidi, on y plonge un corps solide qui perd 159%73 de son poids. Le même corps perd 10 grammes dans l'eau à -4*^** ^^ iS^^i dans l'acide sulfurique concentré. Y a-t-il eu contraction au moment du mélange, et, si cela est, quelle est la valeur de cette contraction?
Le volume d'un corps est égal à son poids divisé par sa densité. Or, en supposant qu'il n'y ait aucun changement au moment du mélange, et en représentant par d la densité du mélange, on peut poser l'équation :
I Si donc il n'y a ni dilatation ni contraction au moment du mélange, la
densité de ce mélange doit être 1,40, et le corps solide, dont le volume est
manifestement de 10 centimètres cubes, doit y éprouver une perte de
: 1,40 X 10 = 140*". Au lieu de cela, Texpérience montre que la perte éprou-
i vée est 153', 73. Il faut donc qu'il y ait eu contraction ; car, sous le volume de
10 centimètres cubes, le mélange pèse 15»',73 au lieu de 14 grammes.
Pour évaluer la contraction du volume, il suffit de se rappeler que dans un mélange dont le poids demeure invariable, les changements de volume sont en raison inverse des changements de densité. La densité s'étant accrue dans le rapport de 14 à 15,73 ou de 100 à 112,35, le volume a dû diminuer dans le rapport inverse ; on peut donc poser :
100 : 112,35 :: X : 100. d'où l'on lire x = 89. Ainsi un volume de 100 se réduit à 89. La contraction de volume est alors
Lu!
exprimée par — j^ — =11 centièmes
Équilibre des corps flottants. Hauteur totale d'un bloc prismatique de glace d'après celle à laquelle il s'enfonce dans Veau de mer. — - Un bloc de glace prismatique flottant sur la mer s'élève à 6 mètres au-dessus de sa surface. On demande la hauteur totale x du bloc de glace? On suppose la densité de l'eau de mer égale à 1,026, et celle de la glace égale à 0,93.
64i PROBLÈMES DE PHYSIQUE.
Si X représente la hauteur totale du bloc de glace, x — 6 représente la hauteur de la colonne d'eau déplacée; et Ton peut, d'après le principe des corps flottants, considérer les deux colonnes prismatiques de glace et d'eau comme se faisant équilibre sur une même tranche horizontale. Dès lors leurs hauteurs a? et a? — 6 doivent être en raison inyerse de leurs densités ; de sorte que Ton peut poser x : x — 6 :: 1,026 : 0,93 ; et Ton déduit de celte proportion ic (1,026— 0,93)= 1,026 X 6, d'où l'on tire finalement:
Ainsi la hauteur totale du bloc de glace sera 64"',062, et celle de la colonne d'eau de mer déplacée de 58"',062.
Équilibre des corps flottants. Cylindre, platine et boiSy équilibre dans Veau. Hauteur du cylindre de platine. — Une tige cylindrique de bois ayant 1 mètre de longueur est lestée par un cylindre de platine qui en forme le prolongement et qui a, d'ailleurs, la même section. Le système, plongé dans l'eau, s'y tient verticalement, et s'y enfonce jusqu'à la partie supérieure. La densité du bois est 0,5; celle du platine 21,5. Quelle est la longueur du cylindre de platine ?
Soit h la longueur du cylindre de bois et d sa densité. Soient de même h' et d' la longueur et la densité du cylindre de platine. Le poids du système des deux cylindres est wr^A X d + itr'^h' X d' ; tandis que le poids de l'eau déplacée est i:r^{h + h') X i-
Comme ces deux poids sont égaux d'après l'énoncé du problème, on peut poser :
« r» {hd + h'd') = ic r« (h + h').
En divisant par ic r* les deux membres de l'équation, il vient :
hd+ h'd' = h + h'; d'où l'on tire :
/,(l rf)lQOX0,5^,^ ** - d'-l "" 20,5 " ^'*'*-
Ainsi la longueur du cylindre de platine est 2^,43.
Application' combinée du principe d'Archimède, de la formule générale des densitéSy de la formule de dilatation de Veau. — Un tube de verre cylindrique, fermé à la partie inférieure et lesté avec du mercure, s'enfonce des trois quarts de sa longueur dans de l'eau à 4^. On demande de combien il plongerait dans de l'eau à 20«>? On sait que de 4« à 20» l'eau se dilate de 0,00179 de son volume, et l'on néglige la dilatation du verre de i^ à 20^.
Supposons que le tube soit divisé en 100 degrés. L'affleurement dans l'eau à 4' aura lieu au trait 75, et x représentera l'affleurement dans l'eau à 20*.
PRINCIPE D'ARCHIMÈDE. 6i5
Or, les changements qui surviennent dans la densité de Teau sont en raison inverse des changements qui surviennent dans son volume ; de sorte que si la
densité est 1 à + 4% la densité à + 20" sera ^^ = 0,9982.
Ensuite, la portion immergée du tube étant en raison inverse de la densité du liquide dans lequel il plonge, on a la proportion x : 75 :: 1 : 0,998â; on en déduit :
Ainsi, au lieu de s*enfoncer exactement au degré 75, comme cela a lieu à + 4°, le tube cylindrique dont il s*agit s'enfoncerait à 75", 13.
Application du principe d*Archimède et du coefficient de dilatation des liquides. — Quel est Teflort exprimé en kilogrammes qu'il convient de faire pour soutenir dans du mercure à -f- 30<> un morceau de platine dont le poids est de 20 kilogrammes ?
La densité du platine à zéro est 22, et celle du mercure à la même température est 13,59. Le coeflicient de dilatation est pour le platine 0,0000258, et pour le mercure 0,00018018.
Si à zéro la densité du platine est 22, à 30" elle sera :
Dès lors le volume V occupé par le platine à 30* sera :
Cette valeur de V représentera également le volume de mercure déplacé, puisque le platine est complètement plongé.
D'un autre côté, si le chiffre 13,59 exprime la densité du mercure à zéro, la densité de ce métal à + 30" sera exprimée par :
Le poids P' du mercure déplacé sera donc donné par la simple formule :
Ainsi le morceau de platine dont le poids absolu est de 20 kilogrammes supporte une poussée verticale dont la valeur, représentée par le poids du mercure déplacé, est de 12"', 29756. L'effort à faire pour soutenir le platine n'étant autre chose que la différence entre le poids de ce métal et celui du mercure, on a, en représentant cet effort par x,
Équilibre entre une sphère de platine plongeant dam le mercure et un cylindre de cuivre plongeant dans l'eau. Détermination du rayon du cylindre. — Une sphère de platine ayant 3 centimètres de rayon est suspendue au-dessous d*un des plateaux d'une balance hydrostatique et plonge complètement dans le mercure. Au-dessous de l'autre plateau est suspendu un cylindrt> de cuivre dont le rayon est aussi de 3 centimètres. Ce cylindre plonge complètement dans l'eau. On demande quelle doit être sa hauteur pour que l'équilibre ait lieu ?
Représentons la hauteur du cylindre par h. Soient <f = 22 la densité du platine, d' = 13,6 la densité du mercure, et d" ^Sy 8 la densité du cuivre.
Le volume de la sphère de platine étant ^ irr^, son poids dans l'air est : et son poids dans le mercure est :
De même le volume du cylindre de cuivre étant xr^hy son poids dans Fâir est tcr^h X d'\ et son poids dans l'eau wr« h X d"— irr«Aa= «r^A (d"— !)• Pour que l'équilibre ait lieu, il faut que l'on ait :
Tout étant connu, à l'exception de h, on en déduit :
wrMd" — 1)
Remplaçant les lettres par les nombres, il vient :
Le cylindre doit donc avoir pour hauteur 4^,3.
4L^ Aréométric.
Pèse-acide de Baume. Déductions densimétriques et volumétriques. — Un aréomètre pèse-acide, construit d'après les indications de Baume, s'enfonce jusqu'au degré 66 dans l'acide sulfurique dont la densité est 1,8. La lige de cet instrument étant supposée parfaitement cylindrique, on demande
ARÉOMÉTRIE. 647
i<> quelle est la densité de Teau salée qui a servi à sa graduation ; 2^ quel est le rapport qui existe entre le volume d'une seule division et le volume total de l'aréomètre jusqu'à zéro ?
Représentons par v le volume extérieur de l'aréomètre depuis sa base jusqu'au trait 66*; par v' ce même volume extérieur jusqu'au trait 15°, et par V le volume total jusqu'au trait zéro.
Les volumes de liquide déplacés étant en raison inverse de leurs densités, on a :
V ; t? :; 1, 8 : i ou v + 66 : v :: 1,8 : 1,
proportion d'où l'on tire :
= 1,8, et par suite t? = 82«%5.
V étant trouvé égal à 82,5, V devient nécessairement 82,5 + 66 = 148,5, et t?', qui n'est autre chose que V — 15 devient 148,5 — 15 = 133,5.
Les valeurs relatives de v, v' et V étant ainsi déterminées, la densité s de l'eau salée, qui a servi à la graduation, s'obtient par la relation V : v' :: 5 : 1,
laquelle somme 8 = ' = 1,112.
lÔÔyU
Enfin le rapport d'une division au volume de l'aréomètre jusqu'à zéro est évidenmient celui de 1 à 148,5.
Pèse-acide de Baume. Densité d*un liquidey d'après le degré qu'il marque au pèse-acide. — Quelle est la densité x d'un liquide plus lourd que l'eau marquant 35<* au pèse-acide de Raumé?
Soit, comme dans le cas précédent, v le volume extérieur de l'instrument depuis sa base jusqu'au degré 35 , le volume jusqu'au degré 15 sera
V -f 20, et le volume jusqu'au degré zéro sera v -f 35. Par les raisons déduites dans le problème précédent, on pourra poser les deux proportions :
t? + ^0 • V '• ^ • ^>^1^ (densité d'eau salée).
La valeur de v, déduite'de ces deux proportions, est '
X— 1,112 On peut donc poser l'égalité :
X étant seul inconnu, on déduit sa valeur de l'équation finale :
La densité du liquide qui marque 35^* au pèse -acide de Baume est donc 1,307.
Remarque. — En discutant ces résultats, on arrive à reconnaître qu'ils peuvent être résumés sous une formule algébrique très-simple, qui permet de les généraliser et de les appliquer à tous les degrés de Faréomètre.
n représentant le degré d'affleurement pour le liquide dont on veut connaître la densité j:, et i -|- ^ représentant la densité du liquide qui correspond au degré 15 (1,112 dans l'aréomètre de Baume), on peut poser la formule générale :
15(l-ha)
Pèse-liqueur de Baume. Densité d'un liquide, d'après le degré qu'il marque au pèse-liqueur. — Quelle est la densité x d un liquide moins dense que l'eau, marquant 40* au pèse-liqueur de Baume ?
Soit encore t; le volume extérieur de l'instrument depuis sa base jusqu'au trait 40", v — 30 représentera le volume extérieur jusqu'au trait 10®, el V — 40 sera le volume correspondant au trait 0^. Or, l'instrument a été gradué de telle sorte que le degré 0<» correspondit a une densité égale à 1,085, et le degré 10" à une densité égale àl. On peut donc poser les deux équations :
Le volume de v déduit de ces deux proportions est :
On
peut
donc
poser
l'égalité:
1 ,085 — X 1 — X X étant seul inconnu, on déduit sa valeur de l'équation finale :
43,40-32,55 10,85 ^ 43,40-30 îpCT""'^"^'
Ainsi la densité d'un liquide marquant 40" au pèse-liqueur de Baume est 0,809.
ARÉOMËTfaE. 649
Pèêe-liqueur de Baume, Degré qu'il doit marquer dans un liquide de densité connue. — Quel est le degré de x que marque le pèse-liqueur de Baume lorsqu'on le plonge dans un liquide dont la densité est 0,809 ?
Soit V le volume de Tinslrument depuis sa base jusqu'au trait x. On a, comme dans les' cas précédents, V — x pour le volume jusqu'au degré 0", et V — a;-f 10 pour le volume jusqu'au degré 10". D'ailleurs, le degré 0* correspond à la densité 1,085, et le degré 10° à la densité 1. On peut donc poser les deux équations :
Le volume de V, déduit de ces deux proportions, est : ** ^=T^ '''' (1,085-0,809),
^' . ^^nJ^ÔT «^ (1-0,809).
On peut donc poser l'égalité :
X étant seul inconnu, on déduit sa valeur de l'équation finale :
Ainsi, dans un liquide dont la densité est 0,809, le pèse-liqueur de Baume marque AO degrés.
C'est la contre-partie du problème précédent.
Aréomètre de Fahrenheit. Liquide de densité connue. Volume extérieur de Vinstrument d'après le poids nécessaire à V affleurement. — Un aréomètre de Fahrenheit pèse 80 grammes. Il doit être chargé de 45 grammes pour affleurer à la température de 20° dans un liquide dont la densité, à cette température, est 1 ,5. Ou demande quel est, à zéro, le volume de cet aréomètre jusqu'au point d'affleurement? Le coefflcient de dilatation cubique du verre est 0,0000258.
Soit V ce volume. Lorsque l'aréomètre affleure exactement au trait + 20°,
le volume de liquide qu'il déplace est v' = — tt~ ~ 83",33 ; et ce vo-
lume est nécessairement celui qu'occupe à -|- 20" la partie plongée de l'aréomètre.
En corrigeant ce résultat de Tinfluence de la température, comme 1& demande l'énoncé du problème, on a pour le volume v à zéro :
Ainsi le volume extérieur de Taréomètre jusqu'au Irait d'affleurement est,, pour la température de zéro, de 83",28.
ft'' Applications de la loi de Mariotte.
Baromètre contenant une petite quantité d'air: on double Vair, et on observe la hauteur; quelle est la pression ? — Un tube barométrique, contenant une petite quantité d'air, est renversé sur le mercure. La hauteur de la colonne mercurielle est 0,552. On introduit dans le tube autant d'air qu'il y en a déjà. La chambre barométrique augmente dans le rapport de 2 à 3, et la hauteur de la colonne mercurielle devient 0,480. Quelle est la pression atmosphérique au moment de l'expérience ?
Représentons par e l'élasticité que l'air possède au début de l'expérience.
On a pour le premier état d'équilibre : « = H — 0,552. La masse d'air
ayant été doublée, son élasticité, si elle n'avait pas changé de volume, aurait
été 2e; mais puisque, d'après l'énoncé, le volume est devenu -^, l'élas-
ticité a dû devenir -^^ Elle est donc, en définitive, eX2X-ô=-ô^- ^"
a aussi pour le second état d'équilibre -j^e = H — 0,480. Pour faire dispa-
raitre e dans les deux équations, il suffit démultiplier par -^ tous les termes de la première; on a ainsi :
Pour la première équation, -^ e = tt- H — -^ 0,552.
Pour la seconde équation, ■— « = H — 0,480.
Les deux derniers membres de ces équations étant séparément égaux à
-s- e sont nécessairement égaux entre eux, de sorte qu'on peut poser :
On en déduit :
