PERTE DE POIDS DANS L'AIR

Pression à laquelle U faut amener l'air pour que deux cubes de dimensions et de poids connus se fassent équilibre. — Aux deux extrémités d*ane balance très-sensible sont suspendus deux cubes : l'un de 3 centimètres de côté pesant 260%3â4O, l'autre de 5 centimètres de côté pesant 26u%2597. La balance étant portée sous le récipient de la machine pneumatique, on fait le vide, et il arrive un moment où l'équilibre s'établit entre les deux cubes. Quelle est alors la pression réduite f indiquée par le manomètre ?

Appelons p le poids réel du petit cube, et p' celui du grand cube. En supposant que la pression soit complètement annulée, on aura pour les poids réels :

Il n'y aura donc pas plus équilibre dans le \ide que dans Tair. Mais la différence des poids étant en sens inverse, on conçoit qu'il doive y avoir une pression réduite pour laquelle l'équilibre ait lieu. Soit x le poids du centimètre €ube d'air correspondant à cette pression réduite, on aura :

26,3591 — 27 a? = 26,4222 — 125 ar,

Ainsi, la pression sous la machine doit être réduite au terme où 1 centimètre cube d'air, au lieu de peser 0»%0013, ne pèse plus que 0u%0006438. Or, cette pression réduite, f, est donnée par la proportion 760 : 0,0013 ::f: 0,0006438, d'où :

Par conséquent l'équilibre aura lieu quand le manomètre de la machine pneumatique marquera 376°"°, 3.

Détermination du volume â^un corps plongé dans l'air d'après la perte qu'il éprouve, perte qu'il éprouverait si l'air changeait de température et de pression. — Un corps perd 6o'^,327 de son poids par le fait de son immersion dans l'air à zéro et à 0'",760. Quel est le volume du corps, et quelle est la perte de poids qu'il éprouverait si l'air était à+ 15® et à l'",250? On négligera la dilatation des corps.

Soit V le volume du corps exprimé en décimètres cubes, et représentons par a la perte de poids qu'il éprouverait dans l'air à -|- IS*" et 5 l'",250, on a, pour la perte de poids à zéro et à 0",760,

V X lo%3 = 63S327 ; "d'où l'on tire :

D'un autre côté, un décimètre cube d'air à + i5« et à 1",250 pèse, au lieu

délais,

Le volume du corps étant supposé invariable, le volume d'air déplacé à + 15® est encore 4^%8669; seulement la densité de cet air ayant changé et étant devenue 0,002026 au Heu de 0,0013, on a, pour Je poids deTair déplacé, en décimètres cubes, ou, ce qui est la même chose, pour la perte de poids,

a= i^^fiCm X 2,026 =99%860.

Ainsi le volume du corps est 4*%8669, et la perte de poids qu'il éprouve dans Fair à + 150» et à 1™,250 est 9fl%860.

7» Dilatations.

Mesure du coefficient de dikUaiion linéaii^e d*un corps. — Une barre métallique a 15 mètres de longueur à + 25° et 14'°,175 à8'>,5. On demande quel est le coefficient de dilatation linéaire du métal ?

Soit X ce coefficient. ' La longueur de la barre à zéro se trouve représentée

par . .^ dans le premier cas, et par : ' — dans le second. Comme

cette longueur à zéro est nécessairement la même dans les deux cas, on peut poser :

on en déduit :

et par suite':

0 R9Pï

Ainsi, le coefiûcient de dilatation linéaire du métal qui constitue la barre est 0,003636.

Coefficient linéaire comparé de deux solides. — Une barre de 3 mètres de longueur formée par un métal dont le coefficient de dilatation linéaire est 0,001326 se dilate autant qu'une barre d'un autre métal dont la longueur est 5 mètres. Quel est le coefficient de dilatation linéaire de cette seconde barre ?

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DILATATIONS. 66l

Représentons par x le coefficient de dilatation linéaire de la seconde barre, il faut que Ton ait :

3X0,001326 = 5a?, équation d'où Ton tire :

Le coefficient de dilatation linéaire de la seconde barre sera donc 0,0007956.

Application de la dilatation linéaire à la détermination de la température des fourneaux. — Une barre de métal ayant à zéro une longueur de l^jSS est placée dans uh four dont on veut déterminer la température. Le coefficient de dilatation du métal est 0,000017. On constate que la longueur de la barre est devenue i'°,â915. Quelle est la température à laquelle elle a été soumise?

Représentons par l la longueur à zéro, par l' la longueur à t, et par k le coefficient de dilatation linéaire. On a, d'après la formule des dilatations,

l+lkt=l';

d'où Ton tire :

* Ik ■

En remplaçant les lettres du second membre de l'équation par les chiffres qui leur correspondent, on a :

Ainsi la température du four, estimée d'après l'allongement de la barre, est 528%4.9.

Allongement éprouvé par un très-long fil de fer sous V influence d*une modification dans la température. — On demande quel est l'allongement qu'éprouve un fil de fer de 170 kilomètres de longueur, lorsque sa température passe de — 15® à +30*? Le coefllcient de dilatation du fer est 0,0000122.

Si le fil de fer dont il s'agit a une longueur de 170000 mètres à — 15% l'accroissement de longueur qu'il éprouvera en passant de — 15® à + 30* sera, d'après la formule ordinaire,

Ainsi, un fil de fer de 170 kilomètres s'allonge de 93",33 lorsqu'il franchit un intervalle de température de 45 degrés.

C'est là une considération qu'il ne faut pas perdre de vue dans la construction des grosses bobines électrodynamiques, dans lesquelles le fil induit atteint quelquefois une longueur de 150 à 200 kilomètres. Il est vrai que lés

variations de température qu'elles subissent ne sont pas comprises ordinairement dans des limites aussi étendues que celles que comporte l'énoncé. Mais il n'est pas rare que ces variations comprennent une étendue de 20 à 25 degrés.

Longueurs comparées de deux barres métalliques à des températures différentes. — Le coefficient de dilatation linéaire du cuivre est 0,000017J2; celui du platine est 0,000008569. On demande quelle différence il y aura à la température de 100® entre la longueur de deux barres, l'une de cuivre, l'autre de platine, qui a 4" ^0® ont chacune 3 mètres de longueur ?

La longueur du cuivre à + 1^° est représentée par :

La longueur du platine à + 100° est représentée par :

La différence entre les deux longueurs est donc :

Volume que possède un même corps solide à diverses températures. — 1 kilogramme d'un corps solide occupe le volume de 1000 centimètres cubes à la température de +15%4. On demande le volume à zéro et à +24%7 ? Le coefficient de la dilatation du corps est 0,000117.

Le volume à zéro est évidemment donné par la formule :

1+0,000117x15,4 et le volume à + 24«,7 devient alors :

Mesure du coefficient cubique d'un corps d'après son volume à deux températures différentes. — Le volume d'un corps est à zéro de 2354 centimètres cubes et à 30<*,45 de 2643 centimètres cubes. Quel est le coefficient de dilatation de ce corps ?

Soit X ce coefficient, on a :

On en déduit :

-=-7ïl|3r = «'««^«3i.

Le coefficient de dilatation du corps est donc 0,004031 .

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Volume intérieur d'une ampoule^ de verre à zéro d'après le volume qu'elle occupe à une autre température. — Quel est à zéro le volume intérieur d'une ampoule de verre qui, à 25**, est exactement remplie par 53 grammes de mercure ?

A + 25", la densité du mercure n'est pas la môme qu'à zéro. Elle est :

Dès lors, le volume occupé par 53 grammes de mercure à cette température est:

Telle est aussi la capacité du vase à -|r ^°') i^^is la capacité demandée étant celle qui correspond à zéro, on l'obtient en posant :

Le volume intérieur de l'ampoule de verre, calculé pour la température zéro, est donc 3~,915.

Coefficient du platine déduit de la perte' de poids qu'il éprouve dam le mercure. — Une masse de platine est en équilibre dans l'air ; on la fait plonger dans le mercure, et la perte de poids qui est de 135 grammes à zéro, n'est plus que 1340^,38 quand la température s'élève à +30''. Le coefficient de dilatation du mercure est 0,00018 ; quel est celui du platine?

La perte de poids étant de 135 grammes à zéro, cela veut dire qu'à cette

température le volume de mercure déplacé est ^ ^ = 9''S929. Le platine a

donc lui-môme un volume Vs=9<*,929 à la température zéro.

Quandiatempérature s'est élevée à +30", la densité du mercure est devenue

13 596 1 in 00018 v^O ^ ^ 3,523. Et puisque la perte de poids n'est plus, d'après

l'énoncé, que 134,38, c'est que le volume du mercure déplacé dans ce

j O i QQ

nouveau cas est . ^ ',. = 9,937. La masse de platine portée à 30*> a donc lo,5zo

un volume r = 9«,937.

Pour connaître le coefficient de dilatation du platine, il suffit de poser

V{i +aj/)= F', ce qui donne en passant aux nombres :

On en déduit pour la valeur de a; : .

Ainsi le coefficient de dilatation du platine, calculé d'après les données du problème, est 0,0000268.

Longueur à zéro de deux barres métalliques y quand on connaît la somme de leurs longueurs à une autre température, — On a deux barres métalliques, Tune de platine, l'autre de cuivre. Le coefficient de dilatation linéaire de la première est 0,00000857; celui de la seconde est 0,00001712. En les mettant bout à bout à la température zéro, elles occupent une longueur totale de 3 mètres; et lorsqu'elles sont bout à bout à +100®, la longueur totale est S^yOOSS. On demande quelle est à zéro la longueur de chacune des barres ?

Soit X la longueur de la barre de cuivre à zéro, celle de la barre de platine mln:î température est 3 — x. On peut alors poser pour ^ = 100*:

On en déduit :

et par suite :

ar 0,000855 = 0,000929;

Ainsi à zéro, le cuivre occupe une longueur de l'",086, et par conséquent le platine occupe la longueur complémentaire, c'esl-à-dire l^jOlA.

Moyen de corriger Vindication fournie par une règle de platine graduée à zéro. — Une règle de platine, servant d'étalon pour mesurer les longueurs, a été graduée pour la température zéro. Elle indique, pour la température de 20®, une longueur de 1",233, laquelle est nécessairement inexacte. Quelle est la longueur corrigée? Le coefficient de dilatation cubique du platine est 0,0000258.

Si le coefficient de dilatation cubique du platine est 0,0000258, le coefficient de dilatation linéaire est le tiers de ce nombre, c'est-à-dire 0,0000086.

D'un autre côté, la règle de platine ayant été graduée pour la température zéro, et l'observation se faisant à + 20®, les divisions de cette règle sont plus espacées qu'elles ne devraient être, et leur nombre est par suite trop petit pour la longueur que l'on mesure à celte température.

La longueur de la règle s'étant accrue dans le rapport de 1 à 1 + 20 /, le nombre des divisions est nécessairement diminué dans le même rapport; eu sorte que, pour faire la correction relative à la température, il faut poser, en représentant par x la longueur réelle :

On voit, d'après cela, que cette correction est fort peu de chose; aussi la néglige-t-on dans les observations barométriques ordinaires.

Poids d'un cylindre de cuivre diaprés le diamètre quil possède à 100<>. — Quel est le poids d'un cylindre de cuivre qui à 100*» a iui diamètre de 0",1 et une hauteur de 0",525. La densité de cuivre à zéro est 8,8; son coefficient de dilatation cubique est 0,00005128.

Si la densité du cuivre à zéro est 8,8, la densité à 100^ est :

D*mi autre côté, le poids d'un cylindre étant représenté par ir r^ hd, celui du cylindre de cuivre ayant à 100^ un rayon de 5 centimètres, une hauteur de 52%5 et une densité de 8,755 est ;

Ainsi, le poids du cylindre de cuivre dans les conditions du problème est 360999%92925.

Vase en verre contenant un poids p' de mercure à zéro, et ne contenant plus qu'un poids p à 120*. En déduire le coefficient de dilatation du verre. — Un réservoir en verre contient à 0®,55 grammes de mercure. A 120*, il n'en contient plus que 5i grammes. La densité du mercure à zéro est 13,598, et son coefficient de dilatation est 0,00018. Quel est le coefficient de dilatation du verre ?

Si à zéro la densité du mercure est égale à 13,598, elle sera représentée à 120» par

ÎM?? =13,3104.

On aura, d'après cela :

Capacité du vase à zéro = 4,04471 ,

Capacité du vase à 120* J^^ = 4,05697 ;

et pour le coefficient K de la dilatation du verre :

K = ^-Zl=^>Q^^^^-^-Q^^^^ =0,0000253.

vt 4,04471X120

On peut encore résoudre la question d'une autre manière, en établissant, par exemple, que le volume occupé par les 5i grammes de mercure à 120* est égal à la capacité que le vase possède à cette température de 120°. On a ainsi l'équation :

de PROBLÈMES DE PHYSIQUE.

On déduit soccessÎTement de cette équation :

4,05697 = 4,0i471 (1 + 120 K), 4,05697 = 4,04i71 + 485,3652 K, ,. 4,05697— 4,0il7l

Ainsi, par Tun comme par l'autre procédé, on arrive à reconnaître que le coefficient de dilatation du verre est 0,0000253.

Capacité que doit avoir à zéro un vase de verre pour être rempli exactement à t** par un poids donné de mercure. — Quelle est la capacité qu'un vase de verre doit avoir à la température de zéro, pour qu'à la température de 30° il se trouve exactement rempli par 3 kilogrammes de mercure? Le coefficient de dilatation cubique du mercure est 0,00018 ; celui du verre est 0,0000258. Le poids spécifique du mercure à zéro est 13,59.

Représentons par V la capacité du vase à zéro, il est évidentqu'à-|- 30^ cette capacité devient V (1 + 0,0000258 X 30).

D'un autre côté, le mercure occupe à zéro un volume représenté par

?« ?^»et à 30» ce volume devient |^ (1 + 0,00018 X 30). l* 13,59 lo,59

Puisque, d'après l'énoncé, le vase doit être exactement rempli par le mercure à + 30*, il faut que Ton ait :

On déduit successivement de celle équation :

1,000774 Ainsi le vase doit avoir à zéro une capacité de 221*^*,78.

Accroissement du volume que subit une masse métallique en passant de t à t'. Déterminer le poids p qui correspond à cet accroissement. — Une masse métallique occupe à 10°,5 un volume de 5752 centimètres cubes. Le métal dont elle est formée a une densité de 8,24 à zéro et un coefficient de dilatation linéaire égal à 0,00055. La température s'étant élevée à 24'>,6, la masse métallique s'est dilatée : on enlève tout ce qui excède le volume primitif, et l'on demande quel est le poids de la partie retrancbée?

Le coefficient de dilatation linéaire étant 0,00055, le coefficient de dilatation cubique est 0,00165. Si donc le volume de la masse métallique est 5752 pour la température de + 10»,5, ce même volume, pour la température de 24*,6 deviendra

La différence entre le volume à + 2i«,6 et le volume à + 10» étant ainsi 5883,54 — 5752 « 131-,5i, il est évident que 431%54 représentent le volume <le la partie retranchée.

Il suffit, dès lors, pour avoir le poids p de cette partie retranchée , d'avoir recours à la formule ordinaire p ~ vdy mais en observant qu'il s'agit ici de ia densité à -|- 2io,6 et par conséquent de :

On a alors :

Capacité d'un VMe à zéro déduite du poids de mercure quHl renferme à une autre température. — Un vase de verre est rempli exactement à la température de 30*» par un poids de mercure égal à 6000 grammes. On demande quelle est la capacité du vase à zéro ?

Cherchons d'abord la capacité à 30<». Elle est évidemment représentée par le volume V du mercure qui remplit le vase à cette température. Or le poids de

ce mercure est 6000 grammes, et sa densité à 30" est *— — --: =13,517;

1 "^ U,U(XlJ o X «'^ on peut donc écrire :

Pour connaître maintenant la capacité x du vase à zéro, il n'y a plus qu'à diviser le chiffre 443^,885, qui représente la capacité à 30", par le binôme de dilatation 1 -f- K^-

On a ainsi :

Ainsi, la capacité du vase à zéro est représentée par le chiffre 443*^,541 .

Poids de mercure quiy à 100", sort d'un vase de verre rempli à zéro. — Un ballon de verre, complètement rempli de mercure à zéro, en contient exactement 3000 grammes ; on le chauffe à 100", el on demande quel est le poids de mercure qui en sort ? I«e coefGcient de dilatation cubique du verre est 0,0000258; celui du mercure, 0,00018; le poids spéciûque du mercure \ zéro est 13,6.

La capacité du vase à zéro et, par suite, le volume du mercure à la même température est :

A +100« la capacité du vase devient 220,5^8 (1+ 0,00258) = 221«,1 57; à +100" le volume du mercure devient 220,588 (1 +0,018) =224««,558.

La différence 224«^,558 — 221«',157 = 8*=%401 exprime donc le volume de mercure à + 100'' qui sort du vase quand la température est portée à 100».

Or, le poids de ce mercure est S^'j^Ol X d, d' représentant la densité (!u mercure à -{-100^, laquelle est dans le cas actuel :

pi-== 13,3595.

On a donc :

Vase de verre rempli à zéro de inercure et de fer. Poids de mercure qui doit sortir, à iOO^, — Un vase de verre contient, à zéro, 100 grammes de fer et 120 grammes de mercure qui le remplissent complètement. On chauffe à 100° et on demande quel est le poids du mercure qui doit sortir du vase ?.

La densité du fer est 7,8 ; celle du mercure 13,59. Les coefficients de dilatation cubique sont :

Pour le fer 0,0000354,

Pour le mercure 0,00018,

Pour le verre 0,0000258.

Le volume qu'occupe le fer porté à la température de + 100» est :

Le volume qu'occupe le mercure porté à la température de +100* est: ■jl^(l+0,018) = 8«,989.

Le volume occupé par les deux métaux portés à +100" est donc :

100 120 D un autre côté, la capacité du vase qui à zéro était : -=-0 +io rœ ^^^ ^^'

venue, à la température de -i- 100° :

Il suit de là qu'à +100° le volume des deux métaux est 21«=,855 et que la capacité du vase n'est que de 2i'*,706. La différence entre ces deux nombres, soit 0*%149, exprime donc le volume de mercure qui sortira du vase.

Quant au poids p de ce mercure, il est égal, comme toujours, au produit du volume par la densité. Mais comme ici le mercure est à 100°, sa densité est:

On a alors :

Ainsi, quand la température a été portée à -{- 100°, il a dû sortir du v^se un poids de mercure égal à 19%989.

Température à laquelle il faut porter une ampouie remplie de mercure à + i^ pour qu'il en sorte un poids déterminé de liquide. — Une enveloppe de verre renferme 625 grammes de mercure à + ^0°. A quelle température doit-on rélever pour qu'il en sorte 4 grammes de mercure ? Le coefficient de la dilatation cubique du verre est 0,000026; celui du mercure est 0,00018 ; la densité du mercure est 13,6.

13 6 La densité du mercure à + ^0° esl ■ ^^ ^ = 13,575; par suite, le volume

l,UUlo

qu'occupent à + 10° les 625 grammes de mercure est » ,^ • = 46'',0403,

et ce chiffre représente également la capacité du vaâe à -{-10°. Dès lors cette capacité, calculée pour la température de zéro, devient :

Pour connaître la température t à laquelle la quantité de mercure sortie sera égale à 4 grammes, il faudra que l'on pose l'équation :

V (1 + 0,00018 0 — V (1 -f 0,000026 t) = ^^^ "'"13^^ ^^ ' On tire successivement de cette équation :

(0,112744 — 0,016279 — 0,00072) t = 4, 0,095745 Xt==^,

Ainsi, c'est à 41°,77 qu'il faudra porter la température du vase pour que la quantité pondérable de mercm*e sorti soit égale à^ 4 grammes.

Application de la dilatation absolue du mercure à la mesure du coefficient de dilatation du verre, — Un réservoir de verre contient 1389', 473 de mercure à zéro; à 150** il n'en contient plus que 1350%375. On demande quel est le^ coefficient de dilatation de ce réservoir ?

Remarquons d'abord que la densité du mercure, si elle est de 13,596 à zéro, est représentée à 150» par ^^.oS^^so = 13,23855.

D'un autre côté, la capacité du vase à zéro et à 150® est donnée par le volume du mercure qui le remplit à ces deux températures, c'est-à-dire, dans 1& premier cas, par

et dans le second par

135,375 ^^Qoc^2258.

13,2385 On peut donc poser, d'après la loi des dilatations,

On tire de cette équation :

Ainsi, d'après l'énoncé du problème, le coefficient de dilatation du verre quiconstitue le réservoir thermoméirique serait 0,0000263.

Dilatation apparente du mercure. Tube de verre rempli de mercure à zéro. Tempéi-ature à laquelle il a été soumis quand il en est sorti un poids déterminé de mercure, — Un tube de verre contenant 332 grammes de mercure qui le remplissent à zéro est porté dans un bain d'huile où il s'échauffe graduellement. Une disposition particulière permet de recueillir le mercure qui s'en échappe par l'effet de la dilatation. Quand l'équilibre est établi, on pèse le mercure sorti, et on trouve que son poids est de 12 grammes. Quel est, d'après cela, la température du tube? La dilatation apparente du mercure dans

le verre a pour coefficient jtttttt =« 0,000154.

Pour résoudre cette question, supposons que le tube dont il s'agit ait unecapacité telle que le mercure qui le remplit à zéro occupe 6480 centimètres cubes.

DIUTATIONS. 671

11 est bien évident que pour 1 degré d'élévation de température, il sortirai centimètre cube de mercure et que pour t degrés, il sortira t centimètres cubes. D'après cela, à quelque degré qu'on élève la température du tube, il y aura toujours entre le poids p de mercure sorti et le poids P — p du mercure resté, le même rapport qu'entre t et 6480, de sorte qu'on pourra toujours poser :

D'après cela, si le tube contient 3^ grammes de mercure à zéro, et s'il n'en contient plus que 332 — 12 = 320 grammes à la température t du bain d'huile, c'est que cette température t satisfait à l'équation fondamentale :

332 — 12 6480 Il devient alors facile de déterminer cette température, car on a :

Ainsi, c'est à 243° qu'il faut que soit portée la température du tube pour que le poids du mercure sorti soit égal à 12 grammes.

Poids de mercure et de platine qu'il faut introduire dans un vase en fer pour que la dilatation apparente soit nulle, — Quel est le rapport des poids p eip' de mercure et de platine qu'il faut introduire à zéro dans un vase de fer pour que, dans ce vase, la dilatation apparente soit nulle? Le coefGcientde dilatation cubique du mercwe est 0,0001815; celui du platine égale 0,0000257; celui du fer égak 0,0000366:.

Le volume du m^ercure à zéro est représenté par 7^ , et celui du platine

. également à zéro par^r. Dès lors, la capacité du vase de fer qui correspond

P . ;*' à ces deux volumes est représentée par -^ + xj.

Si la température s'élève à + 1«, alors le volume du mercure devient

^ (1+0,0001815); celui du platine devient |^ (1 + 0,0000257), et la

capacité du vase de fer devient à la même température (fj^ + lf)

Pour que Je volume apparent reste le même, il faut que la dilatation da contenant soit égale à la dilatation du contenu. .

Il faut, par conséquent, que Ton ait :

:^X 1,0001815 +|lx 1,0000257 « (^-|-^ + |Ç) x 1,0000366.

On déduit de cette égalité :

Ainsi, le rapport -; = 0,0487; ce qui veut dire que le poids du platine, étant représenté par 100 grammes, celui du mercure doit Tétrepar 43%87.

Poids correspondant à un volume donné de mercure à 25^ Longueur que le métal occupe dans un tube cylindrique d'un diamètre connu. — Quel poids de mercure à -{- 25^ faut-il mettre dans un tube qu'on veut graduer pour que ce poids occupe un volume de 100 centimètres cubes? Quelle longueur ces 100 centimètres cubes occuperont-ils dans ce tube, en supposant que celui-ci soit cylindrique, et que son diamètre soit de 4 centimètres? La densité du mercure à zéro est 13,6 et son coefGcient de dilatation absolue 0,00018.

La densité du mercure à zéro étant 13,6 devient à + 25° égale à :