G = ?^2 - >^ ''• On en déduit successivement
On trouTe ainsi
Quant à la vitesse acquise au bout de» 7 muoiMbu du rbiilit, puUi|Ui< i tdtr vitesse est rigoureasement firoportionuelli* nu UiUi\it», <dbi doil olrn uornimui renient 9,8088 X 7 = (i8-,Uil«.
Ainsi le corps mettra 7 seconden à to»ib«T juwju'A lurii», ni à rn inuiiittiil lu vitesse qu'il aura ac4|uise hera i'tH*^Jiéi.
Temps au bout duquel un j/roj^rtila alhinl unn vil0»ê0 dttlfiimiHii*, UtpHêP parcouru. — Un aéronaule, plac/' dan» la " ^ulluii, kim ¥•"• '-
terre on projectile auquel il iuiprime uim ""^ IllAlffll p
coude. Au bout de combien de temps la vitesse de ce projectile aun4-dle atteint 99 mètres, et quel sera au bout de ce temps l'espace qu'il ann parcouru? On négligera la résistance de l'air.
D'après cet énoncé, le projectile, en se dirigeant vers la terre, est animé de deux mouvements : le mouvement uniforme communiqué par l'aéronaute, dans lequel la vitesse demeure invariable et égale à 50 mètres par seconde; et le mouvement accéléré, communiqué par la pesanteur, dans lequel la vitesse est régulièrement croissante et proportionnelle au temps.
11 en résulte que si Ton représente par g ^ 9'°,8 la vitesse communiquée par la pesanteur seule au bout d'une seconde, on aura pour expression de U vitesse totale, acquise au bout du temps t, la valeur V = 50 -|- 9,8 X /• Et pour que cette vitesse soit égale à 99 mètres, il faudra que l'on ait :
50»» + 9'»,8 X « = 99», d'où
Pour connaître l'espace parcouru E au bout de ce temps t, il faudra poser E S3 vt -|- ^t^y ou, en remplaçant les lettres parleurs valeurs,
Ainsi, dans les conditions de l'énoncé, il faudra 5 secondes pour que le projectile ait ac(iuis une vitesse de 99 mètres et l'espace qu'il aura parcouru aa bout de ce temps sera de 37:2'",5.
Profondeur d'un puits d'après le temps que met une pierre à atteindre la surface de Veau. — Pour mesurer la profondeur d'un puits, on y fait tomber une pierre. Celte pierre met 8", 5 pour tomber au fond. Quelle est la profondeur du puits ?
La pesanteur étant la force qui détermine la chute du corps, le mouvement
est uniformément accéléré, et la formule E =: -^ X ^ est parfaitement appli-
«ri
cable.
On peut donc écrire :
E = ll:fi X (8.5)!
On trouve ainsi E = 35i™,3i.
11 est évident qu'ici l'espace parcouru mesure exactement la profondeur du puits. Cette profondeur est donc de 354°, 3i.
Mouvement uniformément accéléré. Accroissement de vitesse au bout d'un temps déterminé, — Un mobile est soumis à l'action d'une force accélératrice
CHUTE DES œUPS. (iâ5
it l'intensité est 9",8088. On demande quel est, au bout de vingt minutes, Dcroissement de vitesse acquis par le corps?
Poisqa'il s*agît d'une force accélératrice constante, le mouvement doit être iformément varié, c'est-à-dire que la vitesse doit être proportionnelle au nps.
Si cette vitesse est g = 9,8088 après la première seconde, après vingt milles, qui représente 60 X 20=^1200 secondes, elle doit être 9,8088 x 1200 tli770",56, c'est-à-dire que si, au bout de vingt minutes, la force accélétrice cessait subitement d*agir, le mobile continuerait à se mouvoir, en ïitadeson inertie, avec une vitesse régulière et constante de 11770^,56 par ïcoiide.
Mouvement uniformément accéléré. Tempe au bout duquel le mobile^
nimé d^une force accélératrice dont V intensité e$t connue, aura parcouru
R espace connu, — Un mobile à l'état de repos est soumis à l'action d'une
»rce accélératrice constante dont l'intensité g est égale à 5",75. On demande
! temps qu'aura duré le mouvement quand l'espace parcouru sera de
Sr96-,675.
Puisque la force qui a mis le mobile en mouvement a une intensité égale
5*,75, le même chiffre 5,75 représentera la vitesse acquise par le mobile
5 75 près une seconde de mouvement accéléré, et *^ représentera l'espace qu'il
lira parcouru pendant la première seconde.
D'après la formule ordinaire du mouvement uniformément varié E, ■■ •! X ^t
n pourra poser :
On en déduira successivement :
-, 1996,675 X 2 Î)9î/3,^i5 /«/.*- #<, i>,ii> 5,7ii
Ainsi, quand le mobile aora ^sutAntru iifift'y*,tSlT}, !«? Uiui^m h'/niUi wurn 6",35.
Cessation de la force accfUrfitri/Mf fnn f/^/ui d'un tempi lim/ié, JMduire e la valeur du wumtemeut uméff/rM4 l'ànisnêil^ de léi ftni n néxêUnUrke et esipace parcouru eous ym mlUt^m^A. '-» ^^f^ « ^'<^ i»^/miiii«, im$ttUui r^m^ econdes, à l'action d'ut^ f^e^ ^jÂU-.màr^i^ âjmaiMU' A m h^tti 4m U eiunîème seconde, on fait e^^»Mrf la Ivi'^- m^M'^^Uv^. 1^ m^/I/^Ia? |^«r4>iMii1 uUMrn, l'on moovement JuàUmm, iV; miM^m «m d*»-ïèèMi êtaMtdMt, i}iiéMé$ mÀ Vin-
teusité de la force accélératrice et quel est l'espace parcooni pendant les
cinq premières secondes?
La vitesse régulière et constante que prend le mobile après cinq secondes
d'un mouvement accéléré est donnée par la formule -rrr- = 25 mètres.
lo
Et puisque la vitesse acquise après cinq secondes d'un mouvement aocéléfé
est 25 mètres, la vitesse acquise après la première seconde (ce qui repré-
sente l'intensité de la force accélératrice) est -?- = 5 mètres.
Quant à l'espace parcouru pendant les cinq premières secondes, il est donné par la formule ordinaire :
on a ainsi :
Ainsi l'intensité de la force accélératrice est représentée par 5 mètres: .^espace parcouru pendant les cinq premières secondes est 62"',5.
H"" Loi de» levlerso
Balance à bras inégaux. Poids réel d'un corps solide. — Un corps étant placé successivement dans les deux plateaux d une balance, il faut, pour lui faire équilibre, dans le premier plateau 180 grammes, et dans le second 181 On demande le poids du corps à 1 milligramme près ?
Soit X le poids du corps, on a, d'après les considérations présentées daii^ la formule qui précède :
En représentant par l et /' les longueurs inégales des bras du fléau, on
aura :
Remarque. — La solution de ce problème, de même que celle du problème
qui suit, montre que, dans le cas d'une inégalité de longueur dans les bra<
du fléau, le poids x est représenté par la moyenne géométrique ^ et non
par la moyenne arithmétique entre les deux poids p et p' nécessaires pour
180 -4- 181 l'équilibrer. Ici la moyenne arithmétique serait ^ = ISOP'jS alors
que le poids exact est 180g«*,499.
Ainsi, du moment que l est différent de /', la somme p-|-p' est toujours plus grande que 2j;; et il en résulte que si ce mode de pesée était appliqué à des marchandises il serait avantageux à l'acheteur.
lAmffueur rHaUvê des deux bras d*un fléau. Poids réel d'un cotys soUie. — Un corps étant placé dans l'un des plateaux d'une balance, on constate qu'il faut, pour lui faire équilibre, placer dans l'autre plateau un poids de 3000 g^nunes. Le même corps étant placé dans l'autre plateau, on trouve qu'il faut, pour lui faire équilibre, placer dans le premier plateau, un poids de 3600 grammes. Quel est le poids du corps, et quel* est le rapport qui existe entre les longueurs des deux bras de la balance ?
Soit X le poids du corps ; soient également /et l' les longueurs inégales des deux bras du fléau.
Le premier équilibre donne xl = 3000 /' ;
Le second équilibre donne xl' = 3600 /.
En multipliant ces deux équations membre à membre et faisant disparaître
I et l'y on a :
x2 = 3000 X 3600 ; d'où
Le poids du corps est donc 3^*^286.
Quant au rapport entre / et T, on peut le déduire de la première équation, en remplaçant x par sa valeur^ qui est maintenant connue. On a alors :
3286 X l = 3000 X l' ; doù
l' ■" 328G "" "'^^'^• Ainsi; en représentant pari la longueur l'y la longueur I doit l'être par 0,91 3.
S^" Densités.
Densité des corps solides qui supportent Vimmersion. — Une sphère do platine pèse dans l'air 84 grammes. Dans le mercure, elle ne pèse que 22s^fi. Quelle est la densité du platine ?
Représentons cette densité par D.
Soit p le poids que présente le platine quand il plonge dans l'air, eip' celui qu'il présente quand il plonge dans le mercure. Soit ^ la densité du mercure ^ rapport à l'eau.
On a, d'après le principe d'Archimèdc appliqué au cas d'un liquide intermédiaire,
Densité des corps solides plus légers que l'eau. Poids nécessaires pour faire équilibre à la poussée qu'ils éprouvent. — Un morceau de liège est recouvert d'une couche très-mince de vernis destiné à le rendre imperméable à l'eau. Après avoir pris son poids p = oO grammes dans l'air, on l'attache
à rextrémité d'un fil délié qui passe autour d'une poulie Terticale fixée an fond d'un vase rempli d'eau. L'autre extrémité du fil étant attachée à l'on des plateaux d'une balance, on met dans le second plateau les poids nécessaires pour que le morceau de liège soit en équilibre dans l'ean, et que le fléau se tienne horizontal. La somme de ces poids est de 95 grammes. Quelle est la densité D du liège rapportée à celle de l'eau ?
Représentons par P le poids d'un volume d'eau égal à celui du liège. U force avec laquelle le morceau de liège tend à monter à la surface de l'eao, ou, en d'autres termes, la poussée verticale du liège est égale à P— âOgr. Et puisqu'on fait équilibre à cette poussée avec un poids de 95 grammes, on peut écrire l'égalité : P — 30 = 95 grammes, ou P = 95 + 30 = 125 gr.
Ayant ainsi le poids d'un volume d'eau égal au volume du liège, on (ii déduit très-facilement la densité D de cette substance ; car on a :
La densité du liège est donc 0,2i.
Densité des corps solides plus légers que Veau, — Au-dessous d'an des bassins de la balance hydrostatique on suspend une balle de plomb que l'on fait plonger dans l'eau, et qui exige, pour s'y maintenir en équilibre, un poids de 1 10 grammes placé dans l'autre bassin. Cela étant, on prend me balle de liège dont le poids dans l'air est de 30 grammes, et on la relie avec la balle de plomb au moyen d'un fil très-fin. Le système des deux balles étant complètement plongé dans l'eau, on trouve qu'un poids de 15 grammes • suffit pour l'y maintenir en équilibre. Quelle est la densité du liège ?
La balle de liège a été rendue imperméable par une couche mince de vernis dont le poids est négligeable.
Représentons par x la densité cherchée. Soient p le poids du liège dan> l'air, p' le poids du plomb dans l'eau, et p" le poids du système des di*u\ corps lorsqu'il est plongé dans l'eau. La densité du liège est évidemment 1<* rapport qui existe entre le poids de ce corps dans l'air et la perte de poids qu'il éprouve dans l'eau. Supposons pour un moment que cette perte soit nulle, le poids du système immergé devra être p -|- p' ; mais l'expèricDC»' fournit p" beaucoup plus petit que la somme p + p'. La perte de poids e>t donc p +p' — p"- Alors la densité du liège est fournie par la formule :
