P+P'—P" "30+ HO
Volume et densité d'un corps poreux. — Un morceau de buis, pesant 57 grammes, flotte à la surface d'une masse d'eau distillée à -|- 4". Peu à peu l'eau pénètre dans les pores du buis qui s'enfonce de plus en plus, et il arrive un moment où cette matière, ayant acquis la même densité que leau, se Irouve complètement submergée. Sans attendre qu'elle ait gagné le fond du
, on la retire da liquide, on Tessuie et on la pèse rapidement. On trouve dors que son poids est devenu égal à 6^%5. Quel est, d'après ces données, e Tolame du morceau de buis et quelle est sa densité ?
A mesure que l'eau pénètre dans les pores de la substance solide, elle en togmente le poids, mais elle n'en modifie pas le volume. L'expérience montre que c'est au moment où le poids du morceau de buis est devenu égal à 6Si^,5 que les deux corps ont la même densité. Le volume de l'eau déplacée étant alors de 62^,5, on peut en conclure que le volume initial du morceau de buis était lui-même égal à 6â^,5.
Quant à la densité du buis, elle est donnée par la formule générale :
Poids, volume et densité d*un corps. — Un corps pèse 265 grammes lorsqu'il est plongé dans l'eau, et 105 grammes lorsqu'il est plongé dans le mercure. Quel est son poids dans l'air; quel est son volume ; quelle est sa densité?
Représentons son poids par p, son volume par v, sa densité par d, et déterminons d'abord la valeur de v.
Le poids de l'eau déplacée est v, et le poids du corps dans l'eau est p — V ^ 265. — De même le poids du mercure déplacé est v 13,596, et le poids du corps plongé dans le mercure est p — v 13,596 = 105.
De ces deux équations on peut tirer la valeur de v ; car on a, en retranchant la seconde de la première,
Cette fjrmule simplifiée devient :
©13,596— © = 160 ou «(13,596 — 1) = 160;
on en déduit :
Le volume du corps étant ainsi déterminé, rien n'est plus simple que d'avoir le poids p. Ce poids se compose en efiet de deux quantités qui sont maintenant connues, savoir : le poids dans l'eau, qui, d'après l'énoncé du problème, est égal à 265 grammes, et la perte de poids résultant de l'immersion dans ce liquide, laquelle est, d'après le volume connu du corps, 123%702. On peut donc poser :
Quant à la densité d, elle équivaut comme toujours au poids divisé par le volume, en sorte que Ton a :
Proportions reUUives de deux corps formant un sygtème en équilibre dam Veau. — Quel est le rapport des poids « et y de plomb et de Mége qa'û fandrait attacher ensemble pour que ce système pût se maintenir en équilibre au milieu d'une masse d*eau? La densité de Teau étant 1, celle du plomb est 41,35, et celle du liège 0,24.
Pour que le système se maintienne en équilibre dans l'eau, il ùint qu'il ait la même densité qu'elle, c'est-à-dire qu'il occupe le même Yolnme sous le même poids. Il faut donc que l'on ait :
^jL^tj. ^+y
En réduisant au même dénominateur les trois termes de cette équation, réduisant et simplifiant, on a :
X (2,724 — 0,240) = y (1 1 ,350 — 2,724) ; on en déduit :
Ainsi le poids de liège étant 1, celui du plomb devra être 3,4726.
Constatation d'une cavité dans une, masse de cuivre. Mesure du volum de cette cavité. — On soupçonne quelque cavité dans une masse de cuivre, et comme on est certain qu'elle ne renferme aucun métal étranger, on décide de lever les doutes par l'observation de la densité. I^a masse de cuivre pèse 523 grammes dans l'air et 4479%5 dans l'eau. Quelle est sa densité comparée à celle du cuivre normal qui est 8,8, et, s'il y a une cavité, quel est le volume de cette cavité ?
Soit p le poids de la masse de cuivre dans l'air, et p' le poids de la mt^me masse de cuivre dans l'eau. La densité D est évidemment donnée par la formule:
Ainsi le cuivre qui aurait dû avoir pour densité 8,8 n'a en réalité
que 6,927.
D'un autre côté, si la densité de la masse de cuivre eût été normale, elle
aurait déplacé un volume d'eau représenté par -3-5 =59*^,43. Au lieu de cela
elle a déplacé un volume d'eau représenté parTT-jyr- s=75",50. Son volume est
donc trop grand de 75'^,50 — 59«,43 = 16*=%07. Ainsi il y a une cavité, et cette cavité a un volume de 10**',07.
Densité d*un liquide dans lequel plongent deux corps solides de densité •conntf^. — Deux fragments, l'un de marbre, l'autre de fer, étant suspendus
K plateaux d'une balance hydrostatique, se font mutuellement équilibre
and ils sont plongés tous les deux dans Thuile. On donne le rapport de
irs poids réels = 1,31. Le poids spécifique du marbre est 2,8, celui du
* est 7,7. On demande de déduire de ces résultats le poids spécifique de
mile?
Il est évident que la solution de ce problème est indépendante de la valeur
•solue des poids respectifs du fer et du marbre.
Soit 1 le poids réel du fer; celui du marbre, d'après Ténoncé, est 1,31. Les
va. corps étant plongés dans l'huile, et la densité de l'huile étant représentée
\ ir Xy on a pour le poids du fer plongé 1 — yiy or, et pour le poids du
1 31 arbre plongé 1,31— ^«.
Puisque les deux poids se font équilibre, on peut poser :
En réduisant tous les termes au même dénominateur, résolvant et simpliint, on a successivement :
21 ,56 — 2,8 a? = 28,2i — 10,08 x ; 7,28 ar = 6,68;
Ainsi la densité de l'huile, calculée d'après les données du problème, rail 0,917.
Densité d*un corps soluhle dans Veau et poreux. — Un corps soluble dans tau et perméable aux liquides pèse 10 grammes dans l'air. Plongé dans issence de térébenthine qui le pénètre, mais qui ne le dissout pas, il ne tse plus que 8 grammes. Pesé de nouveau dans l'air, après qu'il a été retiré I l'essence, on trouve qu'il a augmenté de poids et qu'il pèse 12 grammes. 1 sait d'ailleurs que la densité de l'essence est 0,86. Quelle est la densité de corps rapportée à l'eau ?
Représentons par x la densité cherchée. Soient p le poids du corps dans l'air, le poids de ce même corps pénétré d'essence et plongé dans l'essence, p" le ids qu'il présente lorsqu'il est pesé dans l'air après l'immersion; soit enfin la densité de l'essence de térébenthine.
Le volume que le corps occupe est exactement le même, qu'il soit ou non nétré d'essence. Or l'expérience nous apprend que quand il est pénétré îssence et plongé dans l'essence, il déplace un volume de ce liquide
présenté par^ , ^ » Ce volume d'essence déplacée étant précisément égal
au volume extérieur du corps, on peut poser, d'après la formule générale, D = ^,
Application du principe des pressions hydrostatiques. — Dans un tube e&l ayant partout la même section on introduit du mercure qui prend son niveaa dans les deux branches. On verse alors dans Tune d*elles une colonne d'ean de 0'°,100 de hauteur, et Ton demande de combien la surface du mercure se trouve abaissée au-dessous de son niveau primitif ?
Représentons par h le niveau primitif du mercure. Soit h' le niveau qall présente dans la branche où Teau a été introduite, et h" celui qu'il présentt^ dans l'autre branche. Si h — h' exprime l'abaissement du niveau dans la première branche, h" — h exprime l'élévation dans la seconde, et, à cause de U section constante, on a
h^h' ==h"- hy et par suite /*" — A' = 2 (*—*').
D'un autre côté, si Ton considère un plan horizontal passant par le niveau A > comme toutes les molécules mercurielles situées dans ce plan sont en équilibre, il faut admettre qu'elles supportent la même pression dans Tune et l'autre branche. Or, dans l'une, la pression est celle d'une colonne d'eau ayant O",100 pour hauteur et 1 pour densité ; dans l'autre, la pression est celle d'une colonne de mercure ayant /*" — h' pour hauteur et 13,59 pour densité. On peut donc poser :
En remplaçant h" — h' par son égal 2 {h — h'), on arrive à l'équation finale :
Ainsi l'abaissement qu*éprouve le niveau du mercure dans la branche où l'eau a été introduite est de 3"'°,68.
Densité comparée de deux liquides d'après les hauteurs verticales que leurs colonnes doivent avoir pour se faire équilibre sur une même tranche de mercure. — \ji\e colonne d'eau de 1",55 de hauteur et une colonne d'un autre liquide de 3'°,17 de hauteur se font équilibre dans les branches d'un siphon. La température des deux liquides est -(- ^^' On demande : 1* quelle est la densité du second liquide par rapport à l'eau; 2° quelle serait la hauteur à laquelle il s'élèverait si la température était portée à + 23*, celle de l'eau restant à + 40? Le coefficient de dilatation du liquide est 0,000166.
Les densités des liquides étant toujours rapportées à celle de l'eau prise à
son maximuin de densité, c'est-à-dire à -}- 4"*, la densité du liquide qui fait équilibre à Teau dans 1q cas actuel est donnée par la formule simple :
Cette densité est celle que possède le liquide à -|- ^'^ et, d*après lecoefGcient de dilatation que donne l'énoncé, la densité S'y calculée pour la température de -f* ^9 serait :
Jt' 0,48896 . -j.-
Si donc la colonne d'eau restant à -}- 4<^, celle du liquide qui lui fait équilibre était portée à -f- 25**, il faudrait, d'après la loi des pressions liydrosta tiques, que la hauteur h' de ce liquide fût à celle de l'eau comme 1 est à 0,48726. Il faudrait, en d'autres termes, que Ton eût :
h' ' »*^' Qm Ift
* - ÔM ~ '
Demité des corps solides et des liquides dans une même expérience, — Un fragment de métal pesant 59%219 dans l'air est plongé successivement dans l'eau et dans un autre liquide. Le poids qu'il perd par suite de cette immersion est 10%O87 dans le premier cas, et 19^,214 dans le second. Quelles sont, en négligeant l'influence de la température, la densité du métal et celle du second liquide dans lequel il est plongé?
Représentons par Pie poids du métal dans l'air, parp la perte de poids qu*il éprouve dans l'eau, et parp' celle qu'il éprouve dans le second liquide.
La densité D du métal est donnée par la formule :
Quant à la seconde détermination, il suffit de remarquer que les poids peip' se rapportent à des volumes égaux des deux liquides, puisque chacun de ces volumes est séparément égal au volume extérieur du métal plongé.
Dès lors la densité D' du second liquide se déduit de l'équation :
Densité des corps solides qui supportent Vimmersion avec correction de température. — Un morceau de cuivre pesant 426 grammes et ayant à léro une densité de 8,878 est plongé dans une masse d'eau dont la tempéra esl+ 15» et la densité 0,9991. On demande quelle est la perte de
eu PROBLÈMES DE PHYSIQUE.
qu'il éprouve par le fait de cette immersion, sachant que son coefficient de dilatotion cubique est 0,000051 3 ?
Représentons cette perte de poids par x. Soient P le poids du coÎTre, D sa densité et k son coefficient de dilatation. Soit 3 la densité de Tean à
D'après la formule générale des densités, -rr représente le Yolame du cuivre
P àzéro,et-j:(l +A:i) représente celui qu'il occupe à t*, et par conséquent le
volume de Teau qu'il déplace. Cette eau ayant à t^ la densité ^^ son poids,
d'après la formule des densités, doit être ^ (1 +kt) X ^^
On a donc en passant aux nombres :
x^^{i+kt) X ^= ^^I^X 1,0007695 X 0,9991, X =i||5^ X 1,0007695 X 0,9991= 479%9767.
Densité des solides et des liquides. Modification qu'elle éprouve sous Vinfluence de la température, — Le rapport entre la densité du cuÎTre à zéro et celle de l'eau à -|- ^° ^st 8,88. On demande comment ce rapport se trouvera modifié si on compare la densité des deux corps à + 15®? Le coefficient de dilatation cubique du cuivre est 0,0000515; celui de l'eau entre les limites de + 4« et de + 15» est 0,0000663.
Pour un même corps solide ou liquide dont le poids ne change pas, la densité varie en raison inverse du volume.
Si donc on représente par 1 la densité de l'eau à + 4<>, et par ^ la densité de Teau à -J- 15*, on aura :
De même, si l'on représente par 8,88 la densité du cuivre à zéro, et par 9' la densité qu'il possède à + 15°, on aura
*' = 1+0,OOÔ0515X15=^'*'^'*- Pour avoir le rapport demandé, il suffit de poser :
Ainsi, en pesant les deux corps sous le même volume à la température de + 15«, leurs densités relatives, au lieu d'être dans le rapport de 8,88 à 1, seraient dans le rapport de 8,879 à 1 .
Hauteur d'une masse cylindrique de mercure dont on connaît le poids, — Dans un vase cylindrique à fond plat ayant 0*°,! de diamètre intérieur, on Terse 12 kilogrammes de mercure. Quelle sera la hauteur de la colonne H- -quide?
Le volume d'un cylindre étant égal à 7rr^A,et le poids de ce cylindre n'étant -autre chose que le produit de son volume par sa densité, on a :
•et par suite
itr^d'
Le second nombre de l'équation ne renfermant que des quantités connues, la valeur de h se déduit de la formule :
Poids d*un cylindre de mercure, diamètre de ce cylindre. — Un tube de verre cylindrique ayant 0",60 de longueur est conplétement rempli de mercure, et on trouve que le poids de ce métal est de 275 grammes. Quel est le diamètre du tube?
Le volume du cylindre de mercure étant Tcf^, son poids est^rr^^X^^* On en déduit :
P ^"^rchd et par suie
P hd
Remplaçant les lettres du second membre par les chiffres qui leur correspondent, on a :
Ainsi le rayon du tube est de 0%328; par conséquent le diamètre de ce tube est 0^,328 X 2 = a=,656.
Poids d'une sphère dont le rayon et la densité sont connus. — Quel est le
poids d'une sphère de plomb dont le rayon est 1 décimètre ?
On prendra pour densité du plomb le chiffre 11,35.
Le volume d'une sphère ét&.a égal à sir i'^, et le poids d'un corps n'étant
autre chose que le produit de son volume par sa densité, on a, pour le poids /i de la sphère,
p = ô'Kr^ X d.
En passant aux nombres, et en ayant soin d'exprimer le rayon de la sphère en centimètres, on arrive à l'équation :
La sphère dont il s'agit pèse donc un peu plus de 47^ 1
Application de la formule générale des densités et de la formule fféométrique du volume des cylindres. — Quel est le poids d'un cylindre de fonte dont le diamètre est 0°,568 et là hauteur â'",739 ? La densité de la fonte est 7,207.
Représentons le poids cherché par P.
La formule générale qui donne le volume d'un cylindre est V = « r* X A* ^ donc on exprime le rayon r et la hauteur h en décimètres afin d'avoir le poids P en kilogrammes, on devra écrire :
Le volume V du cylindre étant une fois connu, et la densité D de la fonti* étant donnée par l'énoncé du problème, on en déduit très-facilement le poids cherché P d'après la formule générale. On a ainsi :
