P = VD = 694'»%032 X
Ainsi le poids du cylindre de fonte dont il s'agit est 5001^,888.
Application de la formule des densités, de la formule géométrique de la sphère et du coefficient de dilatation des corps. — On demande ce que pès«' une sphère de cuivre dont le rayon est de 1 mètre à la température de 5<j"^ La densité du cuivre ù zéro est 8,8, et le coefficient de sa dilatation cubique est 0,0000515.
Le volume V de la sphère de cuivre à la température de -J- 50* esl
V =5 ttr^. Pour avoir le poids en kilogrammes, exprimons le rayon de la
sphère en décimètres ; r^ deviendra égal à 10^ = 1000. Le volume de la sphère aura alors pour expression :
D'un autre côté, la densité D du cuivre , rapportée à la même température de + 50*, esl, d'après le coefficient indiqué pour la dilatation du cuivre,
Le poids P de la sphère sera donc donné par la simple formule :
P = VD = 4188^S8 X 8,7773 = 36766kn..354,
Ainsi la sphère de cuivre ayant i mètre de rayon à -(- 50° pèse 36766^»*-. 351.
DENSITÉS. PRINCIPE D'ARGHIMÈDE. 637
Application du principe d^Archimède, de la formule générale des densités et de la formule géométrique du cube et de la sphère. — On a un cube de plomb de 0",04 de côté qu'on veut soutenir dans Teau en le suspendant à une sphère de liège. Quel diamètre devra avoir celle-ci pour que le système ainsi formé se tienne en équilibre dans Teau? Le poids spécifique du plomb est 11, a5, celui du liège est 0,24.
Le volume du cube du plomb est 43 = 04"=^; et son poids dans Tair est6i*X 11,35 = 726*% 40. Par suite de son immersion dans Teau, ce cube de plomb perd 64 grammes et ne pèse plus que 662^,40.
Représentons maintenant par r la longueur en centimètres du rayon que
doit avoir la sphère de liège pour remplir la condition exigée. Son volume
exprimé en centimètres cubes sera 5 tc r^, et son poids 0 'J r^ x 0, 24.
Gomme cette sphère sera elle-même plongée dans Teau, la perte de poids
qu'elle éprouvera sera ^itr^ x 1; en sorte que la poussée qui la portera à
la surface du liquide sera xitr^ii — 0,24).
La condition du problème exige que la poussée du liège soit égale au poids du plomb. Il faut donc que Ton ait :
|itr3x0,76=662fl%40.
On déduit successivement de cette équation :
47cx0,76 '
Ainsi le rayon de la sphère de liège devra être de 5%92, et par suite le diamètre qui est le double du rayon sera 5,92 X 2 = 11%84.
Application de la formule des densités et de la formule géométrique du fDolume des sphères. — Un boulet de fonte pèse 12 kilogrammes. La densité Dde cette fonte est 7,35. On demande le rayon de ce boulet sphcrique et le poids de l'or qui serait nécessaire pour former autour de lui une couche de 0",0006 d'épaisseur? La densité d de For est 19,26.
Représentons par r le rayon du boulet , et par p le poids de l'or qui doit former la couche extérieure.
Puisqu'on connaît le poids et la densité du boulet de fonte, le volume de ce boulet est, d'après la formule ordinaire,
D'un autre côté, le boulet étant sphérique, son ▼olmne doit être représente P»"* ^ ==^iir3; on a ainsi :
d*où Ton tire
Calculons maintenant le volume de la couche d'or qui doit recouvrir b boule de fonte. Le rayon r du boulet nu étant O*,730, le rayon R du boul'". recouvert de sa couche d'or sera, d'après l'énoncé, 0>,730 + 0,0006 = 0,73>i. Or, le volume v de la couche d'or doit être la diflerence entre le volume du boulet recouvert d'or et le volume du boulet non recouvert ; de sorte qu'où doit avoir :
„ = * , (R3 ^ ) ^jiiii^UiexO^O^^ OU.010505G. o 3
Le poids p de l'or étant représenté par Dcf, on a :
Si le rayon du boulet de fonte est égal à 73 millimètres, et le poids àr l'or qui serait nécessaire pour former autour d'un boulet une couche uniforme de 6 dixièmes de millimètre est égal à 7SO0%137.
Détermination du diamètre d*un fil de platine. — Un fil de platine parf^iitement cylindrique a une longueur de 1 mètre et pèse 35 grammes. On «i-mande quel est le diamètre de ce fil, sachant que la densité du platine est il-
Le volume du lil est donné géométriquement par la formule V = ^r-b.
P et physiquement par la formule V ^ ^* On peut donc poser l'égalité :
d'où l'on tire:
En passant aux nombres, et exprimant h en centimètres, puisque le jH)i«l> est exprimé en grammes, on a :
et par suite :
r = V OS005305 = Gs0728.
Ainsi W. rayon du fil de platine est 0%0728. Le diamètre est donc O'fil'iS X i
Cylindre en fer et platine dans le mercure. Hauteur de la partie immergée.— Un cylindre en -fer de 0"*,25 de hauteur, à la base duquel est soudé un cylindre de platine de même diamètre et de O'^yOS de hauteur est plongé lans'le mercure. Quelle sera la hauteur du cylindre immergé? La densité du platine est 21,2; cel(e du fer, 7,8; celle du mercure, 13,6.
Soit h la hauteur du cylindre immergé; on a, d'après le principe d'équiibre des corps ûottants, 0«,25 X 7,8 + 0",05 x 21,2 = ^ X 13,6.
Cette équation simplifiée devient :
1,95 + 1,06 = ^X13,6, et Ton déduit :
Ainsi, la hauteur du cylindre immergé sera 0^,221, et par conséquent la partie qui fait saillie au-dessus du mercure a une hauteur de 0°>,079.
Poids d^une couche d'or d'épaisseur déterminée recouvrant un fil d'argent, — Un fil d'argent parfaitement cylindrique ayant 0'",0015 de diamètre et pesant 39'",2875 doit être recouvert d'une couche d*or de 0",0002 d'épaisseur. On demande quel sera le poids de l'or ainsi déposé? On prendra 10,45 pour densité de l'argent, -et 19,26 pour celle de l'or.
Soit p le poids de l'or déposé ; soient r le rayon du fil cylindrique d'argent et H le rayon de ce même fil, après qu*il a été recouvert d'or; soit h la hauteur du cylindre représentée ici par la longueur du fil ; soient enfin d la densité de l'argent et d' la densité de l'or.
D'après les données du problème, on a r = 0*^,075 et R = 0^,095. Le volume r
V 3 2875 du fil d'argent est j= ' .^ = 0^,3146 ; et ce volume correspond à « r^A.
On a donc :
irrU = 0,31l6; d'où Ton déduit :
j^__^0,3U6 '^Trr* 0,0170 '''•
Lorsque le fil d'argent sera recouvert d'une couche d'or de 0*^,02 d'épaisseur, le rayon du fil cylindrique étant devenu R, son volume V deviendra »Rn = 0^,506667.
Or, le volume v' occupé par la couche d'or n'est autre chose que l'excès de Y sur v. On a donc :
t?'=wRU — irrU = w/i(R2— r2),
ou, ce qui est la même chose,
Le volume v' de la couche d'or étant une fois connu, le poids p s'en déduit par la formule ordinaire :
p = t?'rf' =0'%192067 X 19,26 = 3«%6 Ainsi le poids de la couche d'or déposée'sur le fil^d'ai
Détermination de la composition d*un alliage par les densités. — On T»t former avec le zinc et le cuivre un alliage dont le poids soit 50 grammes et la densité 8,2. On sait que le cuivre a pour densité 8,86, et le zinc 7,17, et Ton sait aussi que le volume de Talliage est sensiblement la somme des volumes des composants.
Représentons le poids du zinc parp; celui du cuivre le sera par 50— p. Soient d la densité du zinc, d' la densité du cuivre et ^ celle de l'alliage. D'après Thypothèse admise sur l'égalité de volume entre les composants et leur mélange, on peut poser l'équation :
Cette équation, ramenée à un dénominateur coaunun et résolue en valeur de p qui est seul inconnu donne :
^Xd(d' — ^)
La conversion en nombres donne :
^~ 8,20(8,86 — 7,17) ""Ipg""". ' *
Le poids du zinc étant 179'",07, celui du cuivre doit être: 50^ — 17^,07 = 329%93.
Analyse quantitative d'un alliage d'or et de cuivre d'après la densité qu'il possède, — Un alliage d'or et de cuivre pèse 650 grammes dans Tair. Plongé dans l'eau, il ne pèse plus que 600 grammes. Quelles quantités contient-il des deux métaux? On suppose que l'alliage, au moment de sa formation, n'a donné ]ieu ni à une contraction ni à une dilatation. La densité de lor est 19,3 ; celle du cuivre est 8,8.
La perte de poids que le lingot éprouve par le fait de son immersion dans
l'eau étant de 50 grammes, la densité de l'alliage est -yrr = 13.
Représentons maintenant par x le poids de l'or contenu dans les 650'' d'alliage, le poids du cuivre sera représenté par 650 — X. Et comme le volume de l'alliage est égal à la somme des volumes des deux métaux qui le constituent, on peut poser :
On déduit successivement de cette équation :
lou,o
