IV. s DE LA DIVISION

La division a pour but, coiinaissaiit un produit de deux facteurs, nommé dividende , et un de ses faclenrs, nomme Uiviseiii , de trouver l’autre facteur nommé quotient.

Soit i>ropo.sé de divi.ser 4,536 par 8,

Le dividende étant égal à la somme oes produits partiels d diviseur par les uembres exprimés par les di.lercnts chiffie.

ARlTlliM ÉTIQUE. 25

quotient, si l’on pouvait déduire du dividende ces différents produits partiels, il suffirait de les diviser par le diviseur pour obtenir les chiffres du quotient cherché ; l’opérai ion serait ainsi ramenée à une suite de divisions partielles, faciles à exécuter, qui donneraient successivement tous les 0111171135 du quotient. Pour découvrir ies parties du dividende qui renferment ces produits partiels , on dispose le calcul de la manière suivante.

Dividende 4536

8 diviseur,

5 centaines, \

i'*' reste. 536

6 dizaines, ( quotients partiels.

7 unités, j

2® reste. 56

567 quotient total.

On cherche d'abord le chiffre des plus hautes unités du quotient; et à cet effet, oa détermine la partie du dividende qui

renferme le produit de ce chiffre par le diviseur 8. Ce produit, qui est composé d’unités de meme ordre que celles du chiffre cherché, doit se trouver dans le dividende, et il ne saurait être moindre que le diviseur 8; ou obtiendra donc la partie du dividende .'i,536, qui contient le produit du premier chiffre à gauche du quotient par le diviseur 8, eu prenant assez de chiffres sur la gauche de 4?^ 36, pour que le nombre qui en résulte, considéré comme des unités simples, contienne au moins nue fois le diviseur 8. Le nombre 40, qui satisfait à celte condition, est la partie du dividende qui renferme le produit du chiffre des plus hautes unités du quotient par le diviseur; et comme l\5 exprime des centaines dans le dividende 4,536. on voit que les plus hautes unités du quotient seraient des centaines.

Il est d’ailleurs facile de s’en convaincre; car le diviseur 8 , multiplié par le quotient cherché, doit reproduire le dividende 4,536. Ce dividende est compris entre 800 et 8,000, c’est àdire entre 8 X ^00 et 8 X 1000; le quotient de 4,536 par 8 est donc compris entre 100 et 1000; ses plus hautes unités sont donc des centaines.

Pour déterminer le chiffre des centaines du quotient, 011 observe que le nombre 45 étant composé du produit des centaines du quotient par le diviseur 8 , et de la retenue des centaines qui peut avoir été fournie eu multipliant les dizaines et les

a ARlTilMÉTlQüK.

unités du qucllenl par le diviseur, il en résuUe que si cette retenue est moindre que le diviseur 8, le plus grand multiple du diviseur S contenu dans 4^ exprimera nécessairement le produit du premier chiffre du quotient par le diviseur 8. De sorte que la division de ce multi[)le par le diviseur 8 fournira le premier chiffre du quotient. Or, il est facile de prouver que la retenue des centaines ( fournie par la multiplication des dizaines et des unités du quotient par le diviseur) est nécessairement moindre que le diviseur 8; car le nombre exprimé par les dizaines et les unités du quotient, étant toujours moindre que loo, la multiplication de ce nombre par le diviseur 8 fournit un produit moindre que loo X 8 ou que 8 centaines.

Le plus grand multiple du diviseur 8 , contenu dans le nombre 45 des centaines du quotient, étant 40 , la division de 40 par 8 fournira le chiffre 5 des centaines du quotient.

Et en effet, le dividende 4,536 étant compris entre 40 et 48 centaines, c’est-à-dire 5 centaines X ^ et 6 centaines X ^9 le quotient de 4,536 par 8 est compris entre 5 et 6 centaines* il est donc composé de 5 centaines plus d’un certain nombre de dizaines et d’unités.

Au lieu de diviser par 8 le plus grand multiple de 8 contenu dans 45 , il revient au même de chercher combien 8 est contenu de fois dans 45 ; le résultat 5 est le chiffre des centaines du quotient.

Connaissant le chiffre 5 des centaines du quotient de 4536 par 8, pour trouver les dizaines et les unités de ce quotient, ou observe que le dividende 4,536 étant composé des trois produits partiels des 5 centaines, des dizaines et des unités du quotient par le diviseur 8 , si Tou retranche de ce dividende le produit 40 cenlaines des 5 centaines du quotient par le diviseur, le reste 536 ne renfermera plus que les deux produits partiels des dizaines et des unités du quotient par le diviseur. On peut donc considérer le premier reste 536 comme un nouveau dividende partiel, composé du produit du diviseur 8 par un quotient partiel , dont les dizaines et les unités sont celles du quotient total. La question est ainsi réduite à diviser 536 par 8 , et l’on sait que les plus hautes unités de ce quotient sont les dizaines. Le produit des dizaines du quotient par le diviseur 8 ne pouvant se trouver que dans les 53 dizaines du dividende partiel 536, et la multiplication du chilfre des unités du quotient par le diviseur 8 , donnant une retenue de dizaines moindre que 10 X 8 oii que 8

ARITHMÉTIQUE. 2o

dizaines, on obtiendra le chiffre des dizaines du quotient, en cherchant combien le diviseur 8 est contenu de fois dans 53, ce qui donne 6 ; le chiffre des dizaines du quotient total est donc 6; retranchant 8 fois 6 dizaines ou 48 dizaines de 536, le reste 56 exprime le produit du diviseur 8 par le chiffre des unités du quotient; on obtiendra donc ce chiffre en divisant 56 par 8 , ce qui donne 7 ; retranchant 7 fois 8 de 56 , on trouve zéro pour dernier reste.

Le reste zéro indique que le quotient 567 est exact, c’est-àdire que 4536 est le produit de 567 par 8, car 011 est parvenu au reste zéro en retranchant successivement du dividende les produits des 5 centaines, 6 dizaines, 7 unités du quotient, par le diviseur 8 , ce qui revient à ôter du dividende 4?à36, le produit de 567 par 8 , le reste étant zéro.

4,536 est le produit exact de 567 par 8.

Quand on a accpiis quelque habitude de la division par un nombre d’un seul chiffre , on se dispense d’écrire les dividendes partiels. Ainsi dans notre exemple, pour trouver les chiffres du quotient de 4»5»36 par 8, on dit; le huitième de 45 centaines est 5 centaines pour 40 centaines; je pose les 5 centaines au quotient; il reste 5 centaines ou 5o dizaines, qui, jointes aux 3 dizaines du dividende, donnent 53 dizaines, dont le huitième est 6 dizaines pour 48 dizaines; j’écris les 6 dizaines au quotient, il reste 5 dizaines ou 5o unités, qui , jointes aux 6 unités du dividende, donnent 56 dont le huitième est 7 , sans reste; je pose 7 au quotient, ce qui fournit le quotient total 567.

Enfin on abrège le discours en disant : le huitième de 45 est de 5 pour 40, je pose 5 et je retiens 5 ; le huitième de 53 est 6 pour 48, j’écris 6 et je retiens 5; le huitième de 56 est 7 , que je pose; et comme cette dernière division se fait sans reste , le quotient exact est 567 :

Soit proposé de diviser 472,878 par 567, on dispose le calcul de la manière suivante :

ARÏTHMÉTIQLK

Pour déterminer le chiffre des sdus hautes unités du quotient, on raisonne comme dans l’exemple précédent, et on cherchp d’ahord la partie du dividende <1111 renferme le pioduit u chiffre cherché par le diviseur. Ce produit est co^lpü^e d imites de même ordre que celles du chiffre demande , il doit se trouvei dans le dividende, et il ne saurait être moindre que le div'seur, on obtiendra donc la partie du dividende 472,878. qu‘ contient le produit du premier chiffre à gauche du qimtient , pa

le diviseur,en prenantassez de chiffres sur la gauche ® '^72, 7 , pour que le nombre qui en résulte, considéré comme des uurtes ’simpll, contienne an moins une fois le diviseur 567. Ce nombre 4,72s, qui satisfait à cette condition , est la partie du dividende qui renferme le produit du chiftre des plus hautes quotient par le diviseur; et comme 4,728 exprime des centaine lus le dividende 472,878, on voit que les plus hautes unîtes

du quotient sont des centaines. .

Et, en effet, le dividende 472,878 étant compris entie 56,700 et 567,000, c’est-à-dire entre 667 X 100 et 667 X 1000, le quotient de 472,878 par 567 est compris entre 100 et looo, les plus hautes unités du quotient sont donc des ceritames.

Pour tnuver le chiffre des centaines du quotient, on observe que le nombre 4.728 étant composé du P' oduit des cenlaines du quolient par le diviseur 567 , et de la velenue des centaines qui peut avoir été fournie en multipliant les dizaine et les uuilés du quotient par le diviseur, il en résulté que si cotte retenue est moindre que le diviseur multiple du diviseur contenu dans 4,728 sera le prod Sfi'e demandé par le diviseur de sorte

chiffre en cherchant com!>ien de lois le diviseur 567 est couteim

£ e premier dividende partiel 4,728. Or, la retenue de

centaines (fournie par la multiplication

unités du quotient par le diviseur) est nécessairement moinJie r,:eîe divLr 56, ^ car les dizahms et les formant lonjonrs im nombre moindre que 100 , la P‘ ^

de ce^iombre par le diviseur 56, donne un p.odu.t moindre que 100 X 567 , ou que 567 centaines

Par consénuent, si l’on cherche combien de fo s 56, est contenu dans 4,728, le nombre 8 , que l’on J

chiffre cherché des centaines du quotient ; et, en eftet, le di denL 47 tombant entre 800 X 567 et 9°» X 567, e quotient de 472,878 par 56; est compris entre 800 et 900 ; le quotie

est donc composé de 8 centaines, plus d’un certain nombre de dizaines et d unîtes.

Pour trouver combien de fois 667 est contenu dans 4,728,00 peut former les produits de 567 par les nombres i, 2, 3, 4 , 5 7» S, 9, et l’on voit que 4,728 tombe entre 567 X 8 et ■■>07 X 9 ; de sorte que le nombre cluTché est S. Mais dans la pratique ou se dis|.eBse de calculer les différents multiples du diviseur, et Ion pai vient au même résultat à l’aide d’un tatoimemeiit que nous allons indiquer. Le dividende partiel 4,728 CüiUieutlcs 3 produits partiels des 7 unités des 6 dizaines et des a centaines du diviseur 567, par le nombre cherché, et le dernier de ces produits exprimant des centaines, ne peut se trouver que dans les 47 centaines de 4,728. Par conséquent 47 est compose du produit des premiers chiffres du diviseur par le nombre cherché, et des retenues des centaines qui peiiveiit avoir cte fourmes par les deux autres produits pai tielstl eu resuite que, si l’on cherche combien de fois 5 est contenu üans 47, le nombre 9 qu’ou obtiendra exprimera le nombre

op petit. Pour essayer 9 , en multiplie 56^ par 9 ; le produit

«“4 fort'! Pour

essayci 8 , ou forme le produit 4,536 de 667 par 8 ; ce produit

est corn divisew- 567 est contenu 8 fois dans 4,728. ^

Coiiuatssant le chiffre 8 des centaines du quotient , pour ob-

nir les deux autres chiffres de ce quotient , on observe que

des O 472,878 étant composé des trois produits narüels

3 ,i e. «‘ des unités du quotient* part

diviseur 567 si ] ou retranche de ce dividende le premier produit partiel 567 fois 8 centaines, ou 8 fois 567 cmlaiues'^ ou 4,536 ceutatues, le reste 19,278 ne contiendra plus que les produits des dizaines et les unités du quotient par le diviseuron peut donc considérer le premier reste 19,^78 eommTün nouveau dividende partiel formé du produit du diviseur 56^

par un quotient partiel, dout les dizaines et les unités sont celles du quotient total.

La question est ainsi réduite à diviser 19,278 par S6n et l’on

^afoerr “ï" «-pi'otieut s’o. des

du tues. Pour trouver ces dizaines, ou observe que leur pro-

par le diviseur 667 se trouve dans les 1,927 dizaine, du uideiide 19,278. D’ailleurs la rcteuue de dizaines, fournie

par la multiplication du chiffre des unités du quotient par le diviseur 567, est moindre que 10 X ^67, ou que 567 dizaines. On obtiendra donc le chiffre des dizaines du quotient en cherchant combien de fois 56; est contenu dans 1,927. A cet effet, on détermine combien de fois 3 est contenu dans 19; le nombre 3 qu’on obtient exprime le chiffre des dizaines du quotient, ou un chiffre trop fort. Pour essayer le chiffre 3 , on muliiplie 567 par 3. Le produit 1,701 étant moindre que 1,927, le chiffre des dizaines du quotient est 3. Le produit 1,701 exprimant des dizaines, on retranche 1.701 dizaines de 19,278; le reste 2,268 étant le produit du diviseur par le chiffre des unités du quotient, on obtiendra ce chiffre en divisant 2,268 par 567, ou, ce qui est plus simple, en divisant 22 par 5. Le nombre 4 que Ton obtient exprime les unités du quotient total; car en retranchant 4 fois 667 de 2,268 , le reste est zéro. Le quotient

demandé est donc 834 . , ...

Dans la pratique on n’écrit que les chiffres necessaires a la formation des dividendes partiels 4>7^^ j i»9^7» 2,268; de sorte que le calcul s’exécute de cette manière abrégée :

Le premier dividende partiel 4,728 contenant 8 fois le diviseur 567, on pose 8 au quotient; on ôte 8 fois ^67 ou 4,536 de 4,728 , et à la droite du reste 192 , on abaisse le chittre 7 du dividende, ce qui fournit le deuxième dividende ^>9^7» l’on divise par 567 ; le quotient 3 est le deuxième chiffre du quotient demandé. On retranche 3 fois 567 ou 1,701 de ïî9^7» et à la droite du reste 226 on abaisse le dernier chifie u dividende, ce qui donne le troisième dividende partiel 426» que l’on divise par 567. Le quotient 4 est le dernier chiffre du quotient total. On ôte 4 fois 567 de 2,268, ce qui détermine le

dernier reste zéro. , ,

Les raisonnements précédents conduisent à cette réglé gene-

arithmétique. 29

raie : Pour diviser un nombre par un autre, écrivez le diviseur a la droite uu dividende, et placez un trait entre ces nombresme ez un autre trait sous le diviseur' pour le séparer du quo- 'O'is poserez dessous. Prenez assez de C l les sur la gauche du dividende pour que le nombre qui en resu te contienne le diviseur ; chercbez le Lmbre qui ex,, rime combien de lois ce dividende partiel contient le diviseur. Ce nombre sera le ,>remier chiffre à gauche du quotient ; écrivez le ] reimer chiltre du quotient sous le divi-eur; muliipliez le diviseul- ,,ar ce ehifire , et mettez le ,,roduit sous le premier diviet, de placez un trait sous ces nombres et retrancbez-les l’un

nrem- ; “Tvf au-dessous , et abaissez à sa droite le

premier des chilfres du dividende qui n’ont pas encore été emp oyes, vous obtiendrez un nouveau dividende partiel sur le-

ileri lc°d* précédent ; ce qui détermi-

du ne quotient que vous écrirez à la suite

1Vi>r *"'**^' • ^ répéterez les mêmes opérations jusqu'à de de'’.®'r'f“®"‘ dividende. Lorsqu’un divi-

iiondant d. r'* “‘“'“dre que le diviseur, le chiffre correspondant du quotient sera un zéro.

rlii:?^i'* d une division le dividende est égal au pro-

ct esnonî'’ P‘- «este^q 1

correspond a ce quotient partiel. ^

di/divddeL’lcT re reste en Ôtant successivement

trouvés mi onni . r P*--

le produit inial'*^'i*’d'^ a retrancher du dividende

001^00 In i

sui leCôdm- i 'V'-""'"'"' dividende

le pioduit du diviseur parle quotient déjà obtenu.

videtX étid r''’‘’°d 'f* .“>‘®“*P'“ précédents que le di-

suis ceue i du-'"" “ ^ reste égal à zéro,

vise deux nn '°"je"vs satisfaite. Quand on di-

vent q ’e lé d""? *’“« P^e l’autre, il arrive sou-

nombr c ie é

f moindre, , ni’» t v ’ Prévient à un dernier reste

«■"al au nr T 1“' " Pas nul. Le dividende étant

«luotié"'" t'‘ P“r 1“ “ombre entier obtenu au lé diviseur 'os'o étant moindre que

produit du’ I • ' loo *« dividende est eomin-is entre le

P dit diviseur par le nombre entier obtenu au quotient.

et le produit du diviseur par le nombre entier obtenu au quotient augmenté d’une unité. Le quotient total est donc compris entre le'’ nombre entier qui a été obtenu au quotient, et ce nombre entier augmenté d’une unité. On dit, parce motd, que le nombre entier obtenu au quotient est la plus petite valeur entière approchée du quotient demandé , ou la partie entière du quotient. j , j-

On dit qu’un nombre est divisible par un autre quand la di-

vision se fait sans reste. Ainsi 12 est divisible par S , car la division fonriiit le quotient exact 4 , et le reste est zéro.

Pour diviser un nombre par le produit de plusieurs facteurs , il suffit de diviser successivement par les facteurs du produit.

Pour faire la preuve de la division , il suffit de multiplier le diviseur par le nonibre entier obtenu au quotient, et d’ajouter le dernier reste à ce produit ; la somme doit être égaie au dividende. Quand le dividende augmente ou diminue d’un certain nombre de fois le diviseur, la partie entière du quotient aiiemeute on diminue du même nombre de fois runile ; mais le feste de la division ne change pas , car la partie eiitiere du quotient indique combien de fois le diviseur est contenu dans le

dividende. . ,

Quand on multiplie le dividende et le diviseur par un nombre

donné , et qu’on divise les produits Tun par 1 autre , la partie entière du quotient ne change pas; mais le reste de cette nouvelle division est égal au reste de la division precedente , multiplié par le nombre donné.