CHAPITRE IL

PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX DIVISEURS DES MOMRRES. DU PLUS GRAMD COMMUW DIVISEUR. DES NOMBRES PREMIERS. RECHERCHES DES DIVISEURS DES NOMBRES.

Ouand plusieAirs nombres ont un diviseur commun, leur somme a le" même diviseur; car le quotient de chaque nombre par le diviseur commun étant un nombre eiil'er, la remuon üe ces quotients partiels est un nombre entier qui exprime le quo-

AIUTIIMÉTIOÜE.

tient lüUü de la division de la somme des nombres proposés par le diviseur commun. ^

Tout diviseur d uu nombre divise les multiples de ce nombre.

La somme de plusieurs mulhples d’un nombre est un multiple de ce nombre. '

Quand une somme est composée de deux parties, tout nombre (pji divise la somme et la première partie divise nécessairement la deuxième partie; car la dilTérenee eutrc la somme et la première partie étant égale à la deuxième partie , si Ton divise la somme et la première partie par leur diviseur commun, les deux quotients seront des nombres entiers, et leur différence qui sera un nombre entier, exprimera le quotient delà deuxième partie par le diviseur commun. Ce dernier quotient sera donc elfectivement un nombre entier.

La dilference entre deux nmitiples d'un nombre est un multiple de ce nombre.

Qtiaud ou combine plusieurs muilipies d’un nombre par voie d addition et de soustraction, !e résnliat est un multiple du même nombre. ^

Quand une somme est composée de deux parties, dont l’ime est divisible par nu nombre, et dont l’antre n’admet pas ce dlvl^ellr, la somme proposée n’est pas divisible par ce diviseur.

Un nombre n’est jamais divisible par un autre plus eraiid que sa moitié.

Le reste de la division d’un nombre par 2 est le même que celui de la division de son premier chiffre à droite par 2.

Le reste de la division d’un nombre par 5 est le même que celui de la division de son premier chiffre à droite par 5.

Pour Irouver le re.ste de la division d’un nombre par 9 , il suffit d'additionner les chiffres du nombre proposé; quand la somme de ces chiffres est moindre que 9 , elle exprime îc reste cherclie. Quand elle surpasse 9 , ou opère sur elle comme sur le nombre proposé en additionnant les chiffres; ainsi de suite jusqu à ce qu’on parviemie â une somme qui n’excède pas 9 Si cette somme est égale à 9, le reste est zéro; ce qui indiquera que le nombre donné est exactement divisible par 9.

(-ela est évident si i’oii remarque que :

10 = 9-1-1, roo = 99 I, . 1000 =999 I , etc.

Un nombre est dit premier quand il n’est divisible que par lui-mêrne et par l’uni lé.

Deux nombres sont dits premiers entre eux quand ils n’ont pas de facteur commun.

Le plus grand de tous les diviseurs communs à deux nombres est ce qu’on nomme leur plus grand commun diviseur. Nous allons faire voir comment on peut trouver le plus grand commua diviseur de deux nombres.

Pour fixer les idées, considérons 48 et 18. Leur plus grand commun diviseur ne pouvant surpasser 18, on e»t conduit à di viser 48 par 18; car, dans le cas où la division réussirait, 18 serait le plus grand commun diviseur demandé. Ici on trouve

Il résulte de ce que nous avons déjà établi, que le plus grand commun diviseur de 48 et 18 est le même que celui de 18 et 12. En effet, le pUis grand commun diviseur à 48 et 18 divise la somme 48 et 18 X 2, qui est fuiie de ses parties; il doit donc diviser l’autre partie 12. Divisant 18 et 12, il ne peut surpasser le plus grand commun diviseur de 18 et 12; mais le dernier divisant 12 et 18 X 2 divise la somme 48, il divise donc 48 et 18; il ne peut donc sinpasser le plus grand commun diviseur de 48 et 18. Ces deux plus grands communs diviseurs ne pouvant être plus grands l’un que l’autre sont égaux.

Les mêmes raisonnements étant applicables à des nombres quelconques, on voit que tout diviseur commun à deux nombres divise le reste de leur diviseur, et que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nombres et le reste de la division du plus grand nombre par le plus petit.

La question est ainsi réduite à trouver le plus grand commun diviseur de 18 et 1 2 ; or

donc le plus grand commun diviseur est 6.

Eu générai pour diviser le plus grand commun diviseur de deux nombres, divisez le plus grand par le plus petit; si le reste est zéro, le plus petit nombre sera le plus grand commun diviseur cherché; s’il y a un reste, divisez le plus petit des nombres proposés par ce premier reste; si le reste de celte division est zéro, le premier re^te sera le diviseur cherché, dans le cas contraire continuez à diviser les restes successifs les uns par les autres, jusqu'à ce que vous parveniez à un quotient exact; le re.^te qui divisera exactement le reste précédent sera le plus grand commun diviseur cherché.

Le nombre de divisions à effectuer pour obtenir le plus grand commun diviseur, ne. peut jamais excéder la moitié du plus petit des deux nombres [)roposés; car à chaque division les restes successifs diminuent au moins de deux unités.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, il suffit de chercher successivement le plus grand commun diviseur entre le premier et le deuxième, entre le plus grand commun diviseur obtenu et le troisième nombre, et ainsi de suite.

Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on le divise nécessairement par chacun des nombres premiers 2,3,5, etc., qui n’excèdent pas sa moitié, jusqu’à ce qu’on obtienne un quotient exact. On divise ce quotient par le nombre premier qui a servi de diviseur. Si le nouveau quotient est exact, on le divise par le même nombre premier, et on continue ces divisions jusqu’à ce qu’on obtienne un quotient qui ne soit plus divisible par le nombre premier qui a servi de diviseur. On opère ensuite sur le dernier quotient obtenu comme sur le nombre proposé, en observant que ce quotient ne peut être divisible que par des nombres premiers plus grands que celui qui a servi de diviseur; on continue ces calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à un quotient qui soit un nombre premier. Le nombre proposé est égal au produit de ce dernier quotient par tous les nombres qui ont servi de diviseur.