et que l’on énonce

7 est à 3 comme 28 est à 12.

Pour distinguer les deux antécédents et les deux conséquents d’une proportion, on appelle premier antécédent et premier consé(juent les deux termes du premier rapport, et deuxième antécédent et deuxième conséquent ceux du deuxième rapport. Le premier terme et le quatrième sont les extrêmes; le deuxieme terme et le troisième sont les moyens.

Dans une proportion arithmétique , la différence des deux premiers termes est la raison du premier rapport; la diftérence des deux autres est la raison du deuxième rapport. Dans une proportion géométrique, le quotient du premier terme par le deuxième est la raison du premier rapport , et le quotient du troisième terme par le quatrième est la raison du deuxième rapport.

Il résulte des définitions précédentes que, dans toute porportion arithmétique ou géométrique, la raison du premier rapport est égale à la raison du deuxième rapport.

Le quatrième terme d'une proportion est ce qu’on nomme une quatrième proportionnelle aux trois autres termes. Quand les moyens sont égaux, la proportion est dite continue.

Dans la proportion continues . 7 : 7.9, le terme moyen 7 est une moyenne arithmétique entre 5 et 9 ; cette proportion s’écrit ordinairement de cette autre manière I 5 . 7 . 9. 9 est une troisième profiortionnelle arithmétique à 5 et 7 ; de meme

I 11 12 î 36 est une proportion géométrique continue

qu’on écrit ordinairement de celte autre manière :

12 est une moyenne géométrique, 36 une troisième proportionnelle géométrique.

Dans toute proportion arithmétique^ la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens. En effet, soit la proportion

arîllimélîque 7.5:11.9, elle exprime que les rapports 7 — 5,11 — 9 sont égaux ; par consé(juent, si l’on augmente les rapports de la somme 5 -f- 9 conséquents, les résultats seront égaux ; or 7 — 5 -[- 5 -f- 9 se réduit à 7 -|-9,etii — 9 -f- 5 -f- 9 se réduit à‘ ii 5 ; la proportion 7.5:11.9 donne donc 7-|-9 = it-|-5.

Quand la somme de deux nombres est égale à la somme de deux autres iioml)res, ces quatre nombres forment une proportion arithmétique dans laquelle les deux nombres qui composent une des sommes sont les extrêmes et les deux autres sont les moyens. En effet, soit l’égalité 7 -{-9 = 1^ -[-5.

Si des deux quantités 7 -f- 9, 1 1 -j- 5, on retranche 5~j-9, les restes seront égaux.

On a donc 7 — 5 = 1 1 — 9, les rapports arithmétiques 7 — 5 et II — 9 sont égaux.

Le quatrième terme d’une proportion arithmétique est égal à la somme des moyens diminuée du premier terme.

En effet, la proportion 7.5: ir .9 donnant 7 -f- 9 = 5 -|-ii,on a9 = 5 -\-ii — 7.

Par conséquent quand on connaît trois termes d’une proportion arithmétique, on peut toujours en déduire le quatrième.

Dans toute proportion géométrique, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

En effet, la proj)ortion 7 : 3 :: 28 : 12 exprime que

- = — , et par suite que 7X12 = 28x3.

Quand le produit de deux nombres est égal à celui de deux autres, ces 4 nombres peuvent former une proportion; en elfet,

7 X 12 = 28 X 3, donc - = — , donc 7 : 3 : : 28 : la

Le quatrième terme d’une proportion est égal au produit des moyens divisés par le premier terme; en effet,

Par conséquent, quand on connaît trois termes d’une proportion , on peut toujours en déduire le quatrième; si les moyens sont

ARlTUMfh'IOîF..

égauXy chacun d’eux esl égal à Ih racine cai i ét du produit des exU’êmes; eu effet,

4 ; JS :: 19. : doijc ts x = 4 X 36. donc

Enfin, jl est facile; de voir tiup, tant fine le produit des moyens est égal à ccUù dos extrouies, la proppi lion a toujours liey. Ou peut doue uieljrp les ipoyeus a la place des exlieuies. On déduit" de ce qui précède (jue quofïd deux proportions ont un rapport commun , ies deux autre.s rapports forment une proportion , et que si deux proportions ont les memes antécédents ou lés mêmes consécpienls, les quatre antres terme.', tormerit une porportion, Enfiinrou j)eul (lire : da«s une proporpoii le premier antéciîdent, plus ou moins un certain nombre dp tois sou cou-séqucnl, est à ce conséquent, çoinipe le deuxième antécédent, plu.s ou minus le mèrne nombre de fois spa conséquent, est ^ ce conséquent k

Soit 20 : 2 :: 3o : 3. 0n pp.se. =

Or, d’après le calcul des fractions, ou sait que 20 4 X 21 do -j- 4 X ^

ce qui démontre la propriété. Il est facile de dédu»!® propriétés des proportions en tenant compte des differentes propriéles des fractions; ainsi on a, par exemple.

— , donc - — ; — ■ . , “

Quand on multiplie If's termes de plusieurs proportions les uns par les autres et par ordre, les qiialn* produits tormoul une nouve e proportion. En effet, soient 3 : 6 : : 4 î et 5 : 7 * ! ^

ona~

çe qui dopiie SX^î^X? lî 4X*ol?X

On en déduit que les j)ui‘<5anc<\s semblables de ({U.^ttre nombres cil proporlion sont en propoiliou.

§ IT. ArmcATroiT des rRorontfoNS.

Rh^Ie de trois si ni pie.

Quatre ouvriers ont tait 20 mètres d’onvra^^e, Combieii 9 eil feront-ils?

Appelons x le nombre clierebe’, on a ètidemment la ptoporîiott

20 X St tt

4 î 20 q : a: donc x ^ 4**

Règle de trois composée.

Deux ouvriers travriillant 3 heiii es par jour, ont fait en 5 jours 90 mètres d’ouvrage, com!)ien 3 ouvriers travaillant 7 heures par jour feront-iU de mètres du même ouvrage en 2 joui s?

Il faut avoir égard successivement au nombre des ouvriers, des heures, et des jours.

Deux ouvriers travaillant 3 heures par jour pendant 5 jours, font autant d’ouvrage que 6 ouvriers tsavaillant une heure par jour pendant 5 jours; du que 3o ouvriers travaiManî pendant une heure et pendant un jour.

Maintenant 3 ouvriers travaillant 7 heures, font atitant d’oUvrage que 21 ouvriers pendant mie heure, et s’ils travaillent pendant 2 jours il faudrait 4^ ouvriers travaillant pendant une heure, un seul jour, pour faire le même Iravad.

Donc la question est ramenée à une règle de trois simple que l’on peut poser ainsi :

3o ouvriers ont fait, dans un temps donné, 90 mètres d^ouvrage, combien 42 ouvriers en feront-ils dans le même temps ? Donc

3o : 90 îî 42 * X = 126.

Règles d* intérêts.

Problème. Combien 480000 francs d’argent comptant vaudront-ils dans 3 ans? L intéiêj éUnt supposî de 5 francs pour

(>0 AKlTHMÉTlQUr:.

loo, il en résulte que loo francs valent 1 15 francs après 3 ans. Donc le problème revient à celui-ci : loo francs rapportent ii5 francs, combien 480000 francs rap()orleront ils ? et le quatrième terme de la proportion indique cette valeur.

^ 100 ; ii5 :: 480000 : a; = 552000.

Problème. Combien 56oooo francs payables dans 40 mois valent-ils en argent comptant?

• Si 100 francs donnent 5 francs pour intérêt après l’année,

après 4 mois ils donneront - de francs; donc 100 francs valent

au bout de 40 mois