CHAPITRE VIL
ÏHÉORIK DES LOG4UÎTHME5.
Quand on compare deux progressions indéfinies , l’nne géométrique commençant parrunité, fantre arithmétique comméri» çant par zéro, chyqiie terme de la seconde progression esteS qu’oû appelle Je logarithme du terme correspoùdtfût dô la
AlilTHMKTJQUE. 63
fu’fipjière progression j IVflsemble (les termes de ces deux progressions l’orme un système de logarillnnes.
suit de celle définition que le logarillnne de l’iinité est toujours égal à zéro.
Dans des progressions de celte espèce, chaque terme de la progression géométrique est égal à la raison , prise autant dTe fois fcmine iactcur qu’il y a de termes avant lui, et cliaque terme de la progression ariihmétiqne est égal à la raison répétée autant de fois qn’il y a de termes avant lui.
par conséquent , les ternn s successifs de la progression géomé* trique sont tontes les puissaiiGcs successives do la raison de cette progression , et le rang de chaque terme est indiqué par Texppsanl de la raison dans ce terme augmenté d’une unité.
Les termes successifs de la progression arithmétique sont tous les miilliples snccesslls de la raison de cette progression , et le rang de chaque lepine est indiqué par la multiplication de la raison dqns ce terme aiignicnlc d’une unité.
Quand un terme de la progression géométrique occupe le meme rang qu’iip terme de la progression arithmétique, ces deux termes sont tels que rexpesant de la raison dans le terme de la progression géométrique est égal au multiplicateur de la raison dans le terme correspondant de la progression arithmétique ; et réciproquement tontes les fois que l’exposant de la raison dans iin terme de la progre sion gépniéîrique est égsil ao mnllipijcatenr de la raison dans nn terme de la progression aridiniétique , on est certain que ces deux termes occupent le même rang dans tes deiix progressions*.
Si l'on multiplie Tun par l’autre deux termes de la progression géométrique , et si l’on ajoute les termes correspondants de la progression aritlimélique, le produit et la somme seropt des termes de ce.*» progressions , et de plus ces termes se correspondront. Cela résulte immédiatement de ce qui précède.
On voit donc que si deux progressions, l’une géométrique commençant par I unité, l’autre arithmétique commençant par zéro, sont placées eu regard :
*•^*3:9: Si 7:81: O 43;^ 29: 2187: 656 r , etc.
I0.2.4.6 .8.10 .isi . 14 , i6. etc.
Pour trouver la place occupée par le produit de pdu^îeiirs termes de la progression géoniétri(|ue, il suffira d’ajouter les termes correspondants de la progression arithmétique; le terme
qui représente la somme correspondra au terme qui représente le, produit. Ainsi le produit des trois termes 3, g, 27, correspond à la somme des trois termes 2, 4, 6, dont la somme est 12 ; donc le produit cherché est 729.
Les termes de la progression arithmétique étant les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique , on \oit que le logarithme du produit de plusieurs termes est égal à la somme des logarithmes.
Si entre tous les termes des deux progressions que nous avons considérées, on insère un très grand nombre de termes, nous pourrons transformer la progression géométrique en une autre qui sera telle, que la série des nombres entiers consécutifs, à partir de Tunité, s’y trouvera, sinon représentée exactement, du moins exprimée par des termes qui différeront aussi peu qu’on voudra des nombres naturels.
Nous pourrons alors établir pour les nombres plus grands que l’unité les principes suivants : le logarithme du produit de plusieurs facteurs est égala la somme des logarithmes de ces facteurs.
Par exemple, 21 étant le produit de 3 par 7 , on a;
log. 21 =log. 3 +log. 7.
Le logarithme du quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur; car le dividende étant égal au produit du diviseur par le quotient, il suit que le logarithme du dividende est égal à la somme des logarithmes du diviseur et du quotient. Ainsi :
loî
log. 21 — log. 7 = log. 3.
Le logarithme d’un nombre fractionnaire est égal au logarithme du numérateur, moins le logarithme du dénominateur; car on peut considérer un nombre fractionnaire comme indiquant le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur ; 2 1
on a donc : log. — = log. 21 — log. 7.
Le logaritlime d’une puissance est égal au produit du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance:
' log. 43 = 3 log. 4.
Le logarithme d'une racine s’obtient en divisant le logarithm’fe de ce nombre par le degré de la racine :
Des logarithmes dans le système dont la hase est lo.
Ce système, généralement adopté pour les calculs numéricpies, se déduit des progressions :
** I • 10 ! loo t looo r loooo I looooo • loooooo, etc.
; 0.1.2* 3 * 4* ^ * b, eic,
en insérant successivement des moyens géométriques et arithmétiques entre les termes de ces progressions. La raison lo de la progression géométrique primitive s’appelle la base du système de logarithme.
Dans ce système, les logarithmes des nombres I , lo , loo , lOoo, etc.
étant égaux à
O , I , 2 , 3 , etc. ,
on voit que, suivant qu’un nombre est compris entre i et lo, entre lo et loo, etc., son logarithme tombe entre zéro et un, entre un et deux, etc.
Par conséquent , si l'on évalue les logarithmes en décimales, la partie entière du logarithme d’un nombre entier ou décimal, plus grand que runilé, contiendra autant d’unités moins une qu’il y a de chilfres dairs la partie entière du nombre dont on cherche le logarithme. CcUe partie entière du logarithme s’appelle la caractéristique.
Quand on connaît le logarithme d’un nombre, pour en déduire le logarithme du produit ou du quotient de ce nombre, par l’unité suivie de plusieurs zéros, il suffit d’augmenter ou de diminuer le logarithme donné d’autant d’unités qu’il y a de zéros. Ainsi , on a :
Log. ( 47 X looo ) = log. 47 X log. lOoo = log. 47 3.
log. 1000 = log. 47 — 3.
4RlTIiMKXIQLI’.
Quançl on .^ugqenle ou qu’ou dimioue le logaîiihnie d’un nombre de plusieurs unités^ le résultat est lê ingai’iflime du produit ou du quotient de ce nombre par une puissanre de lo épie au nombre d’unités dont a aügmeulé ou diminué le logarithme donné.
Par exemple , on a :
hog. 47 -{-3 = log. 47 -j-iog. iooo = log. (47 X 1000) = log. (47 X io>).
Log. 2347 — 3 ™ log. a 34 7
loi
TOGO
loi
I ÜOO
lo
or t
Le système de logarithmes détenniné par les progressions primitives :
:: I : lo : loo, etc.,
r O • I * a , etc. ,
ne peut conduire qu’aux logarithmes des nouibie-s plMs grands que l’unité. Pour obteinr les logarithmes des nombres moindres que Punité, il faudrait que ces nombres lissent partie de la progression géornétriquf:; or, dans cette progression, chaque terme, divisé par la raison 10, donnant le terme précédent, oià
peut faire précéder le terme i des termes— , etc., de
10 ’ ÎOO’
sorte que la progression géométrique indéfiniment prolongée de part et d’autre du tei me i devient :
.... ; — i — . : I : 10 : loo : . . , .
100 lO
Pour trouver les logarithmes des nombres —, , il
10 ïor>
faut étalilir des conventions n l’aide (iesquelles 011 puisse former les termes qui précèdent zéro dans ia nouvelle progressiqp arithmétique. Or, chaque terme de la progression arilhméliipie, diminué de la raison i, donne le tciine précédent. Le temie qui précède zéro s’oiitiendra don<* en retianebanî une unité à zéro; ce qui fait O'i , ou sim^)lemei)t — r , et ainsi de suite 011 aura 'a ,
AarniMimoïr^- m
