Ci . 1 . O . £ , q

suivant qu’tin nombre est précédé du sifpie -j- ou du signer—, ou dit que ce nombre est jiositif ou négatif. Les nombres qui ne sont précédés d'aucun signe sont censés affectés du signe et font par conséquent positifs.

Pour calculer les logarithmes dtvs nombres moindres que Punllé, il faut insérer des moyens géométriques entre les termes i,

io'-~oo ’ orogression géornétriqqe, et des mpyeiis

arilhnu'tique.s entre les ternies eQï'respondaïUs o-i , etc., déjà progression anllimétiqiie. La recherche des moyens géométriques il oilre aucune diliiculté ; mais la détermination des movens aj iihuiérKjuc.s exige (|u on sache opérer sur les nombres négatifs.

quatre oqx' rations fonJainentales de V arltliir\étique mi(îes nombres positifs et négatifs.

Ouaipl on veut atidilioniier des nombres positifs et négatifs , il faut généraUscr |e sens qui avait été attaché ]usqu,'ici à la définiliüQ de l’addiiioii; car les signes -}- et — , placés devant les nombres , indiquent réellement des additions et des soustractions partielies. Nous considérerons doiic raddiiion de plusieurs nomines p'osili's et.ncptifs comme ayant pour but de trouver nu sriil nomljre positif ou négatif qui exprinie le résultat des additions et des s()Uslractioiis partielles indiquées par les signes -jet — , (jui alh.'ctcnt les nombres sur lesquels ou ppère. Ce résultat est ce (ju on ar»pclie la somme des nombres proposés.

1) apre:> celle nouvelle dciiniî’on de raddiiion, pour obtenir la somme de piusieurs nombres positifs, on négatifs , on met çes npiuiiris a la sinteibacuu des autres avec leurs signes; ainsi, j)oiir ajouter -[- 2 à moins 3, on écrit 2 — 3 = i.

l a >ou5lraciîon doit être considéiée comme une opération lion! le bntc.-t, connaissant la somme de deux nombres et l’uu «le Ces n ’inl.rrs , de (!t‘!eriu’i)cr l’antre nombre quj est le r< s’e.

ARITHMÉTÎQÜE.

On déduit de cette définition que , pour obtenir le reste d une soustraction, il suffit d’écrire à la suite du nombre dont on soustrait le nombre à soustraire , pris avec un signe couîrane a celui dont il est affecté; le résultat, réduit à sa plus simple expression , est le reste demandé.

La multiplication a pour but de calculer un nombre nomme produit, qui soit compose avec un nombre connu nomme multiplicande; de la même manière qu'un nomlu'e donné, nomme multiplicateur, est composé avec Tunité.

Le signe du produit ne pouvant dépendre que des signes des facteurs et nullement de leurs valeurs numériques, il suffit de déterminer le signe du produit dans le cas où le multiplicateur

est un nombre entier. Cela posé , , • i •

Quand le multiplicateur a le signe , le produit a le signe du multiplicande ; car le multiplicateur étant compose de l addition de plusieurs unités, le produit doit être compose de 1 a dition de plusieurs nombres égaux au multiplicande , et Ion a vu que la somme de plusieurs nombres de même signe est allectee du signe de ces nombres. , . ^ /on

Ainsi + + ■

Quand le multiplicateur a le signe—, le produit a un signe contraire à celui du multiplicande; car le multiplicateur entier négatif étant composé de la soustraction de plusieurs unîtes , on formera le produit en retranchant plusieurs fois le multiplicande; ce qui revient, comme on l’a vu , à faire la somme de plusieurs nombres égaux au multiplicande, et affectés d’un signe contraire à celui du multiplicande. Cette somme, qui exprime le produit demandé, sera donc affectée d’un signe contraire a celui du multiplicande. , ^

Par exemple , le produit de ( — 3 ) ( — 2 ) — -f- La division a pour but, connaissant le produit de deux nombres nommé dividende, et Tiin de ces nombres — e f,. viseur, de trouver l’autre nomme quotient. Il résulté de la ddinilion de la règle des signes dans la multiplication, que le quotient de deux nombres de même signe a le signe +, et que le quotient de deux nombres de signes differents a le signe . Par exemple :

Des logarithmes ' négatifs t

Il est facile mainleiiant de faire voir que les deux progression! étendues en-deçà de zéro et de un jouissent des mêmes propriétés qu’elles jouissent au-delà, c’est-à-dire que le produit ou le quotient de deux termes de la progression géométrique est toujours un des termes de cette progression; car, en mettant la progression sous la forme

-i. : -i- : L ; ; I ; lo : 10» : loJ : io< ; —

io4 xo^ lO» lO

on trouve que, par exemple, — X = lo qui est un des

iu3

ternies, ainsi que lo^ divisé par — , puisque le quotient

lO

égale io<. On voit de même, dans la progression arithmétique, que la somme ou la différence de deux termes quelconques est toujours un terme de la progression; car dans la progression • — 5 - — 4* — 3* — 2* — i-o* i*2‘3*4.

la somme — 3 2 = — i ,

la différence ( — 3) — (|-2) = — 5, qui est aussi un terme.

Il est facile de voir à la seule inspection que, dans le système de loganthmes déterminé par ces deux progressions, les nombres plus grands que runité ont des logarithmes positifs qui sont d’autant plus grands que ce5 nombres sont plus grands; tandis que les nombres positifs moindres que Tunilé ont des logarilbmes négatifs qui sont d’autant plus grands que ces nombres sont plus petits, ^

Il est visible aiusi que les nombres négatifs ne peuvent avoir de logarithmes.