PR

d on P p — . Si on démontre que la différenca

R — r montré q

petite qu’on voudra.

Or, le triangle rectangle o m c donne (1)0^

Mais O c^z^R 2, o ni = /-a iq ç Ç5t égal à — ; donc ni c

?.'oiis avons siqvposé (jue le iioinhre des côîés des polygones est n. Chaque côté sera donc égal à ce périmètre divisé parle nombre

/( de côtés ; ce qui donne et i— ;substituaut

r peut devenir aussi petite epron voudra, il sera dcé que la diliérence P — p peut ei!e*méme devenir aussi

o ni

bc^.

donc (2) ^ ou

-, ce qui revient P

Oelte dermere équation prouve que la différence R — r sera (i autant plus petite que l’oii donnera à n une plus grande valeur, ccst-a-dii e que l’on supposera le nombre des côtés des polygones plus grand ; or, comme on peut augmenter ce nombre à volonté , on peut aussi diminuer à volonté la différence R — rimais alors réquation(r) prouve que la différence P r peut devenir aussi petite qu’on voudra.

On ferait voir de même que la différence entre les surfaces de. ces polygouci peut devenir aussi petite que l’on veut on parlant U piincipe que les surfaces dos polygones réguliers sont entre

102 GÉOMÉTRIE

elles comme les carrés des rayons des cercles inscrit et circonscrit.

Maintenant remarquons que la circonférence eft toujours renfermée entre les périmètres des deux polygones, quel qu’en soit le nombre des côtés ; or, puisque ces périmètres peuvent différer très peu l’un de l’autre, à plus forte raison la différence entre le périmètre du polygone circonscrit et de la circonférence peutelle être petite. Il est évident aussi que la différence entre la surface. du polygone circonscrit et celle du cercle peut devenir très

petite. ,

0n peut donc considérer la circonférence comme étant la limite du rapport des périmètres des polygones inscrits et circonscrits semblables , et le cercle comme étant la limite du rapport des surfaces de ces mêmes polygones.

? 'Proposition XïX. — Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons, et leurs surfaces comme les carrés des rayons.

Soient G et c deux circonférences dont les rayons sotU K'et r. Désignons par P le périmètre du polygone régulier d’un îuéme nombre de côtés inscrit dans c.

On aura P : R : /•, ou (i) Pr = pR.

Mais C >P < t c >p; et si on multiplie le nombre des côtés des polygones, la différence entre les circonférences et les périmètres peut devenir aussi petite qu’on voudra; on peut donc poser C = P + «etc=:y9-|-<^, aet<î pouvant passer par tous les états de grandeur ; on tire de ces égalités P == G — a^p-~-c — cJ; remplaçant P et par ces valeurs dans (i), il viendra (C — a ) r=i{c-^è) R, et en effectuant laréductjon ,Gr- a;— cR — <î R. Cette équation contient deux sortes de termes, les uns constants et les autres affectés de a et <î qui sont variables; faisant passer dans unmême membre ceux qui sont constants, et les au très dansi’autro membre, on aura C r — cR = a r — (jR. Or, s il pouvait y avoir une certaine différence l entre Cr et CK, il faudrait que cette même différence existât entre ar et <îR; mais la différence entre ces dernières quantités peut devenir moindre que > en faisant varier a et (î; il n’y a donc pas de limite assignable à la difié rence entre C/* et cR, on peut donc poser Cr=;=cR, ce qui revient à : G c :: R : r; donc les circonférences sont comme les rayons.

OKOMKTRIE.

En multipliant par 2 les deux termes du second rapport, il C , c sRîar; c’est-à-dire que les circonférences sont aussi entre elles comme les diamètres.

Si on désigne par S et j 1rs surfaces des polygones dont Pet « sont les périmètres, et par X et Y les surfaces' des cercles correspondants,on aura S : 011(2) Sr^=sK^ ; mais

^ ^S etY , ou peut donc poser X = S -^-a et en désignant para eld des quantités variables, et pouvant passer

par tous les états de grandeur, on en tireS=X — «et 5= Y tî

valeurs qui , .subsliliiées dans (2}, donnent (X — a ) ^2 — (y

R et, on raisonnant comme plus haut, cela revient à X : Y R - : 7 "; ce qui veut dire que les sur&ces des cercles sont eomms les carrés des rayons.

Proposition \X. — La surface du polygone régulier est égale à la moitié du produit de son périmètre par le rayon. du cercle inscrit.

En efietjsoit Ai> CDEF; soit O le centre du Cercle inscrit dans •ce polygone; si on partage ce polygone en triangles comme j’in- (Iniue la figure, il est évident que chaque triangle a pour mesure .v'i I^isc multipliée par la moitié du rayon p î, du cercle inscrit; eu laisaut la somme de ces triangles on gqra ia surface du polv-

gone qui sera égalé a — - — , c’est-à-dire àçon périmètre multiplie par la moitié du layon du cercle inscrit.

Il est bien facile maintenant de trouver la surface du cercle.

En effet, sojt S la surface- d’un cercle dont la circonférence est C et Rie rayon, et soit S' la surface du polygone régulier cir-

conscril à ce cercle, et P son périmètre, oq aura (i) c' —

Maisy' >S et P >0, et on peiitposer S' = S «, P=C-!-(î,

X et 0 étant des variables; mettant en valeur de S' et dePdans(i)|

il vient S -f ^ effectuant,