OU
Et de là ou tire, en raisonnantcommedanslethéorèrceprécédent,
I ; cest-a-dire, que la surface d’un cercle est égale à rircoidcrence multipliée par la moitié du rayon.
404 GÉOMETEIE.
Le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver im carré égal eu surface à un cercle dont le rayon est connu ; or on vient de prouver que le cercle est équivalent au reclaugle fait sur la circonférence et la moitié du rayon , et ce rectangle se change en un carré en prenant une moyenne proportionnelle entre la circonférence et la moitié du ra)on; ainsi le problème de la quadrature du cercle se réduit à trouver la circoulérence quand ou connaii le rayon , et pour cela , il laut conuailre le rapport exact de la circouftrence au diarnèlre.
Proposition XXI. — Etant données les surfaces d’un poly^jone régulier inscrit et d’un polygone semblable circonscrit, trouver les surlaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double.
Soit A C ( fig. 97 ) ce côté du polygone donné inscrit, E F, parallèle à AB , celui du polygone semblable circonscrit , C le centre du cercle; si ou tire la corde M A et les tangeiiles A P. BQ, la corde AM sera le côté du polygone inscrit d un nombre de côtés double , et P Q, double de P M, sera celui du polygone semblable circonscrit. Cela pose , comme la meme construction aura lieu dans les différents angles égaux à AC M, il suffit de considérer l’angle ACM, et les triangles qui y sont couleiius seront entre eux comme les polyirones entiers. Soit A la suiLice du polygone dont AB est un côté, C la surface du polygone semblable circonscrit dont EF est un côté, A' la surface du polygone dont AM est un côté et celle du polygone semblable circonscrit; A et B sont connus, il faut trouver A' et B'.
Les triangles A C D, A C M dont le sommet commun est en A, sont entre eux comme leurs bases CD, CM;daill‘Uis ces triangles sont comme les polygones A et A^ dont ils font partie, âouc A : A' : ; c d : E Àl ; les triangles E AM , C K M, dont le sommet commun est en M , sont entre eux comme leurs bases C A , CE. Ces mêmes triangles sont comme les polygones A et B dont ils font partie, donc A' : B !! C A ! C mais à cause des parallèles A D, M C, ou a G D : C Bl : I CA : CE; donc
A : A^ i: a' : B, d’où a' ^ ~A X r=5^A X B (i;.
A cause de la hauteur commune C M, les deux triangles G M P, CPE, domienlCPM : CPE :: PM : P E : mais la ligne CP
OKO.Mli'nilE.
G M E . . A . A -pA . ivlais C M PA on E C M P et CM E sont entre eux comuie les polygones n' et t) dont ils fo..t pm-lie,
2 A : A -f- A^t de là ou tire E'= — ^ ^
donc B' ; B
"f'”-; <■) O (>) «ont no„. „„i, 1.
c (ig y8) le eeoire du eercle. A B le eôié du carré ins-rit E F le cote du carre nroonscrlt; nous savons (jne AB ; BC ::V~
: I. Or B C est le rayon du cercle ; si on le prend pour nnirà rie longneur, d vendra A B = te côté du Zé cir-
conscrit E î' = 2 ; donc la surface du carré inscrit = 2 et eella du carre Circonserit=.A Maintenant si on fait A:=2 et B — i on
trouvera par le problème précédent A' = ..«Ait’, “
nombre qn. représentera l'octogone inscrit, et on aura aussi H' =: ^ ^
pour l’octogone circonscrit.
Connaissant ainsi les octogones insoritetcirconscrit.onirou-
do.ble-'‘'il “ P‘’'ySO‘ies d’un nombre de cotés
double, d faudra de nouveau supposer A= 2,8284271, et
3,3r37085, et ou aura A' = ^ 3,o6u674,
7,1825979. Ensuite ces polygones de i6
et B' =
cotés serviront à connaître ceux de 82.
Eu conlinuaut ainsi de suite, le nombre qui exprime la surtue eël «'■''“'‘S'’rit ira toujours eu dimiuLut , tandis
ÉiiPin I" I*'"| i® siirlarc du polygone inscrit ira en
igmentant ; le cercle est d’ailleurs toujours compris entre le» eux polygones; donc à mesure que les chiffres dës polv-ones Wuueut les n.èn.es, le ce.vle n.et dans sou exprS ëe I ffres comm.tns aux deux polygones; le nombre de chiffres . mmuns angmeule nécessairement avec le nombre des opérai .on,.^Lors,p,e le nombre <le, cotés des polygones es, égal a . , on trouve que !e polygone inscrit = 3 r 45926 et »o
u/'îa'rxë"r“ T' “ ; •>" de là
ue la suiface du cercle 3,145926. Or, nous avom vu que
GÉOMÉTRIE
la surface du cercle == C en désignant par C la eiicon-
férence, et par R le rayon ; mais , dans les calculs ci-dessns , nous avons supposé R = i ou c ; donc pour la surface du cercle
= 3,145926. Or, exprime le rapport de la circoufé-
rence au diamèîre. Donc 3,145926 , nombre qu’on représente ordinairement par 'tt , est le rapport approché de la circonfé-
rence au diamètre. Le rapport — =77 nous apprend que C
= 2 TT 5 c’est-à-dire que la circonféicnce est exprimée par le double du nombre 7-. Lorsque le rayon = i , on aura donc 2 TT R , lorsque le layon sera R. En substituant cette
valeur de C dans l’expression S
C X ÎV
rriiî nef lo
surface du cercle , oi) aura S — tt R , ce qiit veut dire cjiie la surface d’un cercle est égale au produit du carré de son rayon par le nombre constant tt, qui représente le rapport do !a circonférence au diamètre.
