LIVRE lïL

Dc§ plans, des angles solides et des polyèdres,

DEFINITIOISS.

' Une droite est dite perpendiculaire à un plan quand elle est perpendiculaire à toutes les droites qui jiassent par sou pied dans le pian. Réciproquement, quand une droite est perpcudiculaire à un plan , on dit que le plan est perpendiculaire à la droite.

Lorsqu’une droite et un plan ne peuvent pas se rencontrer, quelque prolongés qu’on les suppose, on dit i|ue la droite c»t parallèle au plan , ou que le plan est parallèle à la droite. Pareillement , deux plans sont dits parallèles quand ils ne se rén-| contrent pas , à quelque distance qu’on les prolonge.

GÉüMliTUIE,

de deii\ plans est îa quantité plus ou moins grande dont j!s sont écartés i’im de Tautre; celte quantité se mesure par 1 angle que tout entre elles les deux perpendiculaires menées dans cliacuii de ces plans an meme point de rintersecfion commune. Si cet angle est droit, les deux plans sont perpendiculaires cuire eux.

^ L’iiiigie solide est l’espace angulaire compris entre plusieurs pians (|ui SC rciimsseut en un même point ; il faut au moins trois plans pour former un angle solide.

Ou appelle solide polyèdre, ou simplement nolyèdre, tout solide termine par des plans ou des faces planes Ou appelle eu particulier tétraèdre le solide qui a quatre faces , hexaèdre celui qm en a six , etc.

Lintcrsecliou comuume de deux faces adjacentes d’un po- J} edrc S appelle àréte. *

On ajipelle polyèdre régulier celui dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux et dont tous les angles solides sont epux entre eux. he prisme est un solide compris sous plusieurs P ans parallélogrammes , terminés de part et d’autre par deux P aus po vgoiies égaux et parallèles. Un prisme est droit, lorsque les coles sont perpendiculaires aux plans des hases.

La hanieur du prisme est la distance des deux hases, ou la perpendicu aircahaissée d’un point de la hase supérieure sur le plan de îa base uilenenre.

^ Le prisme, quia pour hase un parallélogramme, a toutes .ses •aces pmallelogrammiques; il s’appelle paralièlipipède. Le parallelipipede est rectangle lorsque toutes ses faces sont des^ l ec-

Le cube, ou hexaèdre régulier , est nu paralièlipipède recangle compris sous carrés égaux.

l’espace compris entre les différents plans a ssnt par un meme point F, et par les différents côtés d’un 'olygoiie A B C D E (fig. 99).

ii?n4« fs P ; l’ensemble des

lu sonimèrs'm là S O abaissée

Vroposition 1. — J)oux lij;ues droites AB, AC ^0), qui se coupent, sont dans un meme plun, eu detcnnuiCiU la position.

408 GÈOMÉÏFJK.

En effet, ou peut concevoir un planoùse îrouvela ligne AB. Si j eusuiieoa iail i- orner ce plan autour de A B. jusqu'à ce qu’il passe par le C, alors la ligue A C , qui a deux de se^ pitinls A et |

C JôiiS ce i>i O , y sera tout entière , puisque, suivant la définiiioii du plaîi^dèseifiine iigfic droite a deux points rommunsa%'eeuu plan, elle V est tout entière. Dojfcia position dece plan est detenuinée par la seule eondition derenfeinier ces deux droites AB, AC.

Il résulte de là qu'un triangle détermine la position d’iin plan, ainsi que deux droites parallèles; ou en déduit aussi que l’interseelion de deux pians est une ligne droite ; car, si dans les points communs aux deux plans on en trouvait trois qui ne fussent pss en ligne droite, jes deux plans dont il s'agit, passant chacun par ces trois points, ne feraient qu'im seul et même plan, ce (jui est contre i’iiypotlièse.

’ Proposition IL — Si tme droite A B (fig 101) est perpeiidicLîiaire à deux droites B C, B D, qui passent par son pied dans un plan M N, elle sera perpendieulaire au plan MN.

Pour le démontrer, il faut prouver que la droite A B est perpendiculaire à toute autre droite B E menée par son pied dans ce plan.

A cet effet , prolongez A B de l’autre côté du plan , d’une quantité B H — A. B; menez la droite C D , qui coupe -es lignes B C, B E, B D, en C:, E et B; enfin t irez C A, D A, E A,C H , D H, E H.

L’angie A E C étant droit' par liyp»»thèse , il s'ensuit que B^C est perj)cîK]iculaire au milieu de A K; doue AC = H C. Par une raisüît seml)la!)ie , A B = H D ; les triaimies A C D, H C D, sont donc équilatéraux entre eux, et, par suite, l’angle AC E=H CE. Il résulte de là que les triangles A C E, H C E sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; dohe A E = H E. Les triangles A B E, H B E, sont doue é(juiiatéranx entre eux, et par conséqjient les angles A B E, HBE, soûl égaux ; or ces angles sont adjacents, donc ils sont droits; donc A B est perpendiculaire à B E.

On démontre] ait de même que AB est perpendiculaire à toute autre droite qui passe par son pied dans le plan ; donc elle est perpendiculaire au plan.

^ La perpendiculaire AB est plus courte qu’une oblique quelconque A E ; donc elle mesure la vraie distance du point A au plan M N.

GiîOMETlUii.

Par un point lî (iT-.ioa) donné sur un plan, oa ue peut élever •ju une seule perpendiculaire à ce plan; car si orf pouvait en élever ueux ennicnaul, suivant ces doux perpendiculaires , un plan dont 1 inicrsccdon avec le plan MN soit B C, alors les deux Lr pendiculaires dont ds’agit seraient perpendiculaires à la lit-né Br au meme point et dans un même plan ; ce qui est impossible-

Proposition ni. Si d’uiï uiêiae point on mène

une perpeadiculaire à un plan, et différentes obli-

ques a ce plan , les obliques dont les pieds seront

egalement éloignés du pied de la perpendiculaire seront égales (%. io3). ^ ^trutaue

^ ® perpendiculaire au plan MN, et A C, A D 4 r dillcreaies obliques parlant du même point A. Tirez R r R rV ’ B C'. Soit B C =B D. les triangles rectangles A B C A so^/t égaux ; donc A Ç = A D donc les obliques également écartée de lajerpendicnlaire sont égalés; Soit B C < BE. Sur B E, prenez

étant dans un meme plan avec la ligne AB, ou a AF <- AF on A C < AE; donc Poblique la pl«s”rapprocbée delaletpmidt

culaire est la plus courte. pt^xpeimi-

Ou déduit de là nn moyen d’abaisser une perpendiculaire du point A sur le pla.i M N. A cet effet . prenez une dro é ri",dë suffisamment longue, et, fixant une de scs extrémités au ro nï i’ ‘ irois (.oints A, D F j^r î

sont f ” 1 r 'iroites AcUÔ Àf'

sont des obliques égales; donc les (.oints C,D, F, sont é<'alem.-nt

eloigues du pied de la perpendiculaire demandée; donc le cemt e dlèuTffirl!’ de la perpen-

Propositio,i n . — Si une droite AB (üg. io4) e,f cjendiculatre à un plan MN; si du pied deieUe ot*e on mene B E peipendiculaire à la droite CD située dans le plan M N, et si on joint les points A et E, la droite A E qui est oblique à l’égard du „bn

sera perpendiculaire à C D, ««plan,

Prenez E C = DE, et tirez BC, B D, AD, A C ; puisque BE est

CÉOMÉTIUE.

perpendiculaire à CD, et queE C==ED, on a BC= BD; or de ce que A B est perpendiculaire au plau M N, et que B D=B C, il en résulte que l’oblique A C== AD; donc chacun des pointsAetE est également distant de Cet de D; donc AE est perpendiculaire à CD. On voit en même temps que CD est perpendiculaire au plan A B E , puisque C D est perpendiculaire à la fois à B E et à A E qui passent par son pied dans le plan.

Les deux lignes A B et D C ne se rencontrent pas, parce qu’elles ne sont pas situées dans un même plan : la plus courte distance de çes lignes est la droite BE, qui est à la fois perpendiculaire à AB et à DE. La distance BE est la plus courte entre ces deux lignes; car si enjoint deux autres points comme A et D, on aura AD >AE,AE >BE; donc à plus forte raison AD > B C.