DROITES PARALLÈLES DANS L’ESPACE

Propodtion V. — Par un point, on ne peut mener dans l’espace qu’une seule parallèle à une droite donnée.

Én effet , si par le point C (fig. io5 ) il y avait deux parallèles CD, CE, à la droite AB, chacune d’elles devrait être dans le plan conduit par la droUe AB et par le point C; donc , dans ce plan , deux parallèles à une droite passeraient par le même point sans se confondre , ce qui est impossible.

ao Si la ligne AP (fig. 106) est perpendiculaire au plan MN, toute ligne DE, parallèle à AP, sera perpendiculaire au plan M N.

Suivant les parallèles AP, DE, conduisez un plan dont l’intersection avec le plan M N sera PD ; dans le plan M N, menez BC perpendiculaire à P D, et joignez A D. En vertu de la proposition IV, AD est perpendiculaire à BC; donc BC est perpendiculaire aux deux droites PD et AD, et par suite au plan AP DE. Il suit de là que l’angle BD E est droit; mais à cause que DE est parallèleà AP, l’angle EDP est droit aussi; donc ED est perpendiculaire aux deux lignes PD, BC; donc elle est perpendiculaire au plan.

^ Réciproquement, deux droites AP, DE,perpendiculïivves au même plan sont parallèles,

GÉOMÉTRIE. {Il

Car, si DE n’élait pas parallèle à AP, soit DO une parallèle à A B ; d a près ce qui vient d’êlre dit, D O serait perpendiculaire au plan M N; donc il y aurait au point D deux perpendiculaires au plan M N , ce qui serait impossible.