ANGLE TRIÈDRE
Proposition X. — Dans un angle trièdre , chaque
âS, fll“ des ae«
AS^D = IVr r"* P'""’ P'a“ l’angle
ASC, tirez a volonté entre les arêtes S A et S B la droite
sn’ « r' ^ arête. Prenez SC =
MJ ; enfin , menez C A , C B. ‘ oc =*
doim’TÏ- ’ '? *"""§'** ASD, AS C sont égaux ,
aoncAU = AC;maisonaAD4-DB<^ iTw.
< CB. Ainsi dans les Iriangles SBD SBC Lt SD=SC DBe-m.^.a r ’ . J:'’ ®
Ajou.an.ASDd^n?„’a eti%“rdTf\
D S B , ou A S B < A S C + J S B ’ ^ ® ^ +
an£lT'i'’“‘"^T'r ‘ "" angle trièdre avec trois
e aux differents ~st i^rE ' de^l':^
416 GÉOMÉTRIE
VOUS formerez dans le polygone un nombre de triangles égal à celui . de ceux qui se rencontrent au sommets, et par conséquent la somme ' des angles des premiers est égale à celle des angles des derniers; cela ;; posé, ou a,d après ce qui aétéditpiusbant,0 AE-j-O A SAE -[-SAB, OB A-[-OB C< SBA+SBC, etc. La somme des angles ; contigus aux points A, B,C,D, etc., est donc moindre dans , les triangles du polygone que dans les triangles latéraux ; donc , par compensation, la somme des angles en S est moindre que celle des angles en O; or cette dernière 'somme égale quatre angles , droits; donc la somme des angles en S est moindre que quatre angles droits.
Proposition Xî. — Lorsque (^ux angles triedres | ont leurs faces égales cliacune à cliacune, les angles dièdres, compris par les faces égales , sont égaux ]
(fig- ^19)* j
Supposons qu’on ait ( üg. 1 1 9) S B = <7 ^ h ^ A S C = a .v c,
BSC==i^5c. i
Prenez S D = sà. Dans les plans ASC, B S G , a 5 c ^ h élevez sur les arêtes 5 A, S C, les perpendiculaires D E,D F, d.,f^
prenez S O >S D, tirez G H qui coupe S A en H et D E en K ; tirez 1 GI, qui coupe S B en I , et DF en L ; joignez I H et KL. Prenez' encore les distances s g S G , ^ ^ = SH, si = S 1? et achevez ! les constructions indiquées sur la figure.
Le triangle GHS est égal à ghs, GIS ügis, HSI khsî,\
d’où il résulte que les triangles G H I, ^ , sont équilatèraux| entre eux; donc l’angle H G I = A è L’égalité du premieil' triangle donne aussi l’angle H G ^ = hg s et I G S = d ail-J leurs par construction , D G=dg; donc les triangles reclan-J gles DGK, DGL, sont respectivement égaux aux triangles recj tangles dg dgl. De là on conclut GK =;§^A, G L = ^/;don^ les triangles GKL, ghl, ont un angle égal compris entr^ côtés égaux; donc KL= /c /; mais l’égalité des mêmes triangles rectangles donne encore D K = ^ A-, D L== donc les triangles DKL, t^A/ , sont égaux; donc enüii faugle KDL — kdl\ c’est-à-dire que les faces égales contiennent des angles dièdres
égaux. . , .
Deux angles irièdres sont égaux lorsqu’ils ont leurs tacesega-.v
les, cliacune à chacune, et semblablement disposées. ;;
OKOiMKTRÏE. U7
Soit (fig. irg) ASB= asb, ASC = as c, V>SC = bsc; il pst toujours possible de placer l’angle solide 5 dans l’angle solide S, de manière que la face a s b coïncide avec son égale A S B , et que l’aréte sc soit du même côté que S C, par rapport à celte face. Par hypothèse, les faces doivent cire semblablement placées; et celle condition signifie qu’après les superpositions dont ou vient de parler, les faces a s bscy doivent avoir les arêtes S A , S B , communes avec les faces , A S G B S C qui leur sont respectivenient égales; mais d’après ce qui a été dit plus haut, les inclinaisons de asc et de b s e sur la face a s by sont égales inclinaisons de ASC et de BS G sur AS B; donc les plans w s c, b s c , doivent respectivement coïncider avec ASC, B tSG ; donc les angles trièdres sont égaux.
PropositLon XII. — Deux prismes sont égaux lorsqu’ils ont un angle solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun , et semblablement placés (fig. I‘20).
Soit la base ABCDE = a c d e y\si face ABFG = a^/^, et la face làCGH— b c g h. Je dis que le prisme AB CI est égal au prisme rt
Car soit posée la base ABCDE sur son égale nb c d e ^ ces deux bases coïncideront; mais les trois angles plans qui forment l’angle solide B sont égaux aux trois angles plans qui forment l angle solide b y chacun à chacnn ; de plus, les angles sont semblablement placés; donc les angles solides B et ^ sont égaux, et, par conséquent, le côté B G tombera sur son égal b g. On voit aussi qu’à cause des parallélogrammes égaux A B G F , ^ ^ &/» le côté G F tombera sur son égal g /, et pareillement GH sur g h ; donc la base supérieure F G H I K. coïnci- .dera entièrement avec son égale /^ /^ ï X-, et les deux solides seront confondus en un seul, puisqu'ils auront les mêmes sommets.
Il résulte delà que deux prismes droits , qui ont des bases égales et des hauteurs égales, sont égaux.
Hans tout pisme ABC T (fig. 121) les sections MN OP Q, RSXYZ, faites par des plans parallèles sont des polygones égaux ; car les côtés MN, RS , sont parallèles, comme étant les intersections de deux plans parallèles par une troisième; ces
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mêmes cotés sont compris entre les parallèles R M , SN ; donc MN = RS.
Par une raison semblable, les côtés NO, OP, etc., sont égaux respectivement aux côtésSX, XY, etc. D’ailleurs, les côtés égaux étant en même temps parallèles, il s’ensuit que les angles M N O , N O X , etc. , de la première section , sont égaux aux angles, R SX, S X Y, etc., de la seconde; donc les deux sections sont des polygones égaux.
Proposition XIII. — Les deux prismes triangulaires ABDHEF, BCDFGH, dans lesquels se décompose le pai allélipipède A G , sont équivalents entre eux (fig. 122).
Par les sommets RAF, menez perpendiculairement au côté RF,lesplansBMNO, FI Y K. Les sections RM NO, FIVK, seront des parallélogrammes égaux. Ces sections sont égales parce qu’elles sont faites par des plans perpendiculaires à une même droite, et par conséquent parallèles; elles sont des parallélogrammes égaux , parce que deux côtés opposés d une meme section M R, N O, sont les intersections de deux plans parallèles, A R F F, D C G H, par un même plan.
Par une raison semblable, la figure R MI F est un parallélogramuie, ainsi que les autres figures latérales du nouveau solide ; donc ce solide est un prisme, et ce prisme est droit puisque le côté R F est perpendiculaire au plan de la base ; cela posé, si par leplanRFVN on divise le prisme droit en deux prismes triangulaires MNBYIF et RNOFVK, jedis que le prisme triangulaire oblique ARDEFH sera équivalent au prisme triangulaire droit MNR IF V.
En effet, ces deux prismes ayant une partie commune ARD YI F , il suffira de prouver que les parties restantes, savoir les solides RMADN, FIEHY, sont équivalentes entre elles.
Or, à cause des parallélogrammes A RF E, M R IF, les côtés E A, IM, égaux à leur parallèle R F, sont égaux entre eux ; ainsi, en ôtant la partie commune AI, il restera AM== lE; on prouvera de meme queDN =H V. Maintenant pour opérer la super-, position des deux solides RMADN, FIEHY, plaçons la base FIY sur son égale RMN; alors ces deux solides coïncideront ; donc le prisme oblique R AD F EH est égal au prisme droit
«JÉOJIÉTRIE.
î H r ?!! sembla!, lement que le prisme oblique
!r»L V‘ 1 7 ‘1’““ «'ême paraüélo-
équivIeL.s°eu LT ‘"«“S"'»'- «'^'iqnes sont aussi
P>oyjos/t/o» XIV. — Si deux paraüélipipèdes A G , A L , ont une base commune A Jî G D , et que leurs b^es supérieures soient comprises dans un même plan et entre les mêmes parallèles, ces deux parïï!
leJipipedes seront équivalents (fig. i23). ^
A "fïvrj E fiï'KTrrEii'ïp'.; "•
S ensuit que les andes solide*; F t? ' «imposes, u
si on pose le prisme A EM sur le prisme BFT'^et'd’'r*Tr
.or :
rnm I ^ ^ ^ ^ ^ déterminent Je pi isme A E M
comme la base BFK et Ti'r' ^ f • ^cpiismeAJiM,
ces prismes sont ^ ^ î F (> déterminent le prisme B FL.
le prisme AEM ««•'de total on retranche
r piisme aüM, il restera le parallélipinède ATI - <.i .ta.
pipèilVA ® Paralléli-
eI.angé^e!“ur;;;tîréIioi.S'' P«“‘
même hauteur et une ha équivalent, qm aura une
convertir la e d,ï !lide I' pour cela de
'es arêtes p'rTendicul et de mener
!a base supérieure du mnllêr'^*' a '® ''encontre de
ûusi un Bouveau naial'lêf ' e^ on déterminera
OUI eau paiallelipipede rectangle qui sera équivalent
GK03lÉTKlîi.
au parallélipipède obUtiue , comme ayant meme base et meme hauteur.
Proposition XV. — Deux parailélipii^des rectanf^les AG, AL, qui ont même base A B C D , sont entre eux comme leurs hauteurs (rig. i .*4 ;•
supposons d’abord que la hauteur AF AI soient enUe elles
-F rAr^ci:- rL';L?;oïsTdtL::.
.V ràùel! .iS et le solide AL en contiendra «. Mais ?ons ce^s petits paralléli’pipèdes seront comme apnt meme
base et même hanteur- on aura ”
Mais par hy^on a^
«Tas de cm on ferait commeona indiqué
na\ai \ -srv''liv et on trouverait que les pa-
Sélipijèdrqtd ont même base sont toujours entre eux comme
**”ll*n’est pasplnsdiflicile de faire voir que deux parallélipipedes rectongîes qui ont mô.ne hauteur, sont entre eux comn.e lenrs
*''*En effet, soient les deux paralléiipipèdes AG, AK, qui ont même hauteur AE, je dis qu’ils sont entre eux comme tur^
1 Anm AM N O; avant place les deux soUues i un a
