DES PYRAMIDES

Proposition XVI. — Si une pyramide S A B C 1)E est coupée par un plan a b cl... parallèle à sa base, les arctes ainsi que la hauteur de la. pyramide seront

divisées proportionnellement en a, 6, c, d, eeto et de plus la section cd. ..sera un polygone semblable ci Ja Base A 13 CD L (fig. 126).

En effet lesplans A hC,abc, étaiitparallèles, leursintersccliotiS

GÉOMÉTRtK*

A'B, par un troisième plan SAB, seront parallèles; donc les triangles S AB, s a b, sont semblables, et on a la proportion SA :

J :: S B : ^ On aurait de meme SB : s b :: S C : ^ c, et ainsi de suite, La hauteur S O est coupée dans la meme proportion au point car G O et ^ o sont parallèles, et on a ainsi so : 50 :: SB :

A cause des parallèles AB, ab,lS C, b c, il vient l’angle ABC ^ab c , BCD = ^6<5?, ainsi de siiite ; de plus , à cause des triangles semblables S AcB,5«^,ona: AB! a b :: SB:S^, et à cause des triangles semblables SBC,S^c, on a aussi S B : S ^ ! : B C \ b c ; donc A B : « ^ ! ! B C : è c ; on aurait de même B C : b c \ \ CD; c ainsi de suite ; donc la section a ^ o est semblable à la base A B C D , elc.

Soit S G H M une pyramide qui ait même sommet que la pyramide S A B G D , et dont la base G H M soit dans le plan de la base A B C D E. Si on coupe ces pyramides par un plan parallèle au plan des bases, et qu’il en résulte les sections abc de, g h m , les sections ahcdetXghm seront entre elles comme les bases A B C D E , GHM.

En effet , les polygones ABCDE, ab c de, étant semblables , leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues AB, a b', mais AB; ^i^::SA:S«; donc ABCDE \ abc d e ; ; S A^ iSa^, Par la même raison , OKM : g h m ; ; s G 2 : s g '^ *, mais on \ aussi : S A : S <2 ; ; S G ^ ; s g'^; donc A B C D E : fl ^ c e ; ; G H M : ^ A m. Si les bases ABCDE, GHM, étaient équivalentes, les sections ^ h m, ah c d, seraient aussi équivalentes.

Proposition XVII. — Deux pyramides triangulaires qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales, sont équivalentes (fig, 127).

Soient SABC, s abc (fig. 127), les deux pyramides , dont les bases A B C, a c , que nous supposons placées sur un même plan, sont équivalentes, et qui ont même hauteur. Si ces pyramides ne sont pas équivalentes, soit s abc la plus petite , et soit A H la hauteur d’un prisme, qui, étant construit sur la base ABC, serait égal à leur différence.

Divisez la hauteur commune A V eu parties égales plus petites

CIÏOMÉTRIE. ^23

nlTnc'\>”’.r.‘ P*'"’ f®' divisions faites passer des

P . parallèles au plan des bases; les sections faites par chacun

que i) EF* '«'•«■'t équivalentes, telles

ar,'ir’l ’ !>'*"><“* extérieurs qui aient pour