DU CYLINDRE

Proposition I. — La solidité du cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Pour le prouver , nous allons employer une méthode analogue à celle que nous avons suivie pour trouver la surface du cercle.

Si l’on imagine que l’on ait circonscrit un prisme droit au cylindre, et que l’on désigne par P la surface de la base de ce prisme, par Y son volume, par B la base du cylindre, et par S sa solidité , on a évidemment : Y > S, et P > B. Or nous savons (prop. XYIir , liv. II) que la différence entre la surface du polygone circonscrit et celle du cercle peut devenir aussi petite que l’on veut, en multipliant convenablement le nombre des côtés du polygone. On peut donc poser P == B -}- oc; a étant susceptible de passer par tous les états de grandeur; mais à mesure que le polygone se rapproche du cercle, à mesure aussi le volume du prisme circonscrit s’approche du volume du cylindre; on aui’a donc Y = S — }— ^ étant un variable ; nous savons

d'ailleurs que la solidité du prisme est égale au produit de

GIÎOMÉTRIE.

sa base par sa hauteur, ce qui douiie V = p H ; H étant la hauteur du prisme et du cylindre, mettant dans cette équation les valets de V et de P, il viendra S + <î = H (B + „), on S r» n a H à; et enfin, eu raisonnant comme dans ia proposition XVIII, livre II, il vient S = B H, ^ ^

Or B est la base du cylindre qui est un cercle. Si on en désigne le rayon par R , on aura B = tt R^ ; et par suite , S == tt R^ H.

Proposition II. — La surface convexe d’un cylindre est égalé à la circonférence de sa hase multipliée par sa hauteur. ^

En effet, soit S cette surface; désignons par S' la surface du prisme droit circonscrit, dont le périmètre de la base est P et H la hauteur. Nous pourrons encore poser S' := S + a , et P = C -f- G désignant la circonférence de la base du cylindre • mais la surface convexe du prisme droit est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur; puisque cette surface est la somme des rectangles dont elle est composée, et que la somme de ces rectangles est égale au périmètre de la base du prisme multiplie par sa hauteur; on a donc S' = P H; remplaçant S' et P par leurs valeurs S + a, et C + <î, il vient : S + ^ = H (G + êj; d'où S — G X H = (î H — oc; donc enfin S = G X H. Si R désigne le rayon de la base du cylindre, on aura C = 2 TT R; d’ou S == 2 TT R H; TT désignant comme plus haut le rapport approché de la circoniereiice au diamètre.

DU CONE.

} wposition III. — La solidité d’un cône est égale au pioduit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Imaginons un cône dont la base est B, la hauteur H, etV je volume , et supposons qu’on ait circonscrit un polygone régiiher a la hase du cône , dont la surface soit S.

Si on joint tous les sommets de ce polygone au sommet du cône, on obtiendra une pyramide régulière circonscrite, dont

je des gne le volume par Y'. On aura évidemment Y' = r

~ S H (r). Or on peut rendre la différence, entre la surface du

polygone et celle du cercle qui sert de base au cône, aussi petite que Ton veut, en multipliant les côtés de ce polygone; on peut donc poser S = B -f- a , a étant une quaufilé susceptible de devenir moindre que toute grandeur donnée; mais à mesure que le polygone tend à s’approcher de la surface du cercle, à mesure aussi le volume Y' de la pyramide circonscrite tend à s’approcher du volume Y du cône. On aura doue Y' = Y-)-^î substituant les valeurs de Y' et de ê dans (i), il vient Y

3=^ -U ( B 4- a ) ; d’où cî = - B H.

Or, si on désigne par R le rayon de la base du cône, on

aura B = 'TrR2 et Y= - '^r xi.

On peut conclure de là que si un triangle BAC (fig. i32) et un rectangle B G E F de meme base et de meme hauteur tournent simultanément autour de la base commune B C , le solide décrit par la révolution du triangle BAC, sera le tiers du solide décrit par la révolution du rectangle B C E F.

Car si on abaisse la perpendiculaire A D , le cône décrit par le triangle A B D est le tiers du cylindre décrit par le rectangle A F B D ; et de meme, le cône décrit par le triangle A D C est le tiers du cylindre décrit par le rectangle A E C D. Donc la somme des deux cônes, ou le solide décrit par ABC, est le tiers du cylindre décrit par B CEF.

Proposition IV. — La surface convexe d’un cône est égalé à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté (fig. i33).

En effet, soit C la circonférence du cône, L son côté, et S sa surface.

Soit P le périmètre d’un polygone régulier circonscrit , et S' la surface de la pyramide régulière, qu’on obtient en joignant les sommets du polygone an sommet du cône; le cône sera ainsi enveloppé dans une pyramide. Cette pyramide se compose de plusieurs triangles tels que SA (i, S CD, qui sont tous égaux comnre ayant une base égale, et une même hauteur S I qui est le côté du cône ; donc la surface de la pyramide sera égale au

GÉOMÉTRIE. 429

périmèti'ft de sa l)ase, multipliée parle coté S I du cône, que

nous avons désignée par L. On aura donc S' == - L P (a).

Mais on peut poser S' =S-f-a, et P = G (î volume

qui substitué dans (2), donnent S a. = - L (G (î), et

enfin S = - G L. Or G == 2 Il , si Pi désigne le rayon de la

base du cône; on a donc S = 77 Pi L.