SOLIDITÉ DU TRONC DE GONE

Proposition V. — Le cône tronqué A D EB , dont AO, DP, sont les rayons des bases , et P O la hauteur, a pour mesure ^ tt X O P (A O" t) P^

AO xDP) (fig. i34)!

Soit FGH (fig. i34) une pyramide triangulaire de meme hauteur que le cône S A ]>, et dont la base FGH soit équivalente à la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors les sommets S et F seront à égale distance du plan des bases ; et le plan E P D prolongé, fera dans la pyramide la section I K L. Or cette section est équivalente à la base E PD; car les bases A P>, DE, sont entre elles comme les carrés des rayons AO, DP, ou comme les carrés des bauteurs S O , SP; les triangles FGH, I K L, sont entre eux comme les carrés de ces mêmes hauteurs; donc les cercles sont entre eux comme les triangles FGH, I K L; mais, par bypolhcse , le triangle FGH est équivalent au cercle A B ; donc le triangle I K L est équivalent au cercle D E.

Maintenant la base A B X “ S O = solidité du cône SAB;

et la baie FGH X solidité de la pyramide T F G H ;

donc la solidité de la pyramide est égale à celle du cône , h cause de l’égalité des bases. Par une raison semblable, la petite pyramide

^50 GÉOMÉTRIE

T K I L == solidité du petit cône S D E ; donc le tronc de cône est équivalent au tronc de pyramide. Mais la hase F G H, équivalente au cercle , dont le rayon est a o , a pour mesure A ; de même, la base I K L = tt D et la moyenne proportionnelle , entre tt A 6^ et tt D P^ , est ^ X A O X D P* Donc la

solidité du tronc de cône a pour mesure - O p ( A D