SURFACE CONCAVE DU TRONC DE CONE

Proposition VI. — La surface convexe du tronc de cône A D E B est égale à son côté A D multiplié par la demi-somme de ses bases A B , D E (fig. i35).

Dans le plan SAB, qui passe par l’axe S O , menez perpendiculairement à S A la ligne A F , égale à la circonférence qui a pour rayon A O ; joignez S F, et menez D H, parallèle à A F, A cause des triangles semblables SAO, SDC, ona:AO: DC::SA:SD; et à cause des triangles semblables S A F, SD H, on a: AF : DH :: SA : SD; donc AF : DH :: AO : DC, ou comme cire. A O : cire. DO; mais, par construction , A F == circonférence A O ; donc D H = circonférence D C. Cela posé , le triangle SCF, qui a pour mesure A F X

-SA, est égal à la surface du cône SAB, qui a pour mesure

circonférence A O X - S A. Par une raison semblable, le triangle

s D H est égal à la surface du cône S D E ; donc la surface du tronc A D E B est égaie à celle du trapèze A D H F. Celle-ci a (AF-fDH)

pour mesure A D -| . Donc la surface du tronc

de cône A D C B est égale à son côté A D , multiplié par la demisomme des circonférences de ses deux bases.

Si par le point I, milieu de AD, on mène I KL, parallèle à AB, et I M , parallèle à AF, on démontrera, comme cidessus , que I M = circonférence ï K. Mais le trapèze A D H F = AD X IM = ADX circonférence I K. Donc on peut dire

GÉOMÉTRIE

encore que la surface d’un tronc de cône est égale à son côté, multiplié par la circonférence d’une seclion faite à égale distance des deux bases.

Il résulte de là que si une ligne A D (fig. i36), située tout entière d’un meme côté de la ligne O C, fait une révolution autour de O C, la surface décrite par A D aura pour mesure A D X circonférence I K. , ou 2 TT I K A D ; les lignes A O, D C , I K, étant des perpendiculaires abaissées des extrémités, et du milieu de la ligne A D sur l’axe O G.

D’après cela , il est facile de trouver la surface engendrée par une portion de polygone régulier A B C D E , qui tourne autour d’un axe fixe F G ( lig. 1 3 7 ).

En effet , le point I étant le milieu de A B , et I K étant Une perpendiculaire sur i’axe F G , la surface décrite par A B aura pour mesure AB X circonférence IK; menez AV, parallèle à l’axe, jusqu’à la reneontre en V de B N, et joignez O I; les deux triangles A B V , O I K , auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun ; donc on a : A B : A V : ; O I : I K , ou ; : circonférence O T : circonférence I K ; donc A B X circonférence IK=MN X circonférence O I. D’où l’on voit que la surface décrite par A B est égale à sa hauteur M N, multipliée par la circonférence du cercle inscrit; de même, la surface décrite par B C = N P X circonférence O I ; donc la surface décrite par la portion du polygone A B C a pour mesure (M N -f- N P ) X circonférence O I, ou M P X circonférence O I. (01 étant le rayon du cercle inscrit), la surface entière, décrite par la révolution du demi polygone F A B C G , autour de F G , aura pour mesure F G X circonférence O I.