SURFACE DE LA ZONE ET DE LA SPHÈRE

Proposition VII. — La surface d’une zone sphérique quelconque est égale à la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d’un grand cercle (fig. i38).

Soit B D A l’arc générateur de la zone à une base, dont la hauteur est B H.

Imaginons qu’on ait circonscrit une portion du polygone régulier E F G à l’arc B D A; il est toujours possible de multiplier

GÉOMÉTilîK.

le nombre des colés du polygoae de manière que son périmètre s’approche de la circonférence autant qu’on veut, et alors aussi G M tend à devenir égal à B H , ou bien G II — B H peut devenir aussi petit que l’on veut; car puisque E A peut devenir aussi petit que l’on vent ^ et que E A ou B G ^ M H ; MH peut lui-mème passer par tous les états de grandeur ; or on a ; B G — M H = B G + B M — M B — B H = G M - B H ; et puisque B G — M H peut devenir infiniment petit, il en résulte que GM — B H peut le devenir aussi.

Maintenant, remarquons que la surf ce engendrée par la portion du polygone régulier autour do G M , est égale à la circonférence OI X G-M. Désignant par S' celte surface, et par S celle de la zone, on a ;

Valeurs qui , substituées dans S' ~ cire. O I X GM, donnent S a == circonférence O I ( B H -f- ^ ) ; «’oè S ~ B H X circonférence O I ; ce qui veut dire que la surface de la zone est égale à la circonférence d’un grand cercle , multiplié par sa hauteur. Si on désigne par R le rayon O î, circonféi ence O 1= 2 TT R , et on a : S = 2 'îT R X ’l-

Si Tare B D A augmentait jusqu’à devenir égal à la demi-circonférence B A F, la surface engendrée par cet arc serait celle de la sphère; or celte surface n est autre cho^e que celle d’une zone, dont la hauteur est égale au diamètre; on aura donc pour la surface de la sphère Texpression de ia circonférence O I X B F; et en remarquant que B F — 2 R, et circonférence OI == 2 TT R. La surface de la sphère s’exprisne par 4 -rc R'^* Celle valeur est celle de quatre grands cci clcs, dont le rayon est R. Ainsi la surface de la sphère est égale à celle de <[ualre grands cercles qui auraient le même rayen qu elle.

S’il s’agissait de trouver la surface d’une zone à deux bases engendrées par F H autour de O Q (fig. l 'ig) , la siuface de la zone décrite par l’arc F H est la différence entre les surfaces des zones décrites par I) H et D F; or la zone décrite par D H a pour mesure 2 tt R D Q , et la surface de la zone , décrite par F D , a pour mesure 2 tt R D O ; la différence de ces quantités est 2 TT R ( D Q — DO), ou 2 tt R X O Q ; et l’on voit que la îiurl’ace de la zone à deux bases est égale à la circonférence d’un grand cercle multiplié par sa hauteur.

GÉOMÉTRIË. I5S

Proposition VIIl. — Le triangle CAB étant supposé faire une révolution autour de la ligne C D , menée comme on voudra , hors du triangle par son/ sommet , trouver la mesure du solide ainsi engendré (fig. i4o).

Prolongez le côté AB jusqu’à ce qu’il rencontre l’axe CD MD; des points A et B, abaissez sur l’axe les perpendiculaires AM, B N.

Le solide décrit par le triangle C A D a pour mesure

- TT A M^ C D ; le solide décrit par le triangle C B D A a pour

mesure - tt B A2 C D; donc la différence de ces solides, ou le

solide décrit par ABC aura pour mesure j ( A M ^

B N^) .X C D. Ou peut donner à cette expression une autre forme : du point I, milieu de A B, menez I K perpendiculaire à A C, et par le point B, menez B O parallèle à CD, 011 aura AM-|-BN = 2IK, AM — BN==AO; donc A M ^ — B = 2 I K X A O. La mesure du solide dont il s’agit est donc

exprimée aussi par I K X A O X C D ; mais si on abaisse

C P perpendiculaire sur k. B prolongé , les triangles A B O C P D, seront semblables, et doniieront A O : C P AB * C D d’où résulie AOXCD = CPXAB; d’ailleuiV C P X A B est le double de Taire du triangle ABC; ainsi on a ; A O/ X C D = 2 A B C; donc le .solide décrit par le triangle a aussi

pour mesure - A B C X I K; ou, ce qui est la meme chose :

A B C X - circonférence I K ; donc le solide décrit par la révolution du triangle A B C a pour mesure Taire de ce triangle multiplié par les - de la circonférence que décrit le point I, milieu de sa base.

Si le côté A C C B, la ligne C I sera perpendiculaire a

géométrie.

A B ; l’aire ABC sera égale àABX - CI; et la solidité ^ n

X ABC X IK deviendra i X A B X I K X C 1. Maislo^

triangles A B O , G I K , sont semblables , et donnent la proportion A B : BO ou M N :: G I : I K; donc AB M N X G I; donc le solide décrit par le inangle isocele ALC

aura pour mesure - X M ^ X C

Si on imaginequ’nnsecteurpolygonal ABC (fig. i4i)touruea

tour de l’axe E D , ce secteur étant la somme des triangles isocèles A O R , A O B , etc., et chacun de ces triangles isocèles engendrant un solide qui a pour mesure - 1% multiplie par la

distance comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissees des points A B C D , il résulte que le secteur lui-meme engendreia

un solide dont l’expression est - ir O X E D.

Proposition IX. — Tout secteur sphérique a pour mesure la zone qui lui sert de base multipUee par îe tiers du rayon (fig. i38).

Soit BOA (fig. 1 38) le secteur circulaire qui, par sa révolotion autour de B H, engendre le secteur sphérique. Si on circonscrit une portion du polygone régulier a A B , le souae

engendré par la surface polygonale sera égal à - « O X GrM.

Si on désigne par S le solide du secteur sphérique, et pat S' celle du solide engendré par la surface du polygone , on aura

S» î O 12 Ct M ; mais on peut poser S' = S + « » et G M 3 ^

c=B H + <5, ce qui donne S -f- a = (B H -f- X

et de là on tire , en remarquant que a et 5 sont variables,

- w 0 12 B H; expression qni revient à5=«^wOIBHX

GÉOMÉTRIE

O I. Or celte dernière expression se compose de deux parties distinctes ; l’uiie 2 -rr O I X B H , qui est la surface de la zone

qui seiait engendrée par Tare B A , et l’autre - O I, qui est le

tiers du rayon ; on peut donc dire que le secteur sphérique a

pour mesure la zone qui lui sert de base multipliée par le - du

rayon. Eu appelant R le rayon O I , il vient S ==: ~ ir B H.

Si l’on suppose maintenant que le secteur circulaire augmente juscju’à devenir égal au demi-cercle, alors le solide engendré est une sphère entière; la zone est alors la surface de la sphère,

et il vient S=-irR2 X 2R=-7rR2 X - R; c’est-à-dire

que la solidité de la sphère est égale à sa surface, multipliée par le tiers du rayon ; ce qui se met ordinairement sous la forme

R'^ , ou bien en appelant D le diamètre , on a R == — ; d’où

R^ = — , et alors l’expression de la sphère devient - ^ — = S 3 8

Proposition X. — Le segment circulaire B M D étant supposé faire une révolution autour d^un diamètre extérieur à ce segment , trouver la valeur du solide engendré (fig. i4‘^)-

Abaissez sur Taxe les perpendiculaires B E, D F, du centre G ; menez C I perpendiculaire sur la corde B D, tirez les rayons G B, CD.

Le solide décrit par le secteur B G A = - G A E; le

solide décrit par le secteur D C A == - -jc G B^ X AF; donc la dilférence de ces deux solides , ou le solide décrit par le secteur

GÉOMÉTRIE

D G B = 2 TT C ( A F — A E ) , ou bien DCB==~7rCB2 3 3

X E F J mais le solide, décrit sur le triangle isocèle D G B , a

pour mesure - tt G X E F ; donc la différence entre - G 3 ^

E F et - G X E F est la mesure du solide engendré sur le

segment circulaire D M B qui est égal à

-^EF (b’g-^