TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE
]NrOTIONS TRÉLIMINAIRES .
Considérations sur le triante sphérique.
On appelle pôle d’un cercle de la spbère un point de la surface également éloigné de tous les points Je la circonférence de ce cercle; on démontre que tout cercle tracé sur la sphère a deux pôles.
Un triangle sphérique est une partie de la surface de la spbère, composée par (rois arcs de grands cercles ; ces arcs, (pû s’appellent les côtés du triangle, sont toujours siqiposés pins petits que la demi-ciî conférence ; les angles que leurs plans font entre eux sont les angles du triangle.
Un triangle sphérique prend le iiorn de rectangle isocèle , équilatéral dans les memes cas qu’un tr'angle reclii’gne.
Un polygone sphéricpjet si une partie de la surface terminée par plusieurs arcs de grands cercles.
Une pyramide spherique est la partie du solide de la sphère ,
TRIGOiXOMÉTRTE.
comprise entre les plans d’un angle solide, dont le sommet est au cenire; la base de la pyramide est le polygone sphérique intercepté par les mêmes plans.
Proposition I. — Dans tout triangle spliérique un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.
Cela résulte de ce que, dans un angle trièdre, un angle plan est plus petit que la somme des deux autres.
Proposition II. — La somme des trois côtés d’un triangle sphérique est moindre que la circonférence d’un grand cercle.
Car la somme des trois angles plans d’un tétraèdre est moindre que quatre droits.
Proposition III. — Si Ton mène un diamètre perpendiculaire au plan d’un cercle contenu sur la sphère ; les extrémités de ce diamètre seront les pôles de ce cercle.
Car si on tait passer un plan par ce diamètre, ce plan coupera le cercle en deux points A, B, et la sphère suivant un cercle ayant pour diamètre le diamètre de la sphère ; or, on voit que si ! on fait tourner ce cercle autour du diamètre que l’*on considère, il décrira la surface de la sphère, tandis que les deux points A et B décriront le cercle de section considéré en premier heu.
Proposition IV . — Tout plan perpendiculaire à 1 extrémité d’un rayon est tangent à la sphère.
Car s’il n’était pas taiigcnli! rencoîjtreraitla sphère en un autre point. Donc l’oblique et la perpen üculaire menées d’nu même point à un même plan seraient égales, ce qui est impossible.
Proposition V . — L’anglj que font entre eux deux
TIUGONOMÉTRIK.
arcs de grands cercles (on entend par grand cercle celui dont le plan passe par le centre de la sphère) est égal à l’angle formé par les deux tangentes de ces arcs au sommet de l’arc.
Car nous avons défini fangle d’un triangle sjdiérique celui formé par les deux plans des deux côtés ; or, l’angle de deux pians se mesure par l’angle foi mé par deux perpendiculaires élevées à la commune intersection, et ici les deux tangentes au sommet de i’are sont dans ce cas.
Proposition VI. — Etant donné le triangle A B G ; si, des points A, B, G, comme pôles, on décrit les arcs E F , F D , D E , cpii forment le triangle DEF; réciproquement les trois points D , E, F, seront les pôles des côtés B G , A G , A B (fig. 6).
Car le point A étant le pôle de l’arc E F, la distance A E est un quadrant , le point C étant le pôle de l’arc DE, la distance GE est pareillement un cpiadrant, donc le point E est éloigné d’un quadrant de cltacun des ponils A et C, donc il est le pôle de l’arc AC. On démontrera de même que E est le pôle de l'arc BC, et F celui de l’arc AB.
Donc le triangle ABC peut cire décrit par le moyen deDEF, comme DEF par le moyen de ABC.
ProposilionYll. — Les mêmes choses étant posées que dans la proposition précédente , chaque angle de l’im des triangles A B G , D E F , aura pour mesure la demi - circonférence moins le côté opposé dans l’autre triangle.
Soient prolongés, s’il est nécessaire, les côtés AB, AC, jusqu’à la rencontre de EF en G et H; puisque le point A est le pôle de l’arc GH, l’angle A aura pour mesure l’arc GH ; mais l’arc E H est un quadrant ainsi que G F, puisque A E est le pôle de A H , et F le pôle de AG. D.iucEH -j- demi-circonfé-
rence ; or, E H -j- G F est la même chose que EF 4- G M, donc
TRIGONOMÉTRIE
4ùS
l’arc GH, qui mesure l’angle A, est égal à une demi-circonféreiice moins le côté EF. De même l’angle B aura pour mesure
- cire. — D F, et l’angle G , - cire. — DE.
Cette propriété doit être réciproque entre les deux triangles , puisqu’ils se décrivent de la même manière, l’un par le moyen de l’autre. Aiusi on trouvera que les angles D, E,F, du triangle
DEF ont pour mesure respectivement - cire. — B G , -circ. — AG,
- circ. — AB; en effet, l’angle D, par exemple, a pour mesure
l’arc M I. Or, MI -(-BC==MC-j-BI=- circ. ; donc l’arc
M 1, mesure de rangleD=- circ. — B G, et ainsi des autresangles.
Tes deux triangles ABC, DE F, s’appellent triangles polaires.
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE (i).
Relations entre les angles et les cotés d'un triangle sphérique.
Soit O ffig. 7 ) le centre de la sphère sur laquelle est situé le triao le ABC , je mène les rayons OA, O B, OC; j’élève sur O A les perpendiculaires A D et a E, l’uue dans le plan O A B , l’autre dans le plan O AC, et je suppose qu’elles rencontrent en D et E les rayons O B et OC prolongés ; l’angle D A E est égal à l’angle A du triangle sphérique, et en prenant le rayon OA pour unité, on aura AD— lang c , O D = sec c
A E = tang b» O E = sec ^
Les triangles D AE, DO E, donnent, d’après les formules dt la trigonométrie rectiligne , - .
AD^ + ÂÏÊ^ — 2 AD. AE cosA= d¥^
OD^* + OE^ — 2OD. OE cosa = DË^
(1) Partie non exigée pour le baccalauréat ès sciences physi-
qiiefc.
TRIGONOMETRIE.
Retranchant la seconde de la première, et appelant unie rayon de la sphère, il vient
I — sec b sec c cos a tang h lang c cos A= o
I sin b I
mais sec h = ^ tang h — , sec c= .
donc on a I t —
cos b cos a
cos b cos c
sin h sin c cos A
\ COS h cos c cos h cos c
(i) cos a = cos h cos c -j- sin h sin e cos A
Telle est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique.
Il est visible que l’on pourrait avoir par une construction semblable les deux autres formules
^ (2^ cos h = CCS a cos c -|- sin a sin c cos B
(3) cos c = cos a cos b -j- sin a sin h cos C
qui donnent deux nouvelles relations entre les trois côtés du triangle et un angle.
Pour avoir une relation entre deux côtés et deux angles , il faut éliminer un côté entre deux quelconques de ces équations.
La première peut s'écrire sous la h'rme :
cosrt — cos ^cos c
cos A == . .
sia ô sin c
(cos a — cos^ cos c)
et par suite sin ^ A= i — cos ^ A = i ( r — COS 2 ^ ^ I
cos 2 c)
sin 2 b sin * c ( COS a — cos h cos c) 2
sin’^ôsin^c
I — cos 2 « — COS 2 — cos 2 c -f- 2 cos a cos b cos ç
siii2 b siu2 c
Divisons les deux nombres par sin ^ a et extrayons la racine de ces deux nombres , il vient
sin A — ros 2/2 — COS — COS 2 cos a cos h cos c
sin A
sin a sin b sin c
sin B sin C
Nous trouverions la même valeur pour-: — et -7—.
sin b sin c
TKlGONOAIÉTllIE.
Nous avons donc les deux nouvelles équations :
ISS
sinA sinB sinA sit. C
S] Il
siii b
Mil a siii c
'«s des
an es sont entre eux comme les si.ms des côtés opposés.
11 est aussi facile de trouver une relation eulrc deux côtés
elTf et l’angle opposé à l’un d’eux - en
e , euclimmant cos c entre les équations (i) et (3) il vient
cos a = cos c cos'-‘ b -L cos b siu a sin ôcos G-f sin b sin ccos À,
îleiuarquoDS que eos «- eos « cos= i = cos a siu^ b et di visons tous par siii b sin a, il vient ' ’
, sin cens A
== COS b cos C-4
SJ il a . sine siiiC
r— d’où il résulte
stüa SI 11 A
siû a
(3) cot a sin ô = cos é cos C -f sin C cot A.
vailies 1* ‘='“‘1 équations sui-
(b; cot b sin a = cos « cos C + siii C cot B.
v7) cot a sin c = cos c cos B -f- sin B cot A
( ; cot c sin « = cos a cos B + sin B cot C
(9) cot b siii c = cos c cos A -|- sin A col B
(loj col c siii ô = cos è cos A -f sin A cot C
Enfin , on peut encore trouver une relation entre un côté et
n siu b
Siij a
-•== COS b cos c
sin c ros A.
siu a
Et si Ion observe que £îL? !!!L£
-, . ^ siu A siu a siu A
*1 vient en substituant ;
rmGONüMLTRlEr
On trouve par un moyen analogue Téqualion semblable cos b sin A = cos a sin B cos C cos B sin C, Kliminanl ensuite cos b entre ces deux dernières équations, il vient
cos a sin B = (cos a sin B cos C + cos B sin C) cos C + cos A
cos A sin B — cos a sin B cos^ C — cos B sin Ci cosCi
d’où cos A= sinC
et par suite (i i) cos A = ^ ^ ^ cosB cos C .
Nous trouvons également deux autres relations semblables, savoir :
(12) cos B == sin A sin C cos b — cos A cos C
( 1 3) cos C == sin sin B cos c — cos A cos B.
Ces formules sont sufûsantes pour la résolution des triangles, cependant il est quelquefois commode d’avoir recours a d autres.
Analogies de Neper,
Les équations (i) et (2) peuvent s’écrire :
cos a — cos ^ cos c = sin b sin c cos A cos b — cos a cos c == sin a sin c cos B, d’où l’on tire par la division, en remarquant que sin a sin A
6IU b MU B
cos b — co^ « cos c sin A cos B cos a — cos b cos c sin B cos A
ou bien
cos b — cos a I -h ^ sin (A B )
cos b cos.rt ^ I — cos c sin\^A -f- B)
cos ^ cos a A*,
Mais — =tang-(« -|-A;tang^ (fl }
Cüs b cos a 2
I |- cos c ^
taug
I — cos c
XKIGO^OMÉrRlR.
( A 4- B ) cos •>. 2
2 2 Substituant ces valeurs dans l’équation (P) on trouve
sin (A B ) = 2 sîn - ( A + B ) cos ■- ( A + ^ ) et sin (A — B)== 2 sîn -(A— B)cos - (A — B)
(M) tang - (rt +
sin — ( A — B ) cos —(A — B) 2 2
lang* - c
sin ( A B ) cos - (A -f B)
sin rt s^n A
D’un aulre côté, à cause de — — — , on a:
siii ô siii B
sîn a 4- sin ô sin A 4- sin B
sin c — siii b sin A — sin B ^ious avons vu en trigonométrie rectiligne que
sin « -j- sin ^ tang - + b)
sin a — sin b tang - (a — b)
L’équation (N) devient donc
(Q) lang -( a 4- ^ ) sin - (A -f B) cos - (A B) 2 22.
tang -(a — b) cos — f A 4- B) sin — (A — B)
et par suite l’équation riMJ, étant miilliplice membre à membre avec 1 équation (Q^, donne, apres qu’on a extrait les racines,
» cos “[A — b)
(14) tang- (rt -(-*)= tans; - c i
^ TRIGONOMÉTRIE
et en divisant l’équation (M) membre à membre par l’équation (Q), on trouve ;
sin —(A — B)
(15) taug — (a — /»)=itang-c
sin — (A -[-B) ■
En appliquant ces formules au triangle polaire , on remplace rt, c , A, B, par x8o — A, i8ü — B, i8o — C, i8o — i8o — b , ce qui donne
cos — ( — 1. ^ )
(16) tang — TA + B) = cot— C ^
COS — (a b)
1 I smi(a--ô)
(17) laug-(A — B) = cot - C
sin - ( a
Résolution des triangles sphériques rectangles.
Pour avoir les formules propres au triangle rectangle il suffit de poser A = 90^*, Les relations précédentes deviennent
= cos b cos c.
sin b
— sin a sin B
sin c =
sin a sin C
tang
b = tang a cos C
tang c =
= taug a cos B
taiig
b = sin c tang B
taug c —
= siij b tang C
cüs B
= sin C cos b
cos C =
sin B cos c
— cot B cot C
Nous ne considérons ici que les triangles qui oui un seul angle droit quoique en réalité il y en ait qui ont deux ou même trois angles droiis ; car, dans ce dernier cas, les trois (ôté> sont des quadrants, dans l’autre il y eu a deux, et le dernier angle a pour mesure le troisième côté.
trigonométrie. 439
Cas. — Connaissant b, trouver B, C.
Les relations (a), (y), nous donnent
cos a , sin b tang h
cos c = , sin B = , cos G = .
cos c sin a tang a
2« Cas. — Connaissant h et c , trouver A, B, C.
Les relations (a), 0), donnent
tang h tangc
cos a = cos ^ cos c , lang B == , tang C == — — .
sin c sin o
3® Cas. — Connaissant a ^ B , trouver Z? , c? , C. Les relations (g), (y), donnent
sin ^ = sin a sin B, tang c = lang a cos B, col C = cos « tang B. 4® Cas. — Connaissant Zj , B, trouver « , c, C.
Les relations (S), (c), donnent
sin b , tang h ^ cos B
sin a — , sin c — , sin C ==
sin B tang B eus b
Ce prob’ème est susceptible géaéralenient de deux solutions, Tune correspondante à une bypothénuse plus petite que 90°, Tantre plus grande.
5*^ Cas. — Etant donnés Z», C , trouver a, c ^ B.
Les relations "'y), (<î', fs), donnent tang^
tang a — , tang c = sin b tang C , cos B = cos é sin C
cos C
6« Cas. — Etant donnés B et c, trouver h ^ c. Les équations (c), (G), donnent :
cos B cos C
cos û~ cot B cot C , cos b = — , cos — .
sin C sin B
TRIGONOMÉTRIE
Résolution des triangles sphériques quelconques»
Cas» — Connaissant a, g, trouver A , B, C,
Les équations (i) (2) (3)
cos A =
cos B =
cos C =
cos a — cos b eos c
siu b sin c ros b — cos n cos c
siii a sin c cos c — cos a cos b
sincfihib
donnent immédiatement la solution,
2^ Cas» — Connaissant a, A , trouver c, B, C,
sin a sin A
La proportion ~
sia b sin B
donne d’abord l’angle B.
On peut déterminer c et C par les analogies de Neper qui donnent
sin - (A-f-B) XI 2
tang - c = tang - {a — b)
sin - (A — B)
sin -(a
cqt~C = tang - (A— B)
sin - (a — b)
3« Cas» — Connaissant a, b y G, trouver A, B, c.
Les formules (5 ) et (6)
cot a sin b — cos b cos C cot b sin a — cos a cos C
cot A= — — , cotB=^
sia G déterminent A etB.
sin C
TKKiONOAIBTIllE. 401
La proportion
sin C sin c
siii A sia a
détermine le cos c.
4e Cas. — Connaissant A, B, c?, trouver «, b, C.
Les formules (7) et (9)
cot A sin R -f- cos R cos c cotR sin A-l-cos Acos c
cot a= ; .^col ^
SI» sin 6*
donnent a et b. Les analogies de Neper conduisent aussi à ces valeurs.
cos - (A — R ) t 12
tang b ) ==:iang ~ c
cos-(A-f-R)
sin - ( A — R ) 1 , I 2
tang - {a — ^)== tang ~ c —
sin - ( A B )
,, . sin ^ sin A
L équation = donne l'angle G.
sin c sin C
5' Cas. — Connaissant A, B, a, trouver i, c, C.
^ , . sin A sin a
^ L équation = ^ donne b,
sin R sin b
Les analogies de Neper donnent c et C.
Comme on l’a vu au deuxieme cas
sin 1 ( A 4- B J
tang — c =tang - [a — h)
sin - ( A — R )
TRIGONOMETRIE.
sin — ( rt b )
cot--C=laiig - (A — R)
sia - (a — bj
6® Cas, — Connaissant A, B , C , trouver a
Les équations (ii), (12), (i3)
cos A -j- cos B cos G
cos a
cos b
f os c =
résolvent le triangle.
sin B sin C cos B -|- cos A cos C sin A sin C cos C -|- cos A cos B sin A sin B
