CHAPITRE PREMIER

WOTIOKS PRÉLIMmAIRES.

^ L’algebre est la partie des mathématiques où l’on emploie des signes propres à abréger et à généraliser les raisonnements que comporte la résolution des questions relatives aiix nombres. Les éléments principaux dont on fait usage en algèbre sont ;

I" Les lettres de Ealphabet, qui servent à désigner les nombres sur lesquels on doit raisonner. Leur usage est utile soit pour abréger le raisonnement, soit pour le généraliser.

2^» Le signe -j- dont on se sert pour marquer l’addition de deux ou plusieurs nombres, et qui s’énonce plus. Ainsi a Jr~ h s énoncé a plus b. -

3° Le sisiie —, qui s’énonce moins , et dont on fait usage pour marquer la soustraction de deux nombres l’un de l’aMtre. Ainsi « — b s’énonce a moins b.

4^ Le signe de la ranliiplication , qui est X ou un point que I on place entre les deux quantités; ainsi a b s'énonce « multiplie paré; on peut aussi écrire a. b. ^ X é X c est la même chose que . é c.

s» Le signe de la division qni consiste en deux points • que I 01. place entre le dividende et le diviseur, on bien encore en une barre an-dessti' et au-dessous de laquelle on place res-

ALGÈBRE

pectivement le dividende et le diviseur : ainsi a : b, oa - s’énonce

a divisé par b , ou le quotient de a par b, ^ ^ ^

6“ Le coefficient, signe que l’on emploie pour indiquer 1 addition de plusieurs nombres égaux; ainsi au lieu d’écrire « + a I a L a, qui représente l’addition de quatre itombres égaux à à, on écrit 4 «; 4 est le coefficient; le coefficient est donc un nombre particulier écrit à la gauch.î d’un autre nombre exprime par une ou plusieurs lettres , et qui marque combien de lois on doit prendre la lettre, ou le produit que représentent les let»res.

n" exposant, signe dont ou se sert lorsqu’un nombre désigne par un autre doit entrer plusieurs fois comme facletir dans un produit. Ainsi au lieu d’écrire a X « X « X " X on écrit «5 que l’on prononce a cinq , ou a cinquième puissance.

On appelle puissance le résultat de la multiplication de plusieurs nombres égaux, et degré de la puissance, la quotité des nombres égaux multipliés entre eux. L'exposant est le signe de ce degre; il s’écrit à la droite et un peu au-dessUS d une lettre, et il marque combien.de fois la quantité exprimée par cette lettre doit entrer comme facteur dans un produit. Pour faire sentir l’importance de l’exposant et du coelficient, supposons qu on veuille exprimer un produit composé de cinq facteurs égaux à a de trois facteurs égaux kb, et deux facteurs égaux à c , on écrira a^ b^ c'^ au lieu de a a a a a b b b c c, "Veut-on ensuite exprimer que ce dernier résultat doit être multiplié par 8 , on écrira 8 a-** b^ c’. •

8® Le signe V ^ dont on fait précéder un nombre, lorsqu’on veut indiquer que l’on a à extraire de ce nombre une racine

d’un certain degré. Ainsi ^ a s’énonce racine quatrième de a ,

i/"Ts’éaonce racine cubique de a.

On appelle racine 2S 3% 4", etc., d’uii nombre, un second nombre qui, élaul élevé à la 2*, 3% 4% etc., puissance, reproduit

le premier nombre. ^ ' 1

O j^e si‘uie = qui exprime que deux quantités sont égalés.

Ainsi pour exprimer que l'excès de a sur b est égal à c , on écrit To^ Te'^signe d’inégalité >, dont on sert pour exprimer

ALGÈBRE. 465

uhe quantité a est plus grande que ainsi a'^h veut dire que

est plus grand que h; a b signifie que a est plus petit que b,

Cest au moyeu des signes dont on vient de parler qu’on par- %ient à enchaîner les idée» dans les raisonnements qu’on est oblige de faire en algèbre.

On appelle quantité algébrique, ou expression algébrique, toute quantité écrite eu langage algébrique. Ainsi 5 a est fexpression algéliriq uedu quintuple du nombre 4 <32 est l’expression algébrique du quadruple du carré de « ; ^ a — 5 ^ est 1 expression algébrique de la différence entre le triple de a et îe quintuple de b. itlne expression algébrique peut avoir un ou plusieurs termes. O n appelle monôme , ou quantité à un seul terme , line quantité algébrique qui n’est réunie à aucune autre par le signe de l’addition ou de la soustraction, et polynôme, une expression compo sée de plusieurs termes séparés les uns des autres par les signes - et Ainsi 3 «, 5 «2^ 8 a4 sont des monomes; 3 « 5 (^, 2 «2 3 ^ ^ ^ polynômes. La

première de cr 3s expressions est dite un binôme , et la seconde un

trinôme^ parc e qu elles contiennent lune deux termes et l’autre trois,

La valeur n umérique d’une expression algébrique est le nombre qu on obtieir Irait, si, en donnant des valeurs particulières aux lettres qui y «iiitrcnt, ou effectuait toutes les opérations arithmétiques que comporte cette expression.

Cette vai.eur numérique dépend évidemment des valeurs particu leres af .tribuées aux lettres, et doit généralement varier avec elle^; ainsi a a pour valeur numérique 54, lorsqu’on fait

^ Je dis { ;énéra]ement ; car , dans quelques cas , la valeur numérique d ui le expression algébrique reste constante, quoiqu’on fasse varif r les valeurs des lettres qui y entrent. Ainsi dans I expression Il b, tant qu’on donnera à a et à ^ des valeurs croissantes cbîicune de la même quantité, lexpiession ne change pas.

7 ^ = 4 . il ^ ^ ^ 3 maintenant

a — résulte encore a — ^ = 3 .

La valeur iinmenque d’un polynôme quelconque ne change pas orson on intervertit 1 oi’dre de ses termes, pourvu que l’on ait soin de conserver à fous leurs signes respectifs. Ainsi 4

^ ^ ^ 5 rt ca — 3 «a ^ ^ 4 ^3 ont la même valeur

nuoienipie.

AL6ÈBKB.

Ordinairement pn ne met pas de signe dievpt le pretnig,rtennp d’un polynôme; il est alors censé être précédé du signe -f*.

On appelle dimension d’un terme cliarun des facteurs littéraux qui composent ce terme, et degré, le nombre de ces facteurs ou dimensions. Le coelficicnl ne compte pas pour une dimeuaion; ainsi, 3 a est dit im terme à une dimension, ou du premier degré ou linéaire, 5 o ô est un terme à deux dimenstons ou du second deeré, et 8 I>^ c est un terme à six dimeosioxis ou du sixième

degré. En général, le deg.é, ou le nombre de dimensions d un terme, s’estime par la somme des exposants des lettres qui entrent dans ce terme.

Une lettre qui n’a pas d’exposant est cense aytur i pour exposant. Un polynôme est homogène lorsque tous ses. termes sont du même de^ 3 « - 5 é + 4 e, 8 «3 é 4 a- + 6 a4 sont

des nolvr.ômes homogènes. .

On appi lie termes semblables des termes qui so pt composes des

mêmes b-ttres affectées des mômes exposants. ^ ^

Ainsi ^ a b, ^ a b, a b sont des termes semblables, ainsi que O o- 43 03 c.^ga^b^c. Quand un pulj nome ren-

ferme plusieurs termes semblables, il est susceptible de réduction. Soit le polynôme 4 é • — Ü c -\- g a , ^1** ^

, c — 6 *3 , „n peut récrire ainsi ; 4 é — i 0= ô -j- 7 « « 3 c + P n 6 é3 ; or 4 ^ ' * ’

7 c — 3 0’“ c se réduit à 4 Ç; po'y‘>t'®e lui-meme

se réduit à 2 é 4 c -j- 9 a c’* ^

Pour opérer la réduction des termes semblables- o" 'orme un seul terme additif de tous les t. fines semblables pi eeedes du signe -f ; ce qui se fait en ajoutant les coefficients de o es termes et en doiicaut leur somme pour coefficient a la partie litteiale commune; on forme par le même moyen un traclif de tous les termes précédés du signe — ; et ou p ace la quantité négative immédiatement à la suite de la qu- tn i e p silive.

ALGÈBUE. f(J7