II. DE EA SOUSTRACTI03Î

Soit à retrancher 4 ^ de 5 , le résultat algébrique est Sa — *

4 de même, la différence entre 7 ei ^ a b c est 7

^ a b c% et celle de 8 ak ^ et 3 a4 ^ est 8 ^z4 ^ — 3 «4 ô =

5 a^ b. Soit maintenant 4 ^ — 5 c à retrancher de 4 on peut d’abord présenter le résultat de retîe manière : 4 n — (4^ — Sc)^; en mettant la quantité à soustraire entre deux parenthèses, et récrivant à la suite de la ])remière quantité avec le signe — ; mais il faut souvent former un seul polynôme de cette expression.

Pour parvenir à ce but, ou observe que si a ^ ô, c, étaient des nombres, on ferait la soustraction indiquée par 4 b — 5c, puis on retrancherait le résultat de 4 ^5 comme celte soustraction ne peut être effectuée dans l’état actuel des quantités, on coitomeuce par retrancher 4 ^ de 4 ce qui donne ^ a — 4 mais, en relranrliHiit X b unités, on a soustrait un nombre trop fort de 5 c unités; il faut donc rectifier le résultat en y ajoutant 5 c; ainsi l’on a 4 ^ 4 ^ ^ ^ pour le résultat de la soustractioR

proposée. Soit encore 5 a'^ — a b 5 b c — b'^ 5 soustraire de 8 — 2 «r cette opération peut être indiquée ainsi : 8 a:^-

^ ^ab — (5 «2 — . 4 ’^bc-~-b-^)\ mais pour réduire

cette expression à un seul p(dynôme, observons que retrancher

5 «2 4 a ^ -f- 3 ô c — revient à retrancher la différence

entre la somme 5 a"^ — "5 h c des termes additifs, et la somme

4 a ^ ^2 des termes soustractifs. On peut d’abord retrancher

5 ^2 3 le, ce qui donne 8 a- — 9. a b — 5 — 3 ^ c , et

comme ce résultat est nécessairement trop faible de l^ab -\-b^, il faut y ajouter cette dernière quantité , et il vient 8 «2 — 2 a ^

5 ^3 ^ h c a b b"^, réduisant 5 a- -\- 7. a b —

3 ^ c 4- ' 2 ; d’où l’on peut conclure cette règle générale : pour soustraire deux polynômes l’un de l’autre, écrivez à la suite du polynôme dont il faut soustraire , Tautre polynôme en changeant

ALGÈBRE

les lignes de celui-ci , et opérez la réduction du polynôme restant s’il y a lieu; on trouvera d’après cela que

§. III, DE LA MÜLTIPLlCATtOîî.

On démontre en arithmétique q»ie le produit de deux ou de plusieurs nombres reste le même dans quelque ordre qu’on les multiplie. Ainsi 3 X 4 X 5 = 4 X 5 X 3. Il en est de même 065 quantités littérales; ainsi a b yc^aycyb.

Cela posé, la multiplication devient très simple. En effet sou le monôme 4 «3 à multiplier par ~>a-^b c-, l'expression «le ce produit peut d'abord s’écrire ainsi ; 4 «3 x 5 b cmais remarquons que br a? ^ a a a b b et S bc = 5 a ’a bc-, on a donc 4 «3 éi' y^ba^bc=.^aaabby,5aabc-, or on peut , comme nous l’avons remarqué , intervertir l’ordre des facteurs; il vient donc b X 5 a a aa « b bb c-, or comme les coefficients sont des nombres particuliers , rien n’einpcehe d en former un seul eu les multipliant eiilre eux , ce qui donne 20 pour coefficient du produit. Quant aux lettres,' le produit aaa a a équivaut à «S, et le produit bbbkb-'^; ainsi l’on a pour résultat final 20 a~> ô3 ,, Ainsi on peut établir la rèqle siiivante : pour multiplier deux monômes l’un par l'antre, il faut I multiplier les deux coefficients entre eux; 2“ écrire à la suite de ce produit toutes les lettres qui entrent à la fois dans le multiplicande et le multiplicateur, en affectant chaque lettre d’un exposant efjal a la somme des deux exposants dont cette même lettie est affectee dans les deux facteurs; 3“ si une lettre n’entre que dans 1 un des facteurs, l'écrire au produit avec l’exposant dont elle est affectée dans ce facteur.

On «rouvera d’après celle règle que bi c X 9 b^ c3 d = 63 «8 é6 iba^b^c’dX b «3 b cdig=6oa5 bi dbg.

Passons à la multiplication des polynômes. Soient d’abord deux po vDomcs a-p etrf-f/, composés de termes tous additifs;

ALGÈBRE

on peut présenter le produit sous la forme [a b c ) {d -i- f)\ mais il s’agit de développer ce produit. Or, il est évident que multiplier ia somme a b ~\- c par d -}- /revient à prendre a b --y c autant de fois qu’il y a d’uniîés dans d ^ plus aulaul de fois qu’il y a d’uniles dans /, et ajouter les deux produits ; mais multiplier a -j- ^ ^ prendre d fois chacune des

parties du multiplicande, et réunir les produits partiels, ce qui donne ad-^bd-Y^^^ de même multipiier a -l- b c par/J c’est prendre f fois chacune des parties du muiliplicaude , et réunir les produits partiels, ce qui donne af^^b f c J\ qui doivent être ajoutés kad-\-b(i-\-cd\ le produit sera donc il f bf -j- c f q. d b d c d. Ainsi pour multiplier

deux polynômes corU^oses de ternies tous additifs, il faut ntultiplier séparément chacun des termes du inuiliplicande par chacun des termes du mult.pücaleur et ajouter tous les produits.

Si ces Urmessont affectés de coeilii ienls et d’exposants, on suit les réglés prescrites pour la ruuitiplicationdu monôme. Par exemple, {Z a b (‘^ a 5 b^ donnent pe ur produit 6

^ a b ‘2. a b 10 a b 0.0 a b^ -y 5 b^ ew réduisant 6 « ^ -p 2 3 a ^ 2 2 m ^ 2 ^ Pour nous rendre

compte du cas le plus général, remarquons que si le multiplicande rentenne des leimes additifs et termes soustraciit» , ce facteur exprime une différence entre le nombre d’umtes marqué par la somme des teimes additifs et le nombre d'unités marqué par la somme des termes soustractifs ; même rai>ounement par rappt.rl au muitipheateur, d’où il suit que la multiplication de deux polynômes quelconques est ramenée à la multiplication de deux binômes tels que a — b^ c — d, a désignant la somme des termes additifs et — ^ la somme des termes sc usiraclifs du multiplicande; il en est de même de c etde — par rapport an multiplicateur, ou a doue a multiplier a — b par c — </ ; or, multiplier a — b par c — d ivvseut à prendre a — b autant de fois qu’il a d’unités dans c*, moins autant de lois qu’il y a d’unités dans d , ou bien à multiplier a — b par c et à relram her du produit celui de <7 — b par d. Or, en muihpliant a — b par c, on olitient a c — b c. Eu t ffet , le produit de a par c étant a c , si le multiplicande diminue de b^ le [iroduit diminuera de c fois ^ , ou de 6 t ; le produit de n — c par c est donc a c — b c. De même le produit a — b par d est a d b d; et comme ce dernier produit doit êîre leli anche du précédent «z c — éc, il faut changer les signes de ad-^-^bd, et l’écrire à lu suite

ALGÈBRE

d)z=,ac— hc

fl d

a c — h c ^ Qo qui (îonne (a -V-bcL ^

Pour meure plus d’ordre dans la formation du produit, et pour f.c l.ter les reduel, ons dont ce produit peut être suscep,ible7on iilonue les lact. uis par l’apport à uue même lettie.

^Oit j)n.qjo.se a multipiier,

3 n ^ 3 /, « f + U = « :t -il, 3 „ .. ,er

5 ^ ^ + 3 M «. 2e produit.

Proil. (ot. 3 a ^

4» « — 4^ f « 4 6 3. 3e prod.

— 6 i rt -, }1 2 è 2 a 3 — 2^3 ^ 4 ^ P4^5

î-a multiplication du multiplicande par le premier terme 3 a = Un mu lipocatcur, a donné le piemier produit partiel; en nudti- !> mm le mollip'icandc par le deuxième lern.e — 3 « du mnllip.,cm,ur,on a obtenu le deuxième pr oduit partiel , et on a fermé e t'o, aemc proumt pm-üel en multipliant tout le muliiplicande

semb>a ,';"'T“" r ; on a placé les termes

sçmUba s les uns sous les autres; la somme des p.-od«its partiels,

nmi.te a sa pins simple txpression, a donné le piodnit total.

!.a réglé des signes peut s éoom-er ainsi :tom. s les fois <ine les d nx termes du multiplicande et du mullipli.ateur somalteclesdu meme signe, le produit correspoudaot est affecté du signe + et lors pie les deux termes sont alfeclés de signes conira.res le produit est affecté du signe — . On dit encore; en

augage algebri.pie <,i,e -f mnliiplié par + ,ou — multiplié —

üoiîiic +, ei que -i- iniilfjphé par — Joniie — .

I.a réglé de la multipbcaliou peut être énoncée de la manière suivant»*.

Pour multiplier deux polvnémes l’un par l’autre, il faut multiplier sucerssivemeiit chaque terme du multiplicande par oba-

dë de,7vT le signe + an produit

ttrme fi -au produit de deux

aiJectes du signus contraii’ps.

fiemnry„es i» Si les polynômes qu’oii veut multiplier sont homogeoes le produit de ces deux polynômes est atosi homo-

fe* re’s ni' "" ‘■‘'■'’;'!";“'«,«''Jente des règles relatives aux nôme' Fn ^ ?? '"“‘'ip'ieation des quantités mo-

ou re, le degrc de ebaque terme du produit doit être

ALGÈBRE

égal à la somme des degrés de deux termes quelconques du multiplicande et du multiplicateur. „rn

20 Lorsque dans la multiplication de deux polyuomes, le produit n’offre aucune réduction de termes semblables , le nombre total des termes du produit est égal au produit du nombre des termes du mulliplicande, multiplié par le nombre des termes du multiplicateur. Ain>i, que l’on ait 7 termes dans le multiplicande et 3 dans le multiplicateur, il y en aura 7X3 ou ai dans le nroduit. Lorsqu’il y a des termes semblables, le nombre des teimes du produit smiplilié peut être moins grand ; mais on remarquera que parmi les différents termes du produit, tUa est qui ne peuvent se réduire avec aucune autre; ce sont i» le tiTme «rovenaiit de la multiplication du terme du multiplicande affecte du plus haut exposant d’une quelconque des lettres, par le terme du mulliplicateuraffecté du plus liant exposant de la meme lettre , 20 le terme provenant de la multiplication des deux termes alfectés du plus faible exposant de la même lettre.

Il arrive souvent que l’oii a besoin de connaître le cane d un binôme de la forme « -f * Former le carré d’un binôme c est le multiplier par lui-même, et il vient (a -f é) ^ l'a 1 a a I a é |-a & a ^ c’est-a-dire que le carre de la

somme de deux quanlilés se compose du carré de la F»""'®’’®plus du carré de la seconde, plus du double prouuit de la pr

inière par la seconde. . ,

Pareillement (a— é) a =

b\ expression qui ne diffère de la précédente que par le signe de ■2. a b Ces expressions se trouvent démontrées dans la geometrie.

SoHveni il arrive qu’une même quantité est facteur dans tous les termes d’uii polynôme, et alors il peut etre utile de la mettre en évidence.

Soit b c -\-ab'^cArO>'^bg-\- a.

multiplie tous les termes , on peut donc écrire a!a^bc-{- Âac4-«é,?+i); en géométrie on fait très souvent usage de celle remarque. Par exemple, on trouve que le tronc du cône

a pour mesure - A. Retr

désignant les rayons des bases , h la hauteur, et tr le rapport

ALGKBRE.

de la circonférence au diamètre ; en mettant - •n h en facteur,

elle devient -7r^(R2-j-.