Ç IV. DE LA DIVISION
La division a pour huf, étant donnés un produit et Tun de ses facteurs, de trouver l’autre facteur.
Considérons d’abord le cas de deux monomes. Soit à diviser a 8
a 1 par 4 « ce qui s’écrit — , il faut trouver un troisième
monôme qui multiplie par 4 reproduise 28 a 7 ; il faut donc
que le coetficient du monôme cherché soit tel que, multiplié par 4 , il donne 28 , et que l'exposant de a dans le quotient , ajouté à l’exposant 3 de <2 dans le diviseur, donne 7. Or, il n’y a que le nombre 7, qui, multiplié par 4, donne 28, et il n’y a que 4, qui, ajouté à 3 , puisse donner 7. Le coefficient de a dans le quotient
est donc 7 et son exposant est 4. On a donc :r= 7 ^ ? et
en effet , on a 7 « 4 X 4 « ^ = 28 æ 7. On a, d’après les memes i5zz4ô^c
remarques, — - — = 5 a ^ b c. D'où l’on voit que, pour
diviser deux monômes l’un par l’autre, il faut: i® diviser les deux coefficients l’un par l’autre ; 2® pour les lettres communes au dividende et au diviseur, écrire chacune d’elles à la suite du coefficient, en lui donnant un exposant égal à la différence de l’exposant du dividende et du diviseur ; 3^^ écrire à la suite et avec leurs exposants respectifs, les lettres qui entrent dans le dividende sans entrer dans le diviseur.
Il peut arriver que les exposants de certaines lettres soient les mêmes au dividende qu'au diviseur; si l’on avait , par exemple , 25 a 4 ô 2 à diviser par 5 a ^ b comme la lettre ô a le même
2 5 ak b
exposant, le quotient ne doit pas le renfermer, et l’on a :
5 « 3 ô 2 5 rt.
Mais le quotient 5 a peut être mis sous une forme propre à
ALGEBRE.
eonserver la trace de la lettre ^ ; en effets d’après la règle établie,
^ Ce nouveau symbole indique que la lettre /j entre
O fois comme facteur dans le quotient, mais il indique aussi qu'elle entrait dans le dividende et le di\iseur, et qu’elle a disparu par l’effet de l’opération , il est d’ailleurs facile à faire voir que
I , car = — et toute quantité divisee par elie-meme= i.
On a donc == i; ainsi toute quantité affectée d’un exposant zéro égale un. II y a des cas où il est impossible defftduerla division de deux monômes: i® lorsque les coefficients ne sont pas divisibles l’un par l’autre; 2® lorsque certains exposants sont plus forts au diviseur qu’au dividende; et enfin quand le diviseur renferme une ou plusieurs lettres qui u’entrenî pas dans le dividende : le monôme reste alors sous la forme fractionnaire, qu’on peut souvent simplifier.
Soit par exemple 1*1 a^ c d h. diviser par 8«2 c f.,\e.
quotient se présente sous la forme — ; -; on peut sim-
^ ^ b'^ cf
plifier cette expression en remarquant que les facteurs 4, «2^ et c étant communs aux deux termes de celte fraction , rien
n’empêche de les supprimer ; et l’on a pour résultat
Pour simplifier un monôme fractionnaire quelconque, on supprime le plus grand facteur commun aux deux coefficients, on retranche le plus petit exposant d’une même lettre, du plus grand, et on écrit la lettre affectée de cette différence d’exposants, dans celui des deux termes de la fraction où l’expo-aiil était le plus grand; on écrit enfin les lettres non communes , avec leurs exposants respectifs , dans celui des deux termes de la fraction où ces lettres entraient.
§ V. DIVISION DES POLYNÔMES.
La division des polynômes a pour but de clierclier un troisième polynôme qui , multiplié par le second, reproduise le premier; de sorte que, si A désigne le polynôme dividende, B le polyuôme diviseur, et (p le quolient, on a : B X ? — A. Il résulte de là, et de la règle de la multiplication des polynômes,
algèbre.
que le dividende de A est l’assemblage, paraddition et après rcdue on des produ.ts partiels de chacun des termes du d[v,s,^r B, mullipbes par chacun des termes du quotient y cherché Si l ç.n pou.a.tdccouvnr dans le dividende A un le. me qu provint sans réduction, de la multiplication de l’uu des ternes U mscur B par l’u.i des termes du quotient alors, en disisant I un par I autre ces deux termes du d.vidende et ou divi -
seur, on serait certain d’obtenir un terme du ouotient
fecf/’H =* sur la multiplicat'ion, le terme af-
fecte du plus haut expo-^ant d’une certaine lettre dans le produit ne se redmt jamais avec les autres; de sorte que, si on d.lÏÏ ce terme par celui du d, viseur qui a le plus fort exposant de la même let re on sera certain d asoir un terme du quotien Pour plus de carte, soit x5 «4 le terme deA, dans lequellattfre « a le plus fort exposant, et suit - 5 celui du diiiseur Tdan^ lequel 1 exposant de « est le plus fort- le terme , -t / ’
tSoiUtÏe ifié dôn\Tterm^
dende A ce uni se fei. ’ ««"«"■ait le produit du divi-
contraires au-dessous du divFdTn'ie"*eTer°'^'
on ohi.ent ainsi un lO*' resle^R oue rlT’’ ^ ® 1
nouveau dividende Mir 1er ma 1 ’ • <’''»^«dere comme un
même lettre. o'yuomes A et B par rapport à une
avant tout, éta^bl'ir gIn<tderenT°rte^^^
sion. (lomme d ins ta m ir t* * signes de la divi-
de mêmc sl;ttict '« (''■“‘'-'i' dè deux termes
termes affectés de simie c produit de deux
•ri le terme du dividende ri?:ienr'-r;r:eh'“'i ^
.sf^Mr.4-, le U nue Hi, • T’ ^ ‘^'V 'senr le
ti imcdudividetideale\ene+ etV/""^ que si le
tjcaiesi„ne-f,et le terme du diviseur le signe—
algèbrk.
- , I pt le terme du diviseur le
ou le terme du dividende le signe i„ne— ;enfin, si le
,ig„e + , le terme du quotient ^ quotient doit
îïïï:;" rx; igreXS
doiUtre aîcté du s“gnè^+; et s’ils mnt de signes contraires, le quotient doit être affecté du signe .
Soient maintenant les deux polynômes
„54.3fta4
rI
■xba — b-»
Les deux polynômes sont
c’est-à-dire que l’exposant '*='‘7, «5 par «3, ce
le dividende et le diviseur, n ensuite fait le pro-
qui a fourni le terme du quot.^^^^^^^^
doit de ( a 1 -- 3 * « ) pa ’ qj, ^ considéré ce
nôme ’ '"J"*,, dividende ordonné par rapport à la
reste comme un nouveau u . tprme 2 6 a4 para’%
même lettre «. Ou a divise son p^ quotient; on a fait le proce qui a fourni le terme - . et on l a réduit du diviseur par ce nouvta considéré
tranché de R, ce qui a fourn ^ rapport à «-•
aussi comme un nouveau disidcn d I obtient le
en divisant son premier “-‘••“7-/. /„.o^q,t du diviseur parterme-é^ du quotient; en taisant le ^ ^e qui
prouve que « ^ ^ ô« -, c; on fait le produit du quo-
sioii des deux polynômes propose . j 5 g dividende; on
tient par le diviseur, -,777,'77:[j::firdonnez le dividende Tle UXorTar raîl-t à une 7^7‘7XtT.\?r“t So'; “ÎXe it, ïXnXtranchez dil dividende le
ALGEBAB.
nr
produit du diviseur par le premier terme du quotient, vous obtiendrez un premier reste; divisez le premier terme de ce premier reste par le premier terme du diviseur, le résultat sera le deuxième terme du quotient, et ain^i de suite.
Remarques. — lO Nous avons dit qu’il faut ordonner le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre ; mais il peut arriver que l’uii des polynômes proposés ou les deux renferment plusieurs termes affectés d’une même pubsance de la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner; cela complique un peu la division , mais la règle établie est toujours la même.
Soit M rt 4 N -f- P a 2 j ^ j y jg dividende,
et « 2 p/ |g diviseur.
Chacun des coefficients M, N, P, Q, M', N', P', désigne l’assemblage de plusieurs ternies. Ainsi M «4 représente toute la partie du dividende affectée de fr4, etainsi des autres. Cela posé, puisque le plus haut exposant de a est 4 dans le dividende, et a dans le diviseur, il doit aussi être égal à 2 dans le quotient qui est alors de la forme A « 2 j Pour déterminer la partie
de ce quotient affectée de la plus haute puissance , on remarque que le produit des deux parties A^ 2 et M ' a 2 pgj,t éprouver aucune réduction avec les autres produits du diviseur par le quotient, et, par conséquent , doit être égal à la partie M «4 du dividende, affectée de la plus haute puissance.
Donc réciproquement si l’on divise M a 4 par M' a 2, on doit avoir la partie A« 2 jg quotient; cela revient à diviser A parA^, puisque a4 divisé par ^z2 donne a 2; la partie A a 2 étant obtenue , on multiplie chacune des parties du diviseur par Aa 2 et l’on retranche au fur et à mesure les produits partiels qu’on obtient ; ce qui donne un premier reste sur lec^uel on opère comme sur le polynôme proposé.
2» Pour diviser un polynôme par une quantité indépendante de la lettre par rapport à laquelle ce polynôme est ordonné, il suffit d’effectuer la division sur chacun des coefficients de cette lettre.
Soit à diviser(i^2 c2)^ 3 ^ ^ ^ 4) ^ 2 3 ^ ^ ^
par ô 4- c. On divise chacun des coefficients ^2 — c'2, ^ 4 — c4 ,
par 6 4- c; les quotients étant b — c, h'^ — CÔ24-C2 h c
3 a ; le quotient total est :
c') a'i + ^cb ^ a.
algèbre.
