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: , i . . /t.; 3''Mti(t;i ?fc*i :iïïïï,<j .'^

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V et le 'troisième

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2 'X 1 ■! Gl ' ' ' f

r'yo /'filial;./

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deuxième

iV- P . J.; ; i ■

demie -■‘■■G* -"^'V et le * troisième i<

i . >1. ',ii.a?^î==S 2 , i.{'. ù7 «;-.;5 '/.,.;;i .^1

Pour résoudre trois équations du premier degré entré trois* mponnues, on plimmp d’ajjqrd rype désinconnues, par rune^quel- ‘^.pnqu^ de| méthoffes préc^entes^, ce qui conduit à deqx ‘éqpatiups ne renfermant pJqs que depxjuconnues ; ces deux éqijatioq^ traité^es fournissent les valeur^ (Je^ deux^ des |ncoi?yiuf s ^ et stifution de ces valeurs dans l’une quelconque des équations qui renfernieiit les trois inconnues, fournit Une équation qui détermine la troisième inconnue’

Soîèht léfe éqùaftidtiS ' “ " ' *•■

‘ ii< i!<.. . î . ir •.> <.i 1; = ; U\

5 X — & y Jç- Z == iS »J.

■' - ' *■ "7'X -fj 4^'LLm* 3 .5 / 4

Potîr élinilnér z entre les "deiix premières équations , il fau midUpU^r la première par 3 , et (a S€CQnde..par,4, puis-ajouter ks dw^.rpuU^ls ( puisque fos coefocieüts de ^ sont dé signés contraires}*<>e qiji dopne. ppiir nouveile équation 43^-7- 2 rq I ÿ pour rendre les coefficients de Z égaux dans la deuxième et la troisième il suffit de mulliplier dans la deuxième z par l’un des facteurs du coetficient 2 dans lar troisième, et ajoutant on ai ^ + 9r =ï=^ 84; la question est donc' ramenée à trouver les vd ëurs dé;r ety propres à s^isfaire à‘ cës nouvellés équations, dies donnéht x = 3, jr = %. Il ne reste plus qu’à substituer ces valeurs de .a: et, de > daps |’une quelconque des équations

algèbre.

proposées , pour avoir la valeur de s ; eu première , il vient 1 5 — 244- 4 z = ;

les mettant dans la d’où Z = 6. Ainsi :

satisfont aux trois» équations proposées. *

Pour résoudre quatre équations entre quatre inconnues, on ramène ce cas au précédent, en éliminant l’une des inconnues; cela fournit trois, équations entre trois inconnues qui donnent les valeurs des trois inconnues,' et en substituant ces valeurs dans l’une quelconque (k-s équations qui renferment l’autre inconnue, on en déduit la valeur de cettCiautre inconnue; on terait de même pour cinq équations eiilre cinq inconriues, etc.

On peut faire plusieurs Temarques sur les formes que peuvent prendre les valeurs des inconnues dans la résolution des équations .du premier degré. ■ ■ '

I En faisant disparaître les dénominateurs et rassemblant ce qui multiplie 1 inconnue, l’équation du premier degré', à une seule inconnue, peut se me-tre sous la forme ax=-b, « et 6 représentant'des quantités entières positives ou negativesf en resol-

... ' ’ vant cette équation , il vient ; x - — . • > ,

Lorsque le numéraleur l, désignant un nombre positif donné , le dénominateur a diminue, et s’approche indéfiniment de o,

la valeur de - reste positive, et augmente indéfiniment; et enfin

quand « se réduit à zéro , la valeur de ^ devient pins grande

nue toute quantité assignable ; cette limite de l’arcroissement des miaiilités positives est ce qu’on nomme l'infiuiment grand-, positif ou l’infini : ou la représente parle signe » Par exemple, 81 on donne au dénominateur -a les valeurs de dix- en dix 'fois

plus petites I,— ,-L,— . «le., la fraction- prendra les

valeurs de dix en dix foix'pUis grandés h lo i , loo ^ loo» ^ dé'sfirte'qu’ou pourra toujours pre.^re « assez petit pour ^que

! .dévie.meTlas‘gr\ndque t».ite'quantlrè '

ALGEBRE. 18^

Quand a et b se réduisent simnilanément à zéro, h fraction - devient Or on peut prendre un nombre quelconque poulie quotient de la division de zéro par zéro ; on dit par ce motif que la fraction - est indéterminée.

il peut cependant arriver qu’une frackion littérale se présenté

sous la forme -, en vertu d’une certaine.liypolhèse ,j et qu’elle

ait cependant une valeur déterminée.

Si, par exemple, l’équation qui exprime jtoutes les conditions d’un problème, ayant conduit à .r -f on parvient par d’autres transformations à l’équation x (a — b (a -f b) ~ ^ ) = «2 — ^2 quj renferme le facteur étranger a — b; la véritable valeur a b de ji- se présentera sous la forme x =x

^ ^ l’on donnera à a des valeurs différentes de b,

rn , . ) . »1> r ‘ rij r i.M'.i ? »

chacune des expressions a b, — , conduira à la meme

valeur déterminée de .r; mais quand on cherchera la valeur de X, correspondante à l’hypothèse « = la seconde expression

de X se présentera sous la forme de - , quoique la véritable

valeur de X soit 2 a. , , .1

h^QUATIONS DU SECOND DEGRiî.

(Partie non exigée.)

Soit à résoudre l’éq.ialion p x ^ =o , dans laquelle

«,/>, 7, sont des quantités numériques ; en divisant tous les termes par Je coelficieut a ou obtient :

et retrâiïclïbns à là fôis ta^quândté"'--^^^^ir^

'!.;ü'i 3-KiCiOil flü all.i'.'îu; v.O^^.â .- îajivab -

•ilioa. ao «î 0l

is'i — Jî* *)up

t)qnc'il%tiàtmo:^pt’Op€?éé^^ peut' sé'Weltfe ^ous^ ^la for^è^^

/ P '>f ^>ik nîi;tïK‘îqi.'r> Ut.

à.al/ aiq ia ,A -^ ^. afi.a aaa>Ævs . a.n.qu/',, aa a .aoihî.

A4 ExtRaj^t imvm A<il aewx,iftoml}r.es,<il ;Yieutuq

iup y ^ ^0

A ‘liJ îir On 'ftiK ife'^dôttl51e'^g<^e'^i^lfc

Ji *n; iv.i‘j\>/f li- ïi li üo'i ^5Jp iiiîir 'rJ'TTT*

et moins, car dans ces deux cas le carré est toujours affecTe dti

si^ne plus, , ^ ' 4 -U. si <jf!;oî<i<*,i>'fq>'-S> ü^Iî *jiîiJ0j~d‘>

*011 fit-e'dbtié^éhilh* 4 ^ ‘

«L -raaîav ai anaaa.flJa .ay.nu;?

>.Mv:.év £1 A. >IüUO ., <- Üi -Uwe j.q -c. ^

îeUes sont les deux valeurs qui, mises a la place de ^ dans réquation, la réduisent à une identité. ‘'^

On peut remarquer que le premier terme de la valeur de x est égal à la moitié du coefficient de x pris en signe contraire, et divisé par le coefficient de dans 1 équation proposée ; et

ce terme — 4^i!Ç^t,égar,à la:9Qi»me de8"4eiîX ï de a:.

Le produit des deux. valeurs de a: qui est

^ r a Ou v'ii A i;

(- â±>^4wl) :?=^fr.

El- ] X = est donc égal au tetifteiiüdépeli^^

divisé par le coefficientaie

ALGEBRE.

Formule dii hinémè,'

Quand on fait le produit, de «) par ^ ) par

+ .trou ver^ là forpie du d èyéïoppejïienf

obtenu, ëh partant du produit de deux Innômësi* en , effet

x^ a' SX 4^^'Æ h':

JVfuItipHons encore par a: -j^ V, il. vient ^

a;*'' 4* Or + ^‘

*îf'

»: ■*'> î î É yJ'^

JVous remarquons çjue, en continuant^ ïnultjplieV par nous obtenons toujours iu^suite tewe^j.en puissan.-es^voirt en ‘dqrroissan t.. Noÿ‘.vo;5(üns atis&i que le premier coefQciënt est runiiév*e deuA^érrîë esLegaU là-somme des. seconds termes ; le Iraisièmer égalo, ia.&ooî.me,des..prafluits. dif?férents que l’on peut, faire deux^ à., deux' aveç.\ies~, seconde! termes* elc. . ’ ... ^ '

Poii^r faire voir que çette. loi^ est générale fautiétàbjju?, que, si ellè^e^ .yrai'e pour iin prnduil. de,..^n..fa(:i^ eller. sera encore vraje po^^ un.,produit de,m, 47, i- f^ctaur^ Or^; d’après celte byppljiese, npus avu’ons pour développement^une.suite* (de. fermes de fâ forme

•*“ + A jr“->

Multipliôns par .2; iT viendra . . . , j i

4Ta.v?*> ri '

Je dis que ces nouveaux coefficients sont formés d’après la meme loi. Pour le démontrer il faut rechercher comment avec ^ lettres on peut former des produits difféirenrs dë « leVtresi ^ En considérant deux letires et oil vtiit (thé 1 oii peut

former deux produits différents (l’une letire ét un séiîl'dè deuxi lettres. Tandis que, si l’on considère tPulës les permutàtidns ^ssibles:, on verra quhfy ena deux pour'clëùX letti^à , à'eibï> Ces permutations sont a b ti b a, . o

irW-i G:.

-f XB

En en considérant trois, on en trouve six; caria lettre

peut occuper trois places ditTéreiiîes dans chaque permutation de deux lettres c a b ^ acb ^ ah c ^ cb a , h c a , h ac. En généralisant cette proposition, on voit que le nombre de permutations de m lettres est égal au produit i X p X d... . m. ,, ^ ÎSous avons jusqu ici fait entrer dans les permutations toutes les lettres données. Si l’on se propose de chercher combien de permutation^ l’on peut effectuer avec b/ lettres^ eu supposant que Ton donne m lettres, ces permutations prendront le nom particulier de combinaisons. Or, ce nombre de combinaisons est facile à trouver; car ;« lettres donnent évidemment in combinaisons une à une. Pour trouver les combinaisons de deux lettres, il faut placer à la suite de chacune des combinaisons de une lettre chacune des m — i lettres restantes; ce qui donne

jn ( m i) pour le nombre des combinaisons de m lettres deux

à deux, et par suite tn {m — i) [rn — (a?— - i )] pour le

nombre de combinaisons de /w lettres, n k ri.

'' Si nous appelons produits différents les combinaisons du meme nombre de lettres, qui diffèrent au moins par une lettre , nous^ pourrons an iver par ce qui précède à déterminer. le nombre de produits différents de m lettres prises nku; car lé nombre des combinaisons de m lettres prises nkn est égal au nombre de produits différents de m lettres prises a2 à /a, multipliées parle nombre^ des permutations de m lettrés. Donc, en divisant le nombre des combinaisons de m lettres prises nkn par le nombre des per-, mutations de n lettres , le quotient indiquera Iç nombre de produits différents. Donc ce nombre est égal à

Revenons ‘maintenant au produit de [x a) par’ a: -f 6; son développement

X ab

nous fait voir que le coefficient de x est égal 'à la somme des produits difiéreuts que fou peut effectuer avec deux leUres eu

les prenant une à une, , ' i •»

Le terme a h nous indique le nombre de produits diffeienU

que l’on peut former .avec deux lettres en les prenant

deux.

Supposons donc que les coefficients successifs du développement général expriment le deuxième, la somme 'des produits différents de m lettres une à une, et le n terme laf somme de produits différents de w lettres n — i à 7i — - 1.

Je dis que cette loi aura encore lieu par l’addition diiin nouveauilacleur .r.-f-!).. En effet, le développement 1 r ilq

l A I O-m-L B iÆ''»-'4-C I xu*-» 4-- + -r -A-À +Bx i .‘l'

vérifie très bien notre hypothèse; car A ^ est la somme des produits de m lettres une à une; B -j- A X est.'la sonVme des produits différents de in -f- i lettrés 2 à 2 , etc’.'’ ‘ ' '

■^lous pouvons donc supposer tous les seconds termes -a I? c d, etc., des facteurs x -\- h ^ x g, etc. , égaux"

à a; et nous pourrons, dans ce cas particulier, voir ce qud devient le développement ■ ' ‘i

’ ' iS V

a; tn ^ A ^ 1 4- B A' — 2 4- K 07 m ~

mm — I J m(m —

En effet , A = /« a, B = - " '

[m — ( n — I ) ] a ®. I .... (m — fl) ^

Ainsi nous pouvons écrire (0:4- ci)^ — x^ ma x^

m[ ni — I ) . . . . [ m —

a 4-, .1,4 p-di nivloq

— — o: etc. . .'jô

^ I A* ’ir.o Vy ■(!

' . il'}-' 3 J

Extraction d'une racine d'un degré quelconque,

•' ■' ‘t» -m 'vj! , >

La quantité qui, élevée au carré, reproduit une quantité donnée, se nomme la racine carrée de cette quantité. On appelle racine ruatrieme d’une quanldé A, une quantilé'B qui, élevée à la puissance 4, ou qui, multipliée 4 fois par elle-même, reproduit celte (juantité. * ■

— ^ - .. q ’ - oVluc.L .• ■ - hio:} il

AtcWôÎÆ.

^ ÿ’diii^ itidfiÿaei^’lâ à. rKà^bitüdé d’^écri^

■ .À ^"dê sbi^te ^iie rôn a B À.

Pour élevCT uii' monome à «ne puissance « *»* ;' il fant multiplier par 7^ les expnsanb ’des^ aifféfents facteu^^ qui le com-^ posent. , . * ttt o ’ ^ ‘

Ainsi iffP: . v-r = ^ ^ r

Ainsi, pour extt*âtfe~la racine /^^«“d'un modôme, il faut diviser çbapun desexpo^auts.p^i\/2, :

Pour extraire la ^bcjjiç f un , polynôme,, ij f^uj^.pyop rq^

cours au déveJoppenieqf (fu turvô/n^i^a ïi^thqde à suivre d.a cas. géncr^/élW analogne içellq ^ue l’on emploie ppprdelefmiüWll^ racine c^^rrée.duiç l^lynome^, opus. allons l'expospr pai^ -r, ^

àoit un polynôme |.n'>'"». ‘

dans lequel représentent des quantités quelconques.

Elevons'^e polynôme au carré-,^ nous aurons

^ ^ 4-2 (« + ô.)4^-4tC*^■

4* 2 ^ <i — |— b 4“ ^ Sj.

- vTX

d’où Ton conclut que le carré d’un pqlynbme , quel que soit le nombre de ses termes, contient le carre du prerhier terme, plus le! double-produit dû premier pai’ le deuxième ,»e te-, '

Proposons-nous malùtenàiit d’extraire la racine carree d'un polynôme A -|- B €, ojdonuée suivant Je^ .pubsances décroissantes- dêr £','^ ef représenton^e polynôme par P.-*

Désignons par a b 4- c là racide ordonnée de la même manière , son carré devra reproduire le polynôme P. Or, d’après la règle ci-dessus , parmi les termes qui composent le carré de ceue racîîi^èTcèftrd'affi fe^uefi a fendus bàSt éxp&ànt est évidemment ^ * j donc A est le carre de cl. Donc le premier teiXne. de la- raciite s'obtient en extrayant la. racine* car» ée .^du premier terme do polynôme.’propQsé. Ketrauchons de P leèarré'

de ce terme, le restêj.que j’apijelleiai R,< sera

Il devra contenir le double produit du premier terme de la ra-

Çf.rré du deuxiènie^

làcile dé voir que le dcuibré pradu'it du ^prêmTer térnfe*pâr lip deuxième do^it contenir .^ à un pJus haut -ejpoÿaut qu,ç parties de Rj jddnc 5 ‘doûbld pp^^ dçnc ié deuj((èija,e ^terme de la racine se trouve en divisant le premier termé du'reste par le doublé du premier ierine de ia racine. * '*•

Le même raismuieinept ferait voir que-'pÔHF trouver le troisième terme il faudrait retrancher du'polynôme donné le carré “de 72 ^ b, ■elrdis'iser le premier terme du reste pàr lë doub're^dé (ûf | , ou par le double de «. * • . o U'^ iioix

En appliquant ces raison nèîtiénts* a t*exirarliofn de'la Starine /2“«, le développement du binôme ferait d'abçrd voir latôv de sa compositionVet les rarsounements que nous avons suivis Jrour 1 extraction de la racine car rée feraient facilemenT Voir que lè premier terme de fa rorine s’obtientV'âprès* avoir ordonné le polynôme suivant les puissances déçji:pisgaDXes de æ, en extrayant la racine n du premier terme , et le second en divisant le premier terme dû reste. par n fois la • puissance

premier terme delà racine, ete.^.) , > — -y.) al

^ \ ■ ovv ,iUU i. ji: -U^-Hh■^0i

dègrTqfieîpon’qUër

*rY<‘ , *. ,ii ,ç.u i Ji.'-iSF

. équation du dJÇgV/?7« à^ une, seule mçonniiq pput être

ramenée à la forme • • - *

et en posant

. .-f ao V

on la ranienè à là forme . i-

iî r"'- "■ï 'iijù. 'i

cy t ; \

- + ^ -(-.Qa: + T J? + ? ^

dans laquelleP , Q . . , . sont des nomRrés. en tiers positifs' où négatifs. ficru.. ;nd

.qoanfîlé posifive ou négative, entière ou'^Tncominensu râblé, rétife on Tniâgiiiaire, qui, mise a Ta place dé â: dans Té-

quation , la réduit à une identité, s’appelle racine.de cette ëqiià-

lioir. ■ ■ - ' • .....CM: /U

lû: UCaÎ

I9fi

ALGÈBRE

' " 'Ôû recarde comme évident que toute équation a au moins une

racine. ’ ‘ , . , .

Appelons^Æ celte racine, je dis que le premier membre oe l equation proposée est divisible par x — « ; eu ebe , si 1 on efléctue la division de ce premier membre , on trouve pour

, ni «ni -|- P,« ï . . . + « -j- V ;

or, si par hypotlièse a est racine, ce reste est nul, donc la division est possible exactement. ^ '

Appelo. s X le premier membre de l’équation proposée , nous

aurons i , > . i î '

= (x—^n) X', en appelant X', le quotient delà divi^sioïi

de X par a: T- x i i • ‘ '

En continuant de la sorte, nous arriverons à la relation ^

qui indique qu’une équation du degré m a m racines. En faisant le produit de {x-^ a) par (x - b ], etc. , on trouve un d^elopptmeiil qui doit être identique à X , donc P — — {a tf -i- ,,,), Q = {a ^ -j- b c c a -l- , eic.

Quand deux nombres a , a , mis à la place de X dans x, onnent deux résultats de signes contraires , il y a au moins une racine réelle comprise entre ces deux nombres; car, en changeant

dans Xf X en .r -f-

or, il est visible qu’en prenant sutfisamment petit, on pourra rendre le terme cî (N + (ÎP + • • •) voudra ;

on peut donc faire croître x depuis a jusque a ; de manière ^ue le résultat de cette substitution varie par degrés insensibles; par conséquent ce résultat ne pourra changer de signe sans passer par

zéro. , ,

Ce résultat pouvant du reste passer par zéro un nombre impair de fois , il s’ensuit qu’il peut y avoir entre a et a un nombre impair de’ racines réelles. i • *1

Si a et a' donnaient des résultats de même signe, ou bien il n’y alli ait aucune racine réelle conip» ise, ou il y en aurait un

nombre pair. . .

Ou appelle limite supérieure des racines positives d une équation tout nombre pins grand que la plus grande racine positive

ALGÈBRE

de celte équation. En appelant M le plus grand des coefficients négatifs de l’équation , ein le nombre des termes qui précèdent,

le premier terme négalif i -f“®’^’’^^Msera une limite supérieure des racines positives; car la somme des terraés négatifs est moindre que

M (.r “ — ï» -f. a: “ — — I ^ J ^ qug

M ( — "il» I j ^

mais si l’on fait — /?, d’où M ===/>" , et qu’ensuite on

lasse or = ^ , rexpfession ci-dessus se éhange en celle-ci;

/;"-» [(^|ivn-(n-ij __ i ], oïl bien *

' * 1) - i '• <. fj: ; i , .î

quantité plus petite que ' ‘ i - ‘ '

Ainsi, la valeur i » mise à la place de x t rend donc

le premier membre positif.

Ou obtient la limite supérieure des racines négatives en^çhangeant x en x ^ et en cherchant la limite des, nouvelles racines positives.

La limite inférieure s’obtient en cliercbant la limite supérieure dans la nouvelle équation qu’on obtient en changeant x en -.

Toute équation qui aune racine imaginaire de la forme a -}- ^ ' — 1 en a une autre de la foi me a — S

î En effet, puisque a -f- S — i est par hypothèse, racine, elle devra, étant mise a la place de rendre X = o identique. Or, le résullat de cette sulisiitutioii, qui est de la foi me

— I doit donc être égal à zéro. Donc on doit àVoir M O et X O. Substituant ‘maintenant à la plnée de .t dan.^

.X'Ai:'2>Ma -valéuv^A^ êi*ff -M i-î t«ii'éJî(}l)«t"(fe-éétleisï())S#Rftion

sWâ^'Wdèt«in>^'t“ë^'al 3*M' —

zéro, piusque M et N sont nuis.

inu' 'mrr.i'î' Il

é^dèrtitnV’ht‘‘é^'al â' M’ — ^ f *' et ^pai*' Wfïe^'egÉfï^ a

■ il. ‘tiiii'jJ J'K:

• .7i*i ii t!' 1> >au >^} li/i

Théorème de Descartes, mut

Quand on passe d’un terine au suivant, on dît qu’il y a variait loii ou f^rmanence selon ‘qüerié**sfgne4hange ou qu’il reste le même. Cela posé, noiis allon,s dénipntr er qu’une écjuation quelconque, Complète ou incomplète, ne peut avoir plus de racines P^îsi|jy^|.q;i^ dç ;variat|(^^ J"

iiO i i*. .'.ititn

pu incpiOf prés^terai

Ici P, Q, R, seront des termes ordonnés^ comine à l’ordinaire, et .contenant une puissance de a; nv^ pn.^coerfir^ept;:des'pCfiujs indiquent des lacunes dont cliacune est remplie par des termes de même signe que celui qui la précède; c’^âl-à-d ire qu’à x cominei^e ‘n^e«sérr^^^ 'de Vignes *4* ^ÎPÿuiïê série dé si

signes^

ainsi de suite.

lu; jÀ

-^Potielnti'bduire daias‘ Féquation* une nouvelle racmé*pô^iive ^‘«Hl* fa'tt tdamùlti plier par Æ? d’opération peiR se di^

poser comme cpdessus.

vmohàrui "'îimii i;! Juad:**! =d ^ .i s >aii diioo* ?,.*