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Si dans I cqiiatiou X^p,p,, lait = ^ ^ ^ ' étant Wte

des racines de 1 équation, ou aura , o.> *u« <•

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200 ALGÈBRE

or, puisque a: ' est racine X , = o , supprimant donc X, et divisant par S , il vient

or, ô exprime la différence entre la racine a; ' et toutes les autres. Si donc l’équation donnée a deux racines égales a', l’équalion en S doit être vérifiée par 5 = 0, il faut pour cela qu’on ait

Les deux équations X = o et X' = 0 étant venfiees par une niêni6 valeur de x , elles ont un facteur couiiiiun.

On voit donc que, pour débarrasser une équation de ses racines égales , il faut chercher le plus grand commun div.iseur miire le. premier membre de cette équation et son polynôme dérivé,, et diviser ce premier membre par le plus grand commun diviseur. ^ “

Théorème dê Sturm. t..

Soit x = O une équation dont toutes les racines sont différentes , soit X' son polynôme dérivé , cherchons le plus grand commun diviseur.

Appelons y, ÿ', -r" etc. , les quotients success.ts. Changeons en faisant le calcul le signe de chaque reste, somnt R, R , K , ces restes, nous aupcns

‘ - X=yX'— R ‘ , ■ ■ . :

RO — n+i RH R'>4-> •

Supposons que nous donnions à x deux valeurs a et 5, et faisons croîire x depuis a jusqu’à S eu l’augmentant successivement de quantités égales à ^ ; aucune de ces’ valeurs ne saurait annuler à la fois deux, termes consécutifs' de la série X X R . . . , car .si R devenaient nuis d’après les équations ci-dessus, R', R, X' cl X deviendraient nuis, ce qui est impossible, puisque réquatioiï pi’o posée n’a pas de racines égalés.

Si la supposition ==:<^,aniinile quelques uns de ceS termes, par exemple, le terme R sans annuler X, le nombre des variations

ALGÈ’RR'E.

h r^îation P^îi* ces termes ne sera pas changé, ‘ car

... — Rn+i ' ' ï.'. .

montre que si'pour:<7 = <?, R n Vst nul, R n ~ ^'et R " -f i sont nécessairement 'de signes coiifraires, et ces trois qiiautités formCTont, quant aux signes, l’une des suites +0—,; ù — 0*4: qui donnent toujours une variation et une permanence, soit que 1 on prenne o , on avec le signe plus'; on avec le sigiïe moins.

• Si la snppo^ition = « ânmille X, il v aura une variation Changée en permanence; car si I on fait = « o%appelons A et A J ce que’ deviendront æ et x' , et désignons par ‘B B' B'' et par B, B ^ B''^, ce que deviendront les dérhés ’de X et de X' parla supposition ’de a? “ ^ -f iUiendra : \ ’

A = B + B' a' -j- B'' elc. A, = B, -[- B', ê etc.

Or pmsque « annulle X, on a B = o; d’ailleurs il est clair ***'*.'^ 7::^’ puisque ces deux quantités représentent les valeurs paitu ulieies que prennent deux dérivées égales nour .v = -f~o> donc il Vient

Mais on peut toujours prendre <î assez petit pour que A et A I soient de même signe que leur premier terme, donc X et X sont de même signe pour .r=« -f et de signe eontrairé pour.r = a ~ ê -, donc, dans le passage de la seconde à la pr^niere , il y aura une variation changée en permanence.

Or SI a: continue à croître chaque lois qu’il deviendra éiral à une des racines réelles de la proposée, il y aura une variation cnaiigee en permanence ; donc, si l’on compte les nombres de varianoiis correspondant aux suppositions a; = « et a.- = 6 la ditteivnce de ces deux nombres de variations exprimera le nom- Dre de racines réelles comprises entre a et

De V élimination.

Soit à éliminer o: entre deux équation.s, M = o et N ~ o contenant différentes puissances de ,r et de /. Il faut commence^ par enlever les facteurs communs monomes, et les facteurs romniiius en :r et ensuite en ^r, et pour v parvenir on ordonne les deux polynômes, par rapport à :r par exemple ; les facteurs

AjySËBRE.

ver les facteurs* commun s en x on ordonne par

Pour trouver les facteurs communs en x et^, on cherche le plus grand commun ^drviseirrv'et^'ésTlè ^èrnfeTâiriseur obtenu cppiieiU ces factipurs GQmipun^;^nopssyppuspps

miner x gntte c^es dep^x ppljnôm.es ^

■phrj g .et"ppup, ^hpççh^ J^e plus grand ipom^p

£aj]y^ç, tirée cejtje“égi|ajipn annulle X Bpnp^ pp . sji^tituant jgetip âa ^s. ,* ff

c^înuD, puisque |e Teste pstpul^pt ^ront annulés par une pippae Valeur dé X. Celte. valeur pe ^ jointe à celle dej^ yéri^rj^ f’fqiilfj’' tion proposée.., ^

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