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ClNQÙiÈMÊ PARTIE:

GÉ(^ÉTRiE Àivitxïi^ïifcV'':1;r

DES PROBLEMES- IXÉXERaÜîîÉS.

•- îo-f

On appelle géomêlHè àhàlÿtiqU'è la p^riie des' mâïHétnaiiâ®" qui a pont- but d’appliquer l algèb'fè ria'ï'ésôtütiuü diiVaï,'SiîÔns de geometrie. ' ^ < n?; ; ^ t >

Les lignes, les su>fades,Mè's 's61id« Pü?ynl'étrè' ^ a une uniie de mesuré, et évaluée èn*nôtnBres'lioùi-'pfefdé'’g^^ neralite; ces nombres peuvent ^ré ré[br(és%ôleli‘ U£(r’Bés lettres W des lors on cônijoit comment les graUde.itÿaë la gèbUiélrii p‘|âî ‘ vent être soumises a tous les càlcul^dë l’ali'êüre'ët de l’aVitR^ tique.

Il arrive souvent qu’une question de géométrie est si fédifé'^à' etlre en équation qu’il n’est nas {wenin' rts» ^

.use .cituii, un uesignera par- d la ligne ddhiiée et paf a: ]q plus grand segment, alors le plus petit sègfnW"seW«l-l^^ et d apres 1 énoncé du problème on pôséra'iie süïtè ‘

^ == il ( a — a: )

d’où l’on lire

area:=- ±y/^

La seconde valeur est négative et ne saurait convenir à la question . car il évident que le segment' cherché ne peut

JC

GÉOMÉTIUE AXSALYTIQÜE.

Il est clair que quand on aura évalué en nonibre la ligne donnée au incyen d'une certaine unité de longueur, il ne restera J3U1S qu’à exécuter les calculs indiqués dans la fordude précédente pour connaître le nombre d’unités linéaires contenues dans le segment flierché.

Dans le cas où J'on n’apei coit pas immédiateineii^ l’équation cherchée, il fauî^e servir de la règle suivante posée par Newton.

Quand un problème est proposé, il faut le regarder comme résolu, et comparer entre elles toutes les quantités qu’il renferme sans aucune distinction entre celles qui sont connues et celles qui sont inconnues, examiner ensuite comment elles dépendent les unes des autres afin de reconnaître quelles sont" celles qui étant données pourraient conduire à la détermiiialion des autres; il sera alors facile de mettre le problème en équation. • m;

Cependant l’application de celle règle n’est pas toujours facile et il arrive dans beaucoup de cas que l’on est obligé de tracer sur la figure des lignes auxiliaires qu’il faut exprimer d’abord par le moyen des ligues qu’oii regarde comme connues , et dont les valeurs doivent ensuite entrer dans les valeurs des lignes qu’on regarde comme inconnues. Alors les calculs, deviennent embarrassants quand ces valeurs sont compliquées d’un grand nombre de termes , dans ce cas on modifie la règle précédente comme il suit ; '

Ag'rès avoir tracé sur la figure toutes lès lignes connues ou inconnues qui se trouvent dans la question proposée , 011 mènera les lignes auxiliaires qu’on jugera, propres à en faciliter la solution par l’emploi des. théorèmes de. géométrie. Ces lignes auxi^ lîàires seront de nouvelles incouiiues que l’on considérera comme si elles étaient dans l’énoncé même de la question; alors on posera les équations qui lient entre elles toutes les lignes de la figure. Quand le problèmé est déterminé , 011 arrivera toujours à un nombre d’éqiialion égal à celui des ligues inconnues, et le problème de géométrie sera ramené à la solution de ces équalions.

Des 'valeurs négatives des inconnues. - » -

En résolvant l’équation précédente

- X ^ rt (a — r- -

nous avons trouve potirv^-deux valeurs, l’une positive et î’autrs

liUOMÉTlUE^ANALYTlQÜP.i

négative ; cependant l’énoncé de l’équation semblait ne laisseï* prévoir qu’une solution positive. Il est important de reconnaître» ce qui indique la valeur négative de a: et ce qui a pu l’introduire dans réquation ; or, pour s’en rendre compte , il faut remarquer que partager une droite en moyenne et extrême raison c’est* (üg. 8) partager une droite AB en deux parties AM, MB, de telle sorte que le segment AM soit moyen proportionnel entre la ligne entière A B et l’autre segment M B. En posant A M MB=a — X , AB = a, l’équation du problème est :

>» ' !#; -‘ i 1 ! - r Ij

d’où Ton tire les deux valeurs j i .! . ,• . ;

Ba première est positive et moindre que a , elle détermine «n point M entre A et B. La seconde est négative, et par cette raison ne saurait convenir. ' < ^

En changeant dans l’équation le signe de x elle devient * d

et prenant positivement la valeur de x qui était tout à rheure négative , on aura l’expression

- Ai s

qui devra satisfaire à l’équalion précédente; or, celle équation est précisément celle qu’on trouve si l’on cherche sur le prolongement de la droite B A, au-delà de A , un point M^ tel que la distance AM^ soîLmoyeiine proportioniieile entre la distance B ML et la droite donnée AB De là il suit qu’en portant la valeur' positive de X du côté AB à droite de A , et la valeur négative de^ X prise, abNtractîon faite de son signe, du côté AX^à ganche de A , on aura tontes les solutions dir problème proposé, généralisé ainsi qu’il suit :

Sur nue droite indéünie qui passe par ’deux points donnés , A et B', déterminer iin point dont la distance au poiut A soit* ‘entre sà drslanèe'à l’autre point B et là'^

;lj dif 1 : wï : ^.-u: - ; èftoK

ig

rapycnïitrpTopo'rtionnelIe

SOa- GÉOMÉTRIE Ars ALYTlQÜÈ T

distalHîe donnée A'B. On atirair|iu jiro'poséé ff’àBÔnd'^cé detniér énoucé^ alors Considérant le'prôbléinë ’éCthiiié fesolü^ët supjpÿsahr que le poiM'M en renipUt'- tôùtèSTês C6ndit&hé ^ Wonk djifiBiiV fait eiieore l'iircohnué AM~ ffôds sè'Hbn^^'afri'vfe'â’îH hiéni'e^

équàtion era^^ mêdiê^ vâifeîrfk*'dé ic* ~

^ .. ' !' n r. ■.ra’-in

’yr- .--OC;-- ' -.

^ A. •'(rji!'! P.i

Mais dès le commenceia eut .no^s avons introduit une restriction étrangère à rénoiicé, car nous avons assujetti nps supposition que le point cherché n’éliE^^t^c^sf^à^^éo^it?3^îek pbrtlitV A et B. La valeur po§itise..esLia seule qui réponde à cette hypothèse, et la valeur négative étai\|t prise^positivement, et portée du côté AX , opposé' a "celiri où l’on â ^^érchê' le poiut M , déterminera la seconde solution du problème.

rrAinsiy la ^Uleiir négative sèrt tantôt à ^eompléter^feirésolutibn d’^ problème dont la question, proposée n^atfTqsi’Utr'Gas p’aTticii*' ■ lier, tantôt à élever une restriction introduite . pour psuvmr iaire*les raisonnéménts et les'ealeuîs. Mai$ce-c|u?il faut remarquep dahs tous les cas, c’est que cette .valeur prise en grandeur absolue a été portée du côté opposé a cèiili ou devait être située la distance, cherchée, ■:* ■ ^ - r 'Aot ^