PROBLÈMES INDÉTERMINÉS

Moyens de représenter les lieux gébmétriques par des équations,^

: Am d 7:;=' > ; o-r r > nj) •'>

^j,Oiia vii em trigonométrie que , ^ a

A,et cos.^-aj^^A>pq auw^

deijnière équaliou représ.enie un hep. g|oniélj’iqM.e , eqt'.pclfo ^®î-c> latiôn a lieu ponr-^tous les points de la ei^pn^éç^nce du cerclé^ dont le. rayon est R.» et n’a lieu qup^ pourjCes ppînts,. ' j ^ r Oajü4^t doue qu’il est- possible de,r.çprçsenteryUne cpurbe.au. moyen d’une éqûatiôn à deux inconnues. Pour construire le? dbj,. férenls points de cqlle courbe ou donne une ;cert^iue , valeur à l’une des deux quantités x ou./ que l’on appeile.yariable^ et l’on tiçc la valeur derautre; on peut remarquqrjci qu’elle a deux valeurs. Nous rivions déjà remarqué en trigonométrie, càrVangle

ASAlimiQÜB

/ S<>.x-: A „ inàÂs lé&.c0si0us,dà«es>d«nx‘aa>gl.ei-^nt (fe ^iies eomraires. ,, ' t -•

‘ '-.f O — ^ 1*1 w C,.» U'îllG i iivL , ij ; - u

DES coordonnées.

Pour fixer sur.iin^iJa^iî h posHion (J-’ini point M (fig. 9), on trace dans ce plan 4e«.x droites XX', TT', 01,0 l’on npmine -axes; ' et' l-on‘ éonsirfèrè'-"pe'' j,dl'dt '‘comme lë’soiïimèt "d’un paiaHéidgramWe ÎMBO' A; do’iît ’aei ' cÔtif prd- +07igês. la-'diJtandd-M-A’dii SBÜ‘ %à'ré‘'iiO çst"df.f if’‘dfesci6ss point M, efla distatlt'e'M i ■OU 's^’iàfêVfÔ esÉ&tTl’drijpBoee t e ce point. L’abscisçe et t'orrfônnçe '^Vn' Voirii sdrrt donnêes^de ce' pbinf(el‘iè pdita^^ Ô ou lëâ àx4“'‘^e"cÔ'upenU, se nomrae l’origine dèrcOôrdowéès. " * ‘ riiw. r toi ...j

eoffi

tf > t ^ .F'rr*V/v9 itJp qUSCISSÇS

mplees de‘ 0 -reM'lC oC'ëddîme ' négative^ pelles îqùi sont compté dë'O çers X-'; de niÿihç%'.i‘'ÿêp?de cpmmç ^ositiïÀ

les ordonnées comptées dfe O'v^fs “y 'e^'c'dmVe m^^^^^

qui sent comptées de O vérs'¥"''’D"dprësi;® ï^h'coiisidei'e y jKHiits M, M'., M", , 'dont le? ^coor'donnéos' aiént les

mêmes. Talews' irtisôluës '’à? .■et>‘','’’celleï- Ju point.-M's^ont 4. ^ K relies de M' , ei 4 /;‘éilte/îde

— et — ^^/4el!cs de .seront 4 et' ■■jT. ■ ’ ^ '' '

Ainsi la position d un pofiit ‘sur Hm^"pfan ^est ' pârèîtemén^

cminne quand 01, sait la vajieur ^solue et les ' sSnes 'ses coortlonii'ee*. ■ " ■' J. ■*. - v — r. -i- os/ ^ **

L axe Y'Y^‘‘se nônkne Taxé' dès ordonnées mî* Taxe d*^ et l’axe X\' celui des absci^^e? ou l’axe dcs>. ^

Transformation des coordonnées,

. » — U ; il:.'-, 'îK ,.v 11 in -. *-

INous avons vu que l’^qw^tiofij^u cercle rapporté à deux diamètres rectangulaires; etâTt -j- ce' caVles

2 d.ametres sont les deux axes et YY^ rectangulaires auxquels la courbe est rapp6çtée, ^>irppq§ftns que Ton, veuille cfi'erclier 1 équation du cercle rapporté à deux axes parallèles aux prenners; appelons a et ? ^e.^Côiii dpnnauçes'^dé cétie nouvelle qrigine (nq. ro). Soit Ole ceiilrcyM un point de la oirconlérr nce. Me-

nons O E , M P, perpendiculaires à Taxe AX, et OQ perpendiculaire à MP. Le triangle OMQ donne OQ^ “-l- MQ* = OM^"; orOQ = AP — AB==a: — «etMQ = MP — OB=^— g et O M = R , donc l’équation du cercle rapporté à ses nouveaux, axes est :

* Ce procédé de tran‘iformation est général. Pour trouver Téquation B d’une courbe rapportée à de nouveaux axes parallèles aux premiers , il faut dans 1 équation A changer a: en .r — a et y en J’ — b ; a et désignant les coordonnées de la nouvelle brigine rapportées aux anciens axes.

Passons au cas général de transformation où Ton change en mêrtie temps l’origine et la direction des axes. i . Soient ( fig. ii) Ajt et A / les axes primitifs qui forment entre eux l’angle 7 A .r = 6 ; pour déterminer les nouveaux axes A^:z' , A^ y', il suffit de connaître les coordonnées AB , A' B d'e Torigine A' et les angles A' F, y A'F , que ces axes font avec la droite A' F parallèle à Ax; désignons ces deux coordonnées par a et et les deux angles par a et a'. ,,

' Soit M un point quelconque; menez M P parallèle à Ay et MQ parallèle à A' y', les anciennes coordonnées du point M seront A P = .r , PM = et les nouvelles seront A' Q =

MQ==y. U

Par le point Q menez QR parallèle à Ajp et QT parallèle à A or , on aura :

AP on a: =« + A'S 4- QT, PM 011 ^ = é -f QS 4- MT. D’après la trigonométrie, le triangle A'QS donne :

siiiA^QS sinQA'S sin A'SQ

. Mais A Q

Sin A' Q S = sin E A' ^ == sîn ( 0 — a ). Sin Q == sin a.

Sin A' SQ = sin ( 180 — 0 ) == sin0.

Donc

sin — a) sin « sin 0 æ' sin (0 — oc) as' sin a

sin 0