I - ;S- ; ,/.,Sh

JOe ta ligne droite.

Une relation quelconque entre deux variables x et y, exprimée par une éifuation , représente généralement une courbe. Aussi le nombre des diverses courbes que l’on peut ainsi repré- «enler est-il infini.

Ou appelle courbes algébriques toutes celles qui sont repréentées par une équation de la forme Ay"‘ (P>a?--Lc)

y ra.i ^ (Da52-(-Ecc-{-F) Y ra;2,, = O. et tran^cendaql0S|tp>ites

On classe ensuite les lignes algébriques d’après le d^fcé de leurs éq'tfa^fbtfà ji^â^Vapport aux Hdrdopueer^'el'ÿ,*'i’ la li^iie est marqué. par l’exposant de celjegré.

^■Nüiii'iti'uÿ'*éontenlérotis ici*'(i*étudier le^ fc^lirbes* i^épt^rm'é dans H^écjÜatîon ^énéi'âlie' dit Sècond tlègî’é,*' A y* dc y + Pr + Ecc -f- F O. Pouf** passer en revive les différentes figures que celle équation rêprésenfe, ' nous ^i^roiTS^sn'é' "divers coefficients qu’elle renferme diverses hypotlièses / et nous commencerons par^ âiipposer A==(>|‘ ^ =yoi ’ et , G ce. qui

ramène l’équàt^p^au premier dégré^^î,^âivîsant iousr1es termes

rmees

restants

;tsVtio*I

par le coefficient D , il vient :

: ao . J ia . y , .

) /'. • (.5 * > iii 1. 1

a^. b Os 0 ; ,

Pour simplifier encore, sti‘p‘posons h — o.

L’équaiion^ -f- a ar = a* représente une ligne. M droite, passant par l’origine des coordbî^njç^ ; et'^rèquatîdn^"^- ax b — O ^ une droite N parallèle à la première, et coupant l%xe'des ’x èo' pdint dont i’^drdôn née 'est -^’è’èsi * cé' facile de^rénô'tH'.^Q - ' u«>,' v;ipiiMu «'»-Mîtiub‘ïoc. > «■vb omt/iev'

On peut proposer sur les Jigne§ droites •plusieurs problèmes intéressants; comme ces prjoblème.5 ne^présèntvnt ^as de dilficultés, nous n y insisterons pas. On peut demander, par exemple, étant données ^dëuî^i^üâtionii*'»^’^ lu 'mo i

de trouver les coordonnées < des ^ points- d’interseetioii de ces deux droites: c’est chercher les valeurs de æ et de y qui satisfont à la fois à ces deux deux droites , etc/ ^ *

équafion&^l do,dét,ermi^ey |’angle de ces

Lignes du second ordre,

t 'f J f-, r. / Al ■ • ï»Oü

. ;i,’sqiiativw g^Bér3l,ç,!}n,5ççoa4, «legré.idçij^ç.Yàriablef : 4;»'“ é:

4r .ç,iï,? Hr,I>j(î .+ B'? é».ï;.T?T ?, 44»! résolue à y, donne; ' .i /.li b : ^ ry. -

~^yU:/rl f:,' ; -i • r • a.’îta.-» 'Mi-K.iRuO

^ Ui jji V' i i i 'i; <'<*,’ 'ïtii/ v-

Ci 3

i£ti —f'™ À

** «» -—VI /v V

que l’on écrit ;

5i iiRi, V. -IMI ■■i..-.o..iVi :,iA t :, J^

Pçflijçoiijt/iiipf la.cflH^lje.feliréfçn^ç P.?!; ÇSfte équation «. il est évident qu’il suffira de eonJtniire la droite y — û .r T'7* et de porter au-dessns et au-dessous, sur une péraltèlè'a^l.’8xe 'des Y, deux longqfui;s.«S,ei ?î; égalej enlj-e elles „ et égales à la

'■“‘^ür R7Î!î"!fÉ'f„3"« PTpd rexnressiop G \/ta:^J^px-\.Ç-,

. L® *’®e"PS Pÿ*!?* tdütés lés 'côpdés p'dpallèïe^'

al’a-.--i:^és ’S‘ (/rgfi 2j. . . r. .-^ f

La forme de la courbé déjietld des toètüriénts * ,'jiJ'; ■■'■ ‘i X

-y ^ « est négatif; .t ne peùt„ngs,,çrqi«f .indéfini^eit ; ®nJe e démontré en algebre;,.pans ce das Jp conïbe est-fermée, caç eUe„')ie.sl limitée dans Joua. les sens. ^ • j ^

, Si „ e4 p,,si,if, la courbe ,^t illimü^, <1;^’ totJfes^seC" cest-a dire dans le sens des X positifs et négatifs, et ‘dans celui j^’^posîtifs’el ifegatift. ■ '•- •■•lisî ■10,10;, uO

Si n = o' on a ü q\ si I’5n'|frénd :r d'e"inéme

signe que/i, le radical seita toujours réel au-delà d’une certaine valeur. Si on le prend dejigiie contfaire;'‘de radical devient imaginaye au-dela d’une certaine valeur. La courbe sera donc

llIXiltee anns un cs^n(^ J

limitée dwf HO sçflÿ;, ijjiqiitée jiaps,(’^4lpe.^^,^

"‘•^fmplljtialion de- l’éàiiation géninûe ' ei.oii'ooéi

■ ^ . >■; t G) A ,.â-,v,;; ; urn^.-, i„p ,,

En franspôrfant les axes’pàfàllêlein'enl a 'eu.^imêtnes V ce qÜT

Comme nous niavons rien spécifié sur« et.A,^ nous ponvoiii‘-’ delermmer ces deux longueurs par les conditions suivantes :

aA^ + Ba-f D = o, et +

^AE — BD aCD — BE ce qui donne ^ -- 4 A C ’

or nous savons que B^ — 4 A G a été représente par n dans le radical V//Tï^+7^T7; ““ f'®'' ««“^équenl que la simplification n’a lieu que pour n ^ o. Dans ces deux cas, l’équation simplifiée est de la forme ■ • '

Ay='-|-Ba-'y + C^'’ + Q = '’- " ’ '

Cherchons encore à la réduire en employant des coordonnée» ayant mên.e origine, mais des directions d.ffereates des pre^ mières ; pour cela remplaçons par a: cos a r sin a ,

/ par x" sin a cos a, il viendra:

A cos? a G sin 3 a — B sin a cos a

yi2y 2 Asinacosa

^/jy'y-Asin

— 2 G sin a cos a

-j- B sin a cos a

. — Bsin^a ^

On pourra faire disparaître le terme en ^''y'; car en posant.

2 (A--C) sin«cosoc-l-B (cos-'a— sin=a)==o, on en tire.

, . Tang. 2«=— .

Ainsi dans les deux premiers cas, l’équation generale est de

la forme M -j- N 7^ + Q = ,

Revenons sur le cas où le coefficient n du radical e» ,

ce qui revient àB-=4AG; et portons dans la formule générale les formules de transformation d^ ^dmectio^^^

données; , , n • •

x- = x" cos a — y sin a, ety =y ' cos a + -r sin ^

il arrive :

Acos3a ^ j 4.Gsin3a j — Bsinacosa t