JI-2 I

aAsinaCûSa oc" y' Asin3a

2 G sina cosa

.y Bcos3a -^Bsin^a

y-Gco>3a . , y, Bsinacosa tl I

Cl^OMÏ^TRIE ANÀ'LYTrQtTE? 215

équation que Ton peut écrire pour simplifier 'de la macièré suivante : ^ î . i s T

A'y'-+'ii'a!"y'4.c'x"= + Q' = o;

or si l’on dispose de l’angle oc de manière à pouvoir faire disparaître le terme en .r"/' , la relation -^‘4 A' C' = o nous apprend que l’un des coefficients ou disparaît aussi*, de sorte que réquation se présente sous la forme ^ «5

Maintenant transportons les axesiparayèleraent à eux-inémes, en posant y" ^ y" -f ^ ^ , uous aurons : ^

+ ( ^ My 4- N' ) r'" + P rvy 4- P' C7 4- 0')= O.

Ne pouvant détruire à la fois le terme en r"' et en x“' , puisque P ne vaiie pas, on pose;

2 My + N' = O, et My 2 4- Ny + P.' q 4. Q' O, ce qui réduit enfin l’équation à la forme ‘‘ ' ’

DE L’ELLIPSE. 'V ^ ^ i 4

Nous avons vu que dans le cas où B^ — - 4 A C est plus grand

jpie zéro , l’équation générale du second degré peut se ramener à la forme , y e ' * i .

^ En éfiniinaut a: et r entre cette équation et l’équation y =za x d’une droite P O P' passant par l’origiue, on obtient des valeurs égales et des signes contraires, d’où il résulte que les deux longueurs oP' et O P sont égales; ainsi l’origme de ces données est lic centre de la courbe puisqu’il divise en deux parties égales '.outes les cordes passant par ce point (fig. i3). °

Si l’on résout l’équation par rapport àx, par exemple, on trouve: . ,

eioMÇTRi;^ ANALYÏiqiJ»,

.pou c^^fainp valevr^ de Jj'i>wye

pour !:r deux valeurs "égafe et dé signés coiilrdires; ainsi Ta^e^^s Y divise en deux parties égalas les çot'deç par^allèles à celui

des X. On têrmt-àë%"^êràe‘4u^l’a'ke’^üès Xdiiv^e en deux partoUlf^s Aes^xoïdfc? parallèles , ^à Jîaxe des Yli J-és detix l.igne% A a! > ‘ ^ P' ,* s?ap pelleut les , px^es de la ceurbe ; . < si nous Je3 ,^epTésçJiJlofts;par.deP lettres ^;aiet 2 ^ nous aupons

R , " Ri':.. *•

, ei b^ = ; et par suite 1 euuation deviendra :

Telle est^ l’équatiô^ de la courbe appelée ellipse rappo^r^ée à son cjentre^et à ^s'âxés. t >. *" !" > ^

i. iiO

Foyers» Ditectrices,

t>aoq uo

iM ÿü ^

Spdu point B; coniîne c'en tre on ’décrit un arê der cercle avec un rayon égal au demi g^apd axe coi|p^ad;arc desj*

en deux points F symétnqueln'ent plkcés des deux côtés de l’axe des /. Ces points^ y appelés , fdyêl^sV Jouissent de plusieurs propriétés que nous allons examiner (fig. i4).

Appelons c la distance F^-o^<Mijspii;égale F' o, nous aurons c2 z= a2 — 1,2 • cherchons la distance d'un point M situé sur la ÇQ;aî;|?e cVacunjies Joyer^ ^ ep désignant par f çpor-

^onnêe^dp j'poTnÇ^ %us aiiymis^ à cause, des jtr jangles r<^tapÿ,e^

M F' M' et M F M', les deux équations M E' =

et M F = |X'r^4- («»— ; rcrnpîacant par sa valeur tirée de

Béquatitni'dd la: courbé y ‘li aient M’ F^ =

.iJd.. t..iîda np ..q M

djpp JloRtire M.RLt1t7 MF en appelant rayon

yeçte.uç.tpyte dwté partant dîuMlqyerjet aboutissant à da.courbe, opipept dice^;^ la, somnie desldepx rayvms vecteuss, menési^^^^ même point de Tt^llips.e ap.deux fpyeqsy est consîante.ct/I rr/ui imb dé votr'!niaini,enanX (qu.Çy pauivdécrii^ nne^ellip d’un mouvement continu , il suffit de prendre un cordon,! délais tacher à deux poiirtsy^xes FF^,~ap^^qs J^’avoir fait passer dans un anneau. En faisant glisser cèt^anneaW snf un plan passant par les

GiiaMlÈriiij^ Ai?A£ffîQüÉ'

dëte 'poititTP'V, arm^sïèVé 4'^ irc8?aô{?; fe' èa^pk »;ou.u r,e,«-ései,lu-a ,«ne.eUipseL ^ ^

Après avoir pria Ja looguem^oÇ égal«.à,4’ .«leivonfr^aoe perè

peiidiciilaire CD; ce sera tine’direciric.e de l’ellipse, c’est-à-dire que le rapport de la dîsrande.M:Ftâ là lofnglTèlir de la perpendiculaire M D, abaissée du point ÏM sur la directrice, sera cons-

l’aurre direc&ièi; èst situêè’dè ralifi^'é^l^ de.rkedesVerà ùne égfïrté^dlSla!«^. ' <•’ *î ,oi9i(îT-.na yj 'yHQliîj^f

f, T —— iiisi i\\ SW r>i :>n tb [ i <•> io7 pnoJ io ;<it >o:> ^

Tan^ntCLS normales.

L’équation d’une drnite'qni passe par deux points, dont les coordonnées sont est :

".'>'*1 ^5î?rTr.tc>üTrn:' ‘•■■i' tytnôlzTf: ^rj’b 7î?of? ?;‘.*?xîîX5'to1

Si 'ces-déux points;sont sur: Jr’eïlipse^ on a^^ifî '),Vviî n.? ,4 sî:

, . ^ Osibruvl

d-o'u % ■■(; jj'iii’ijil pâPs^|t’,'J'';'J

oBa» ytiJ lîo’l ûù'h

?.oo

’équation Je-la sécante e&t donc de la forme. i t a

, > , ^ . ,. VliiJ! ItiO A

' * i J» J b J >'îb.v •- r f. c fü9 » ?ü9 - r> s înS’iC^

rôi la*'sécant<: dévient tangente^ ie$ pointsv djlntersectionAse réiioirdiit enr un‘ seul y. dn.aupa âît«=a éu';' y «ü et l’équalionr. de la tangente sera : ^ g

[ ' ' ■ JiZfp’ ^loi >, ^1 ?-iUu/r

■'rjH

^^(•® bien '«îTOfHjfn 3Uf

a* y X e^%ssii.a^ h'*\

;t}u/îoî Aii

GjiüjiÉrm AJNALïTiyui^^

La tangente trigonométrique de l’angle nue fait cette droite^

avec Taxe des ^ étant , il en résulté que l’équatioir

de la ïiormak', passant par le ntêiué point, 'est: l

-U tl JiMr r. ul K l.J’j.l J 7)2 v i

’ * w . ^ ..K ( K -riiiJ

.à ut, uu ,<t :nu,lu.

En effet n étant l’équation d’une droite P Q ,.

,m désignëTa tangente de l’angle co (fig, i5). ,

y = m' « 4- «' élant l’équation d’une droite P' Qi, perpen-l diculaire à la première, on a nJ = tang w^, et, par suite ^t» égal à cot w, or tang w cot w = i ; donc ici m m' = — i ,

d’où l’on tire enfin

.31 itK.b .;:.3u 1 . 1 f

J > ■ V. , ç •3‘ ’-rM <• '‘Hüt >lyiOü:>

Diamètres^ r

Les formules pour passer d’un système de coordonnées rectat'.gulaires à un système de coordbùnées obliques sansv cliangei .

l’origine sont : » < v . i

Y = X* sin oc -j- siù ^ et .r = xf cos a + y cos, S; en sub-

stiluaiit dans l’équàtion de l’ellipse ces ^valeurs de^a:^ct de.y^,^ il viéiit * ■ ‘ ‘

«2cos2a I :c'2 4-«/coVg.| yla ^ 2a?cosàcosS-j