COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

^ Théorème.

Si deux forces quelconques P et Q (fig. 20) , parallèles et de même sens, sont appliquées aux extrémités A et B d’une droite rigide, je dis que ces deux forces ont une résultante, et que cette résultante doit être appliquée à la ligne AB entre les deux points A et B; que cette force est parallèle aux composantes P et Q, et égale à leur somme.

En effet, on peut appliquer aux deux points A et B deux forces M et N, égales et contraires, et qnl agis-ent dans la même direction A et B. L effet de ces deux forces sera uni, et par conséquent l’effet des deux for-'cs P et Q ne sera pas change 5 mais les deux forces M et P, appliquées en A, ont nue résultante, dirigée évidemment dans Pangle M A P. De même les deux torcesN et Q ont une résultante T , appliquée en B , et dirigée dans 1 angle N BQ. Concevez qu’on ait pris ces deux résultantes et qu’on les ait appliquées toutes deux au point D, où leurs directions vont nécessairement se couper, la résultante des deux forces S et T sera absolument la même que celle des deux forces P et Q. Or, étant appliquée en D et devant être dirigée dans l’angle AD B, elle ira passer, entre A et B, en un certain point G , où on pourra la Mipposer appliquée.

Maintenant il est vidble que cette résultante est parallèle aux forces P et Q, et égale à leur somme; car, imaginons qu’on décompose en D la force S en deux M^ et P^, parallèles et égalés

à M et à P. , , . , 1

Qu'on décompose T en deux forces N', Q', égalés et parallèles à N et à Q, les deux forces M ' et N ' se détruiront ; il ne restera plus j^u’ime force égaleàP-j-Q» parallèle à chacune d'elles, 1 •

Si les forces P et Q sont égales , if est évident que le point G

sera sur le milieu de AB.

Il résulte de là que la résultante de tant de forces parallèles qu’on voudra égales deux à deux et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d’une même droite est égale à la somme de toutes ces forces , leur est parallèle et passe par le milieu de la droite d application.

Réciproquement on peut décomposer toute force P, appliquée à une ligne, en tant d'autres forces qu’on voudra , pourvu que ces forces, prises deux à deux , soient égales et à égales distances du point d'application de la force R.

Théojrhne,

Le point d’applicaüon C (fig. 21) delà résultante de deux forces parallèles P et Q, qui agissent aux extrémités A et B d une droite inflexible A B , partage celte droite dans la raison réciproque de P à Q , de sorte que l’on a

éléments de statique. 227

Supposons d’abord que les forces P et Q soient commensurahies, c est à-djre soient eiilre » Ibs cotome deux nombres entiers m et n; divisons A B au point H en Jp.ix parties, directement pronorl.OMueMes aux deux forces PeiQ, de manière qu’on ait A H : B H P : q, et par conséquent m : n sur le nrolotigerneul de la ligne inflexible A B , prenons A G = A H, et B K —

B H , le point A sera le milieu de G H, et le point B le mdieu de H K.

Cela posé , puisque les forces P et Q sont entre elles comme les lignes A H et B H , elles seront aussi entre elles comme les lignes doublées, c’est-à-dire comme GH et HK; et comme il y a par hypothèse dans la ligne A H, w mesures telles que B H en contient^, il y aura ^ m mesures dans GH, et 2« mesures égalés dans H K. Or, on peut décomposer la force P en 7.111 forces égalés et parallèles , appliquées aux 7 m points milieux des communes mesures de la ligne GH, et la force Q en 2 loi ces parallèles , égalés entre elles, et aux { remières appliquées aux 2 rn points milieux des communes mesures de la ligue HR. Maïutenaiit, toutes ces forces égales, étant équidistantes, sc irouveroiit placées deux à deux à égales distances du milieu C delà ligue eiitiere G K, et par conséquent leur résultante générale, qui est celle des deux forces P et Q, passera nécessairement par le milieu de la ligne G K. B

Mais a cause de GC — A B, il vient, en vetrauchant la partie commune AC, B AG = AH, et en ajoutant de part et d autre HC, AC = B H, donc puisque l’on a

P : Q :: ah : bh,

on a aussi

P : Q Bc : AC.

Supposons, en second lieu , que les deux forces Q et P ne soient pas comraensurables.

Je remarque d’abord que la résultante de deux forces quelconques P et Q (fig. 22), appliquée aux points A et B, tombe enC, la résultante de Pet d’uue force Q-t- I > Q tombera entre le pomt C et le pointB; c’est-à-dire qne le i.o.nt d’anplicatiou de la résultante approchera du point d application de la composante qui sera augmenté. En effet , pour trouver la résiliante des deux composantes P et Q -f I , on peut prendre d’abord la résultante R de P et Q, qui passe au point C par hypo-

228 ÉLISMENTS DE STATHJLE.

thèse , et ensuite celle de R et I, dont le point d’application sera

Maiiiltnant si la résultante des deux forces incommensurables (fig. 23) ne passe pas au point C, qui est tel qu’on a

P ; Q :: BC : aC,

elle passera ailleurs. Supposons qu’elle passe en G. . . .partagez la ligne A Ben parties égales, toutes plus petites que GC, il y aura au moins un poiut de division entre C et G, Soit I ce point , les deux lignes AI et BI seront commensurables , et le point I pourra être considéré comme le point d’application de la résultante des deux forces P et Q', qui seraient telles quon aurait

P : Q' :: bi : ai.

Ce qui donne Q ' > Q , puisqu’on a par hypothèse P : Q :: BC : AC ;

mais la résultante des deux forces P et Q' passant en I, celle des deux forces P et Q >Q' passera entre I et B, et ne pour

tomber eïi G contre rhypothèse.

Il résulte de là que quand trois forcesP, Q ; ^ pliqiiées à une droite et flexible, sont en équilibré, R est égalé e opposée à la résultante de P etde Q; c’est-à-dire que P-[- Q = R, d’où Q=R — P*

Les deux forces P et Q étant données, ainsi que la distance A C qui sépare les points d’application , si 1 on demande le point d’application de la résultante Q , on fera celte proportion

P : Q :: B C : ac,

d’où l’on tire

p + QtQ ::BC+AC:AC;

c esbà-dlre

R : Q :: ab : ac, , •

proportion qui fera connaître A B, et, par

Si les deux forces P et R sont égalés, la résultante Q est nutle,

et la distance AB c’est-à-dire, iiiBnie, expres-

sion qui indique que l’on ne peut trouver une force unique qui fasse ’équilil'^ parallèles et de sens oppose.

Eléments de statique.

I)e meme que l'on compose en une seule deux forces parallèles qui agissent à des points donnés d’une ligne, on peut aussi décomposer une force R, appliquée en un point d’une droite inflexible, en deux autres qui lui soient parallèles, et qui soient appli(|uées à des points donnés.

Quand on sait trouver la résultante de deux forces parallèles, on peut trouver celle de tant de forces parallèles que l’on veut , et il est clair qu elle est égale à l’excès de la somme de celles qui tirent dans un sens sur la somme de celles qui tirent dans l'autre.

COMPOSITION t)ÈS FORCES DONT LES DIRECTIONS CONCOURENT EN UN MÊME POINT.

Théorème,

La résultante de deux forces quelconques P et Q (fig. 24 appliquées à un meme point A sous un angle quelconque, est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme ABCD construit sur les ligues AB, AC, qui représentent les forces P et Q en grandeur et en direction.

Il est d abord évident que la résultante des deux forces P et Q doit passer par le point A, et se trouver dans le plan de ces deux forces. Je dis de plus qu’elle doit passer au poiiil D; prenons en effet sur le prolongement de la ligne B D la partie DG = Ü C , et achevons le losange C D G H ; appliquons aux points G et H et dans la direction de G H deux forces et Q" contrdires, égales entre elles et à la force Q. Il est facile de voir que la résultante des quatre forces P, Q, Q' et Q" doit passer au point D; car puisque Q' = Q, les deux forces parallèles P et Q' sont entre elles comme les côtés AB, AC, eu comme D C et D L , ou bien , à cause de D C = D G, comme les lignes D G et DB, et par conséqueul leur résultante S passe en D. Les deux forces Q et étant égales, leur résultante T prolongée divise eu deux également 1 angle C H G du losange C D G H , et >a passer aussi par le point D, où l’on peut la supposer appl quée. Donc la lésulianfe générale qui est celle des deux forces S et T passe au point D. /

Mais l«s deux forces Q' et Q", appliquées sur G H, éunt éjjales

250 KLÉftlEîsTS DE STÀÎÏQUE.

et contraires, leur effet est nul, et ta résistance des quatre forces P, Q, Q'. Q" , esî iden'iquement ta même que celle des deux forces P et Q; donc puisque la première passe en D, celle des deux forces P et Q j)a'«se au^si ati même poinl.

Puisque la rèsuUanle passe à la fois par les deux points Aet D, elle est dirigée suivant la diagonale.

Un en conclut que si l'on connaissait seulement tes directions de deux forces P, Q , et celle de leur résultante R, on pourrait déterminer le rapport de P » Q. Car en prenant sur la direction de la résultante un point quelconque D ,.et menant deux parallèles D C et D B aux directions des composantes P et Q, et qui rencontrent ces directions en C et B , on aurait :