PRINCIPES ET NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Les grandeurs qui forment l'objet des Mathématiques sont les corps ^ les forces et la durée* On mesure les grandeurs, en les sous-dîvisant en parties égaies y appelées unités. Les grandeurs mesurées se nomment des nombres.

Les nombres sont abstraits lorsqu'ils expriment les rapports géométriques des grandeurs à leurs unités ; et en multipliant un nombre abstrait par son unité concrète j il devient lui-même concret.

Les nombres sont spéciaux quand la quotité des unités, qui les composent, est déterminée; ils sont, au contraire , généraux quand cette quotité reste quelconque.

Les nombres généraux se nomment des quantités.

Les nombres et les quantités sont les éléments sur lesquels s'exercent les calculs.

Le résultat d'un calcul numérique est un nombre, ou un fait, tandis que celui d'un calcul entre quantités , est une formule, ou une loi.

Les quantités sont variables ou constantes ; eelles-ci ne changent jamais de valeur. Les quantités constantes forment l'objet de l'Algèbre , tandis que les quantités variables sont du domaine de l'analyse supérieure. Tous les calculs analytiques ont pour objet

la formation, la transformation et la comparaison (égalité, iné^ galité,)de formules ^ et ne sauraient consister en autre chose. H en est de même de la Géométrie. Cette science ^ qui a pour objet l'étude des corps , considérés comme étendue , et par conséquent des surfaces , des lignes et du point ^ se rapporte uniquement à la formation^ à la transformation, eC à la comparaison ( égalité > inéga-^ lilé, ) des grandeurs d'espaces et de leurs rapports.

Lorsqu'une quantité peut varier arbitrairement , on la nomme une variable indépetidante ; mais quand ses variations sont déterminées par celles d'une autre variable , elle ^e nomme une vî^-iabie dépendante y ou une fonction de l'autre variable.

Le mot fonction est ordinairement remplacé par Tune des lettres f, F, fj yp, %, t, Ç, etc.

Une fonction peut se composer de une ou de plusieurs variables ^ telles que

j/==fx, z—î{x,y), n^{[x,y,z)y etc.

Les variables sous le signe de la fonction , peuvent d'ailleurs être des variables indépendantes ou dépendantes.

Les fonctions se partagent en fonctions implicites et explicites^ Lorsque l'équation {[xyy,z)==^0 y n'est pas résolue par rapport à z j on dit que z est une fonction implicite de a; et de y. Mais, si en résolvant cette équation , on trouve

Z'^fixyy) on dit que z est une fonction explicite de x et de y : il en est de même des fonctions de plus de deux variables.

L'on voit par là , que les fonctions implicites sont des formules telles que

f(a^)» ^3c,y), $(aî,!/,5r), etc.,

tandis que les fonctions implicites répondent à des équations ,

ç(x)=0, ï^(a,y)«0, f(«,y,z)t=:0, eic-

Lorsqu'on a plusieurs équations simultanées, par exemple,

ft(x,y,...ti?)«0, f,(a?,î/,..,u))=0, ... f«(a?,y, ..*w)) = 0,

au nombre de m , entre n>m variables , si elles ne contiennent que n — m variables indépendantes, les autres, dont le nombre est n — (n — m) ou w, seront les variables dépendantes ou prineipales ; leur nombre est alors toujours égal à celui des équations.

Les fonctions sont continues ou discontinues, y'=^fxt sera une fonction continue dexesUy k x=sby 6^a, si y conserve toujours

une valeur unique pour toutes les valeurs possibles de x y depuis x=^ay jusqu'à .r=6.

La même fonction sera discontinue pour une valeur x^s^, prise entre a et 6 , si, en fesant 5=0, après le développement des fonctions f (« — «), f («+«), on trouve deux valeurs différentes, ou bien, si la différence

f(«-0 — f(« + n'est pas nulle quand on fait s^Q après le développement.

En géométrie y = fa: ou f(x , y) « , exprime une courbe plane , dont x est Tabscisse et y Tordonnée. De mémo, z^{{xyy) ou f(a?,y,z)=0, est l'équation d'une surface ; x,y, z sont les coordonnées de Tun quelconque de ses points.

Soit A^; là quantité quelconque dont x varie, nous désigne* rons par ^y la variation correspondante de 2/=r(x). La fonction variée sera alors

et l'on aura Aî/ ==" f (^+ A^) — ^ ^•

Donc, la variation d'une fonction s'obtient en rçtranchant la fonction primitive de la fonction variée.

1" Théorème.

En supposant que la fonction y===fx ne cesse pas d'être continue j pendant que x varie d'une manière continue depuis x = x jusqu'à X — X + Ax, /e dis que l'on aura généralement

a étant une fraction proprement dite indéterminée. Démonstration. Soient ^ a la plus grande, fb h plus petite des valeurs qu'acquiert le rapport -^ , pendant que x varie de x=:x à a;=sx-l-Ax, on aura

Or , toute quantité continue qui passe du négatif au positif , devient zéro dans l'intervalle; il^ existe par conséquent entre x^^x et x=a: + Ait une valeur x =c, pour laquelle on a :

Aa; '

Mais en supposant que a représente une fraction indéterminée comprise entre et i , on pourra poser évidemment c=a;-j-â5Ax,