V" PART. Î

ce qui fera changer réqualion précédente, en celle-ci :

Corollaire, Soit a j/=y(x-j-aAx) — fx; en désignant par a^ une fraction quelconque plus petite que l'unité , différente de la fraction a, on aura pareillement :

A^*^ Âï =<Pi{x + ^,àx). [)

2« Théohême.

Le rapport -^ est équivalent à une somme de deux termes dont

le premier ne s'évanouit pas avec a x , ef dont le second renferme l'accroissement Ax comme facteur.

Démonst. Je dis que le rapport — est de la forme

-£^ = fX + ÈX'^x.

n f/ \ A \ f l f(x + ^x)'-îx Car on a f(x-j- A^V-»^ i -^ • A a:.

= fa:+?(a;+«Aaî)* A^p.

= far+px Aa:+ ?)i(x+«4A x)- A^' i donc Ag ^ "" ^« +f i(ap+^4 Aa?) • Aa:-

Posons , pour abréger, §x «fiC^+^iA^); on aura : •£ = fx+^x^j\x.

Rem. L'équation précédente , provenant d'une identité , aura lieu quelque soient a? et fx, réels ou imaginaires, pourvu que la fonction f x reste continue dans l'intervalle des variations de x.

Coroll. l . Désignons par ^ ce que devient le rapport ^ ,

quand on pose ^x=0 après le développement, c'est-à-dire posons

{*) fim et fin ëtant la plus grande et la plus petite valeur qu'acquiert le A«' rapport — dans l'intervalle àe x h, x-\'Axt on a, comme ci-dessus : àx

At/' Ay'

— -fim<0,— -f.n>0.

Il existe donc une valeur p==x-\-aiàx, 0<«i <1 , telle que Ton ait : Ax

— ss fx , on pourra écrire l'équation précédente de cette ma- De plus y si nous rcpréscrilons f x par Vx , on aura

et ^ = rx + ?;r. Ax. (2

Le rapport —, dont la valeur est Par, se nomme coefficient différentiel de y = fa: , et Vx se nomme la dérivée de la même fonction.

Coroll. 2. Désignons par ^■^^ ce que devient le rapport ^'

lorsqu'on y pose A^=0 après le développement, il est clair que Donc , on obtient la valeur de t^\ si dans le rapport -£ ,

on change A ^n ^*

Mais en changeant /\ end, Féquation (I devient

doù Ton conclut dx=Oy ^x étant supposé Uni.

Rem. j^ = f'^ donne dy^=^i'x*dx=d{x.

Donc si f'x n'est pas de la forme 5, on aura aussi dy=^0. dx et dy se nomment respectivement les différentielles de la variable et de sa fonction.

CorolL 5. Comme on a

Ay = {(xi-^x)^[x, on aura pareillement

dy=t(x + dx) — fx = d(x={'xdx.

f(x-{-{fx) se nomme la fonction variée, et fa: la fonction primitive. Donc , la différentielle d'une fonction est la différence entre la fonction variée, et la fonction primitive*

CorolU i. Si pour a:=^, Texpression f(pc-\'dx) — fx a uoe valeur A; différente de zéro, la fonction fx cessera d'être continue pour a: = a ; donc si le rapport

^==rx = £M:i±l£î est de la forme

dx dx

? = rx=-— =:.-■, la fonction f x sera discontinue en

dx dx ^

CorolL 5. La fonction fX, que nous désignerons dorénavant par PXf peut être nulle, une quantité constante, une fonction continue de ar, ou telle, qu'en y posant x=s« , on obtienne f(^)'=h'

Le calcul différentiel a pour objet de former les rapports que nous avons désigné ci-dessus par

(^ ou ^ ou Px,

et d'en déduire la différentielle de la fonction désignée par les notations dy, dfx, fxdx.

Ce calcul repose sur une règle unique, savoir :