APPLICATION DES FORMULES PRÉCÉDENTES
1" Exemple, La conchoïde a pour équation iA «=
ou -JL.^^lidÙ.
On voit f par cette équation , que
x = i, répond à y^b.
L'équation de sa tangente au point M(x%y') est y — y=^a(x — x'), dy (y-b)^
dx' mV— (y— 6)[y'— 6 + î/'^ + x'«] Pour x'=i, on a y=bj donc a =^0; donc la courbe a une asyniptote dont Téquation est
y — b = y(x — x') =3 , ou
2"' Exemple. Uéquation de la cissoïde est 1/*= ^r ; donc
Jut*' - X
à y=^, répond x = 2r.
L'équation de sa tangente est
y— î/' = a(x— x'), 5rx' — 2x'8 "*" 2/X2r-x)» • Donc pour y'«^, on a a «=0, par conséquent ^— 5:=a(x — x') = 0, ou
est l'équation de l'asymptote. Les coordonnées du point de contact sont y =è> X =2r.
3™' Exemple. L'équation polaire des sections coniques est
1 — «ÎC0S6
Pour la Parabole, on a m = l
pour l'Ellipse, on a wt<l
pour le Cercle, on a m»»
pour l'Hyperbole, on a m>l
pour l'Hyp. équilatère, on a w» = |/2
dr' — m sin e'
On a ici -tt ==
donc
(i — mcosô'/ '
9nsind
Quand r «^ , l'équation (1) donne 1 — m cos = ,
ou cosfl«=» — ; donc sind=:db
Donc, à r'=5, répond
Donc l*" Quand m = 1 , on a 81=5, donc la Parabole n'a pas d^asymptote.
S"" Quandnt^l^ alors S^est imaginaire, donc TElIipse a des asymptotes imaginaires , c^est-à-dire n*en a pas.
S"" Quand ntaO, on a S< imaginaire, donc le Cercle n*a pas d*asymptotes.
i'^ Quand m>l, S< a deux valeurs finies ^ donc THyperboIe a deux asymptotes réelles.
4"' Exemple. L'équation de l'hyperbole étant
celle de sa tangente au point M'(«^y ) sera
B*îb'
Mais à î/'«è, répond aussi x=\ , on a donc
La vraie valeur de celte expression, s'obtient par conséquent en prenant les dérivées des deux termes de la fraction J5-7, et en y
faisant ensuite x =è« On a donc
7 , ou a^ «* —r 5 « ou
L*hypcrbole a par conséquent deux asymptotes dont l'équalion collective est
ou 2/ = ± T^'
5°"" Exemple. L'équation polaire de la cissoïde est
2wsîn*ô
COS d ^
On a donc
'""■^7"" 1 + cosV (^
de' Pour r'=sl^ Téquation (1 donne cos6' = 0.
De cette égalité on conclut
Donc , pour r'=^^ , on a S«= db 2m.
Donc l'asymptote est perpendiculaire à Taxe des x , et distante de l'origine de la quantité 2m.
6"** Exemple. La quadratrice de Dinostrate a pour équation polaire
cosd
On a donc
dr' ,^ 2^^ . 2m
— ■ m(l )sind cose
de' ^ ;r^ ;r
Mais r' =5 donne cos^saO, d'où o'« db^ ,
on a 9 par conséquent
S^ = 2m; la courbe a des asymptotes.
Remarque. Souvent, quand l'équation de la courbe est implicite, sous la forme t(x,y) =0, il est difficile de reconnaître im-
du médiatement ce que deviennent y, —, pour ac=soo . Dansée cas
on posera ^=it, ou y=^xt^ puis on cherche la valeur de a; en
fonction de ï, on trouve alors ce que devient f , et parlant y, pour
Xa=00 .
dif x'* — flfy' Exemple. Soit j/' — 5axj/+x' — 0; on a -^^« ^^^ ., ,
dx' ax' — y
En posant y'^tx\ Téquation proposée devient
[txY — Zatx^ + x' =0 ; d'où x' = -^-^ .
Pour x'=oo , on a a + <' = , d'où f «1 ; donc j/'s= — x'. On a donc
OT-r. ^^'(~^') ^ ^^'' g
x'' — a( — x') x'' + ax* a "^ ' '^
flxY — x) ax'* a ,
0R = h—T= >, > °^ r- = «* P^"^ ac«oo,
ax + X ax -f-3c ^ ! *
dy' x'» + ax' «' ,
5F===1?=^='T— --^^ pourx'=:oo.
Donc rasymptote j/ — a^x, coupe Taxe des a? et des y sous le même angle de 45*.
Angle de contingence.
i. coordonnées rectangulaires.
Supposons que la tangente au point M(x,y) de la courbe y^fx fasse un angle a avec Taxe des x , une autre tangente au point M'(ac+Ax,y 4" Ay) de la même courbe fera avec l'axe des oc un angle que nous nommerons % Gomme a est une fonction de x, donnée par l'équation
il est clair que a devient «+Afl6, quand x devient x + ax. Mais
quand x devient x + â^ l'angle a devient l'angle 7; on a donc
d'où A«»7 «.
On appelle angle de contingence, ce que devient la différence y — a, quand Aa;a»dx=0,
Ad
Pour trouver cette expression , nous chercherons celle de — ,
AX
pour àx^O. Mais dans cette hypothèse de la valeur de ax, le rapport — devient -r- . Or , on a
Ax dx
dy
«=arctg. -;^,
dx
, da dx
donc
d'y dx*
Quand ax devient dx, alors àa=y — a devient da; on a donc, pour l'angle de contingence^ l'expression
■ ' • dx da d^x
da = -;- • ax
