COORDONNÉES POLAIRES

Soient deux tangentes, la !'• au point M(r,e), la seconde au point M'(r-1-Ar, e-f-Aô) de la courbe polaire r=f(d). Si /u et y sont les angles qu'elles font respectivement avec les rayons vecteurs des points de contact, on aura évidemment

y-^iCÉ + A/u,

en désignant par L[jl l'accroissement de f*, correspondant à l'ac croissement Ad.

Si a et 7 désignent les angles que les deux tangentes font respectivement avec l'axe fixe du pMê, oa l'axe des x, on aura^ comme dans le N* précédent

Cela posé 9 Vangle de contingence des eourbes polaires eisl Texr pression analytique de la différence 9 — a, correspondante à AOaadossaO; ccttc cxprcssion sera donc celle de d^.

Gomme on a

fisssa — a ou «=/K-pô.

il vient

d« = d^rj-d6.

Mais fi ss arc tg» -r— ;

lu \d6/

donc dft ■■

dr Donc d«=df6 4"^^=*' """ T5 '«de, el

Rapport entre l'accroissement des ordonnées et cblui des abscisses.

quand y=fx est Féquation de la courbe, et que a==tgâ5, a étant l'angle que la tangente au point M(X;2/) fait avec i'axe'des x. Nous avons vu (§ 34) qu'on pouvait supposer ax assez petit

pour que le signe du rapport -^ dépend de celui de a=tg«=

Donc quand a» est positif , c'est-à-dire quand les abscisses

A fl

croissent, le signe du rapport — sera celui de Ay.

Ok.X

De plus ày étant positif les ordonnées croissent , elles décroissent quand ù.y est négatif.

Mais les ordonnées croissent, pour des abscisses croissantes , quand l'angle a est aigu , ou quand iga est positif; les ordonnées décroissent au contraire pour des abscisses croissantes ^ lorsque l'angle a est obtus, ou lorsque tgâs est n^atif. Noosi concluons de là que ^ dans le voisinage du point M{x,y) d'une courbe y^tx,

V Les ordonnées croissent pour des abscisses croissantes quand

Les limites de x entre lesquelles cette relation est satisfaite, seront, en même temps, celles entre lesquelles les ordonnées croîtront en même temps que leurs abscisses ;

2** Les ordonnées décroîtront pour des abscisses croissantes quand on a

dx ^ Les limites de x entre lesquelles cette relation est satisfaite, seront, en même temps, celles entre lesquelles les ordonnées décroîtront pendant que leurs abscisses croissent.

Remarque. Aux points pour lesquels on a -p — , il arrive

un changement dans la variation des ordonnées^ si elles croissent avant ces points , elles décroîtront après les avoir dépassés , et vice-

versa. En effet, nous savons que --p- = , caractérise la plus

grande ou la plus petite ordonnée.

Exemple. Soit Téquation du cercle

(.y— i3)* + (3c— rt)««rS cù ei fi étant les coordonnées du centre , on en déduit dy a — X

dx y — fi

-^ = 0, répond à x^a, et à y=^fi + r ou /3 — r. dx

dy 1** -T'^O, exige que Ion ait dx

x<« et yy fi ou x>flf et y-^fi-

Donc, quand les abscisses croissent, les ordonnées croîtront depuis x=^a — r jusqu'à ac=^«, et prendront les valcîurs de y=/3 à y=/3+r, ou depuis aî-=«, jusqu'à x=« + r, et prendront les valeurs de y^fi — r à y^=fi.

dy 2* "T^^O, exige que l'on ait

a?<« et y</3 ou x>« et y y fi.

Donc, quand les abscisses croissent, les ordonnées décroîtront depuis a:=« — r jusqu'à ac = «; et prendront les valeurs de y = fi à y==:fi — r ou depuis x=^(t jusqu'à aî=« + r; et prendront les valeurs de ys=/3-j-r à y=/3.

Concavité et convexité des courbes planes.

Nous compterons les angles des tangentes avec l'axe des x , k partir de cet axe vers en haut, et de droite à gauche. Cela posé soient y^^^fx l'équation d'une courbe, ce l'angle qu'une tangente au point M(x,y) fait avec l'axe des x/ soit 7 l'angle que la tan-

gente au point M'(ac + Ax, y + Ay) delà même courbe fait avec l'axe des x, ax étant positive^ on dit que la courbe est concave vers Taxe des x, quand on a

et convexe quand on a

Mais quand x devient x-f-Ax, ce devient « + a» ou 7. Donc^ dans le cas concave, où Ton a «^7, il faut que àa soit négatif, et dans le cas de convexité, où Ton a a^y, il faut que a« soitpositif. Donc le caractère de concavité est indiqué par Aa<0, et celui de convexité, par a^^O.

Donc, AX étant supposé positif, le caractère de la concavité sera donné par Tinégalité

et celui de la convexité par la relation