COORDONNÉES POLAIRES

Dans les courbes polaires , les caractères de concavité et de convexité seront aussi indiqués par les relations A<6<^0 et A«>0; donc aussi par les suivantes :

t<0 et — >0.

A6 Ae

Mais on a :

La dcL u^

Donc, en supposant a^ suflBsamment petit, le signe du rapport -—

dépendra de celui de -tt"-

Mais on a trouvé (§ 42) :

Or, le dénominateur de celte expression est positif, donc le

dcù signe de ---, dépendra de celui de son numérateur. do

Donc 1** la courbe polaire r=f(o) sera concave dans le voisinage du point MCr^o) lorsque Ton aura :

^^'^ de^ de* ^"'

2** ellç tem^nera sa eonvexité vers l'axe des x, pour tous les points pris doRS le voisinage de M ^ et répondant à des valeurs positives de A 9 qui satisfont à Tinégalité

Remarque. Si j/ est négatif, Ax étant toujours positif, et les angles des tangentes avec Taxe des x, se comptant toujours dans le même sens à partir de Taxe des a; , il est clair que le cartactère de la concavité sera alors indiqué par la condition

et celui de la convexité par

Il est facile de conclure de là y que quand y est négatif le caractère de la concavité sera

<Py

et celui de la convexité sera

«to» ^

tPy Donc 1* dans le cas de concavité -—• et y seront toujours de

de signe contraire et Ton aura

^ Dans le cas de convexité -— ^ et y sont toujours de même signe y on a donc

\" Exemple. L'équation du cercle

donne

dc^ (y— 13)'

Donc -j^ sera négatif quand on aura y > fi et -7^

sera positif quand on aura y <fi.

Donc , le cercle tourne sa concavité vers l'axe des x dans tous les points, dont les ordonnées satisfont à l'inégalité y>i3; il sera convexe dans toute retendue pour laquelle on a j^ <i3.

S"* Exemp. Soit donnée la Parabole de Niel, dont l'équation est y^^=p^x;

on aura : -— = — §• — ~.

Donc, quand y est positif, ce qui suppose x positif, on aura

-r^ < , et la courbe sera concave vers l'axe des x. ds?

Mais quand y est négatif, ce qui suppose que x soit aussi néga-

d?t/ tif , alors l'expression ci-dessus de -7^ deviendra positive , et la

courbe sera encore concave , car on a , dans les deux cas

^ dx2 ^

Points d'Inflexion.

On nomme point d'inflexion d^une courbe, le point après lequel la courbe devient concave, si elle a été convexe avant ce point, et

Supposons que la courbe y^=^ix soit concave dans l'étendae

depuis x=^b jusqu'à x==^a, on aura, pour cette étendue

Si elle devient ensuite convexe depuis x=a jusqu'à x^^ic, il est clair que pour celle autre étendue de la courbe, on a

Donc, au point d'inflexion, qui répond à x=ia, le produit y* -^ y qui passe, en cet endroit, du négatif au positif, doit être ou ^; donc les valeurs déduites de l'une des équations.

répondront à des points d'inflexion.

Cependant il est à remarquer que les valeurs tirées de ces équa-

dy d^y lions ne doivent pas annuler t- 7 t^ > ^^c* i car sans cela le ax ax^

point pourrait convenir à une ordonnée maximum ou minimum et ne pas être un point d'inflexion.: '

Quand la courbe est polaire les coordonnées du point d'inflexion se déduiront des équations

1" Exemple. De l'équation

y = X + 36ac' + 2x' — x* on lire

^ =.l+72x+6x« — 4x», dx

S — 72 + 12x--i2iB»

oar

Donc --^=0, répond à 6 + x — x^saO ou à x=s5 3, x = — 2.

Ces valeurs ne rendent nulles aucune des dérivées d'ordre impair. A a;=3 répond y=a300; à ac= — 2 répond y=!42; donc les points

M(3;300), M'(— 2;142), sont des points d'inflexion.

2°*' Exemp, Soit x^y-^a^y — ûa;'=0 ou y = ; , on

aura :

dy %i^x d'y 2a5(a'— 3jc=*)

dx "^ (a'4-x')'' dô? "" ^a^ + a;»)3

Donc — ^« , donne x « — — : , a? = —z ; a ces abs-

dx* J^3 K3

cisses répond y "= T ? ^^'^^

sont des points d'inflexion.

3"°* ^ocemp. Soit a*ys=B{x — 6)»; on trouve : dy 8, ,:x. d'y 20, ^. d'y 60^

dx* a* ^^ dx*

--^ = 0, donne ocssft doue t/ = 0. Mais ces valeurs rendent dx*

du d^y d^y , , d»t/

nuls -T^ , -rT-> TT9 sans rendre nul --4- ; ^^ comme cette dac dx^ dx* dx^

dérivée est d'ordre impair, le point N(0,6) ne répond pas à un maximum ou à un minimum , mais est un point d'inflexion.

i"^^ Exemp. L'écfuation f/ = a^a; + (ac — by donne

dx ^'^ '' dx' 9{x-^b)T

Donc» en posant

-— -;=:0, ou 9{x — 6)ïœ:0, on trouve ac«6/ ** y

dx'

donc y = c?b; ce point M(6,a^A) est un point d'inflexion. En eflfel , pour x =« 6 + A on a --r-7 = — r > j donc la

courbe est convexe dans l'endroit qui répond à x = 6 + A. Pour x^b — h, on a

rfo?" 9 A»

donc la courbe est concave dans Fendroil qui répond à a; «6 — A. Donc, au point a;=6, y« a%, la concavité passe à la convexité, ce qui caractérise le point d'inflexion.

5"* Exemp. Chercher le point d'inflexion du lituus

On a ~-=3= — ^-— =«jb — ^ ; donc la condition

* ^ de ' de^

devient 4A:'a6' + 2i*a=fc 3fc*a=:0,

ou 4ô'=»l.

Donc e = ^, r^k^^^a est un point d'inflexion.

Points de Rebroussement.

Un point de rebroussement est le point de contact de deux branches d'une courbe , auquel le cours de la courbe est brusquement interrompu. Ces deux branches auront par conséquent au point de rebroussement une seule tangente.

Les deux branches pourront être situées d'un même côté de la tangente commune, où celle-ci peut passer entre les deux branches. Dans le 1" cas les deux branches seront à la fois concaves ou convexes par rapport à Taxe des x, et dans le S""* cas l'une des deux branches tournera sa concavité , l'autre sa convexité vers cet

axe. Dans ce dernier cas le rebroussemeni est dit de la !'• espèce , dans l'autre il est de la S*^"* espèce:

Soit M(a,6) un point de rëbroussement; comme le cours de la courbe y = fa:, s'arrête brusquement en M , il faut qu'en y posant «=«+ A ou x=a — h, les valeurs correspondantes de y soient imaginaires , quelque petit que soit A.

Comme dans le cas du rebroussement de l'une et de l'autre espèce ^ les deux branches n'ont qu'une seule tangente commune, pour que M{a,b) soit un tel point, il faut que la dérivée

-~ se réduise à deux valeurs égales /quand on y remplace x,y

par o et 6.

Mais un point de rebroussement de la 1'® espèce exige de plus

que les deux branches aient des courbures diverses, que l'une soit

concave et l'autre convexe. 11 faut donc qu'en remplaçant dans la

dérivée S^'-r^ > l'abscisse oc par a-}- A ou par a — h on obtienne , . , uO(j ,

deux valeurs de signe contraire quelque petit que soit A.

Nous avons donc, en résumé,, les caractères analytiques suivants pour le rebroussement de la 1" espèce : '

Le point M (a, 6) de la courbe y s= foc est un point de rebroussement de la !'• espèce :

l*" Quand y devient imaginaire pour â;=ssa-f*A ou pour x =sa-\-h quelque petit que soit A ;

dy 2° Quand -~ se réduit aune valeur réelle unique pour x=sa,

3*» Quand -7^ a deux valeurs de signe contraires pour x=5a+A

ou pour 35 = a — A quelque petit que soit A.

Supposons maintenant que le point M (a. 6) soit un point de rebroussement de la 2*** espèce , il est d'abord clair qu'alors la valeur de y, correspondante à ac=^a+A ou à a;=a — A, doit être imaginaire, quelque petit que soit A.

dy Il faut ensuite que -— prenne deux valeurs égales pour a;=a,

y^b. Mais les deux branches, qui rebroussent chemin en M, ont, quand M est de la S**** espèce, des courbures pareilles, c'est-à-dire

qu'elles sont toutes les deux concaves ou convexes. Il faut donc

que —j- conserve le même signe quand on y remplace x par

a+h ou par a — A, quelque petit que soit A.

Nous avons donc en résumé les caractères suivants : Un point M (a, 6) est un point de rebrousseiiient de la 2«^' espèce, Jorsque

1*» y devient imaginaire pour a; == a -{- A ou x=a — A,

du 2" -p prend une valeur unique pour x=a, y = 6.

3* "T^ reçoit deux valeurs de même signe pour x^sa+h, x^a — h.

Rem. Nous verrons, dans la théorie des points multiples , par quels procédés on obtient les points M (a, 6), qui peuvent être des points de rebroussement de I une ou de l'autre espèce.

l"\Ea:cmpfe. Soit l'équation j/ = 6db(x— a)»; on trouve: — = =b,(x-~a), — = d=,(.r a) .

-—-. = donne x=ay donc y=^b.

Mais 1^ a;= a — h donne y = 6dbl/(— A)' ; donc y est

imaginaire.

du 2° Pour x=:a la dérivée ~ reçoit la valeur réelle unique

zéro.

3° Pour ac — a + A on a --^= , et ~ = —

dx^ 4 \/li ^^'

De tout cela on conclut que le point M (a, 6) de la courbe cidessus, est un point de rebroussement de la l'"* espèce.

2"*" Exemp. Soit y = a + a; -{- bx^ + ex* , d'où :

4^ = 1 +26X + I J, p^^^b+^cx\ dx ' dx^ *

X =« donne y = a , -^ = 1 . De plus , pour a? « — A dx

d'y y devient imaginaire; pour x = + A la dérivée -— reçoit les

deux valeurs positives

h étant sujQSsaniment petit. Donc le point M(0,a) est un point de rebroussement de la 2'*° espèce.

Points Conjugués.

Un point conjugué est un point isolé compris dans l'équation donnée y=fx d'une courbe.

Soit M(a,6) un tel point, il est clair que a et ôsssffl, seront

des quantités réelles. Donnons à Tabscisse un accroissement réel

quelconque a a positif ou négatif, il est clair que l'ordonnée 6 + a6

correspondante à Fabscisse a 4^ a a sera imaginaire, et qu'il en

A6 sera de même quant au rapport — . Mais on a, parle Théorème

de Taylor :

A» dx * dx^ l*î2 * 11 est donc clair que si — est imaginaire , il faut que l'un

des coefficients différentiels -—-^ -~ , etc., ou que plusieurs de

dx ' dx^ ' ^ ^

ces coefficients soient imaginaires à la fois.

On a donc les caractères suivants pour distinguer les points conjugués des courbes :

Le point M (ac = a, y =6) de la courbe y = tx ou F(x,y)x=0 sera un point conjugué quand :

I** a et b = ïa sont réels ;

dy d^y 2** Quand une ou plusieurs des quantités •^, j-;-, etc., sont

imaginaires pour xssajy^^b.

Nous ferons connaître , dans le § suivant y les procédés par les* quels on obtient les points M(a^6) qui peuvent être des points conjugués.

i" Exemple. L'équation ay* «= «(a; + 6)' donne

Quand on prend x== — b, on trouve î/==0; ces deux valeurs sont réelles. Mais pour ces valeurs on a

dx ^ a

valeurs imaginaires. Donc le point M(Oy-!— 6) est un point conjugué,

2"" Exemp. L'équation x'j/' = (û» -^ x^) (xr— 2a)», donne dy (x — 2a) (g» + 2aa; — 2a?^ )

dx xy[oc+y)

dy^ A dx

Pour a; =« 2a on a y = 0, ce qui réduit ^j- à §. Il faut donc

dti chercher la vraie valeur de -7— . Or , en différentiant les deux

termes de la fraction ci-dessus, on obtient :

dy 6a:» -f- ^aa; + 3a» „ ,

^ 2a:i,+î/' + (a;' + 2xy) J

(2xy + 2,») ^ + (a;» + ^xy) ( ^> = - {6a:' + 4«^ + 3a' ).

dy Pour x = 2a, y = 0, on a 4a» (-—•)»« — 35a'; donc:

(tx

Donc M(2a;0) est un point conjugué.

Points Multiples.

Les points multiples d'une courbe sont des points dans lesquels plusieurs branches d'une courbe se coupent ou se touchent. Le

point est double, triple, etc., selon qu'il se rapporte à deux, trois, etc. branches ; dont il est le point d'intersection ou de contact.

Un point multiple M est caractérisé par la valeur de -r- en ce

point,

1° Si ~ a plusieurs valeurs réelles et inégales, le point M

sera un point multiple proprement dit , résultant de Fintersection en M de plusieurs branches réelles de la courbe. Les valeurs diverses et inégales de — seront celles des tangentes trigonométri*-

ques des angles que les tangentes. en M. aux diverses branches de la courbe qui se coupent en ce point , font avec l'axe des a?.

2* Si -^ a deux, trois, etc., valeurs réelles et égales, le point dx

M sera un point multiple résultant du contact en ce point de deux, trois, etc. branches de la courbe,

3° Dans le cas où ~ Si deux valeurs réelles inégales , le point

M peut être un point double.

du 40 Si -p a deux valeurs réelles et égales , le point M peut être

un point de rebroussement delà 1" ou de la 2^' espèce, et alors, pour s'en assurer, il faudra recourir aux règles qiie nous avons données pour reconnaître la présence des points de rebroussement.

dy 5** Lorsque les valeurs de — - correspondantes au point M sont

(tx

imaginaires, ce point pourra être un point conjugué, et il faudra pour s'en assurer , suivre les procédés indiqués pour constater la présence de tels points.

6** Observons que le point M, étant un point de la courbe dondy née, les valeurs de — correspondantes à ce point devront satis-

QX ,

faire à l'équation donnée de la courbe.

D'après cela , soit u s=s f{x , j/) = (1 )

l'équation donnée de la courbe; on en déduira :

dx ^ dx^'^^dy^ dx

dti Mais pour le point multiplié M , le rapport •— à plusieurs va-

%aX

leurs y par conséquent , pour un tel point, Féquation précédente ne pourra être satisfaite qu'en posant

Les équations (2) fourniront pour ac et y, en général, plusieurs systèmes de valeurs correspondantes tels que ars= a, x^=«a' , etc.

y=x6, y==6', etc.

et il n'y aura que des valeurs telles que xw^a^yt^b^ prises parmi ces systèmes^ qui pourront être les coordonnées de points multiples.

D'après la remarque 6"*, il faudra d'abord exclure parmi ces systèmes de valeurs, ceux qui ne satisferaient pas à l'équation (1). Supposons que x=sa,y=:6, soit l'un des systèmes qui satisfont à cette équation. Comme on a :

dx du ^

^ rfw ^ ^ ^ du^ et que pour x^^a.y^^b on a ( — ) «0, ( •t-) = 0, on aura

dx dy

dx "^^ II faut donc chercher la vraie valeur de (3) , correspondante à X ^tty y^^bj alors plusieurs cas pourront se présenter :

V Si la vraie valeur de —est une valeur unique, le point (tx

M (xs=a, y=b) ne sera pas un point multiple.

dti ^' Si —2. donne deux ou plusieurs valeurs imaginaires le point

Mix^a^y^^b) sera un point conjugué.

dy 3* Si -p donne deux valeurs réelles et inégales , le point dx

M{x^a,y=b) sera un point double d'intersection.

Si -r— donne deux valeurs réelles et égales, le point dx

M (x = o, î/ = 6) sera un point double de contact ou un point de rebroussement de la 1" ou de la 2^' espèce.

,. dy 4^ Si — a trois, quatre, etc., valeurs réelles, le point

M(xaa,2/=s6) sera un point triple, qaadraple, etc., d'intersection ou de contact, selon que ces valeurs seront in^Ies ou égales.

5* ~ ayant une valeur réelle, si on a en outre -Tn=0, ox ax

sans que le coêiBcient différentiel du S*"' ordre soit nul en même

temps, le point M(a,6) sera un point d'inflexion.

Rem. Les points d'inflexion et multiples sont aussi désignés

par le terme de TpmiU singuliers. Nous comprenons parmi les

points multiples les points conjugués et les points de rebrous-

sèment*

l*' Exemple. Soit y — 6 = db(x— a)»/x , d'où : ~

Pour x=sa

on a y—

'*' dx '-

Donc le

point

6) est un

\ point double.

2"' Exemp.

Soit

■ Zaocy + x'

on a :

du ^dy^

= ay — x'

Les deux dernières donnent en les ajoutant :

(»— ^)(y+a; + a) = 0, elles sont donc satisfaites par

!• Pour ys=BX, l'équation (1) donne a:«0 et x=|a, valeurs dont la V seule satisfait aux équations (2). On a donc un premier point M(a:fi=0,y=0), qui pourra être un point multiple.

Mais on a :

dy ay — x*

dx y^ — ax

dy dx chons la vraie valeur de (3), Or, en différentiant, le numérateur

Pour ac=* 0, 2/"=0, celte expression devient — es 2. Cher-

dx °

et le dénominateur du S** membre de (3) , la vraie valeur de

~- , s'obtiendra en résolvant Téquation

dy dx

dx ^ dy par rapport a — , puis en posant, dans le résultat, x=0, 2/=aO.

OiX

Ces opérations conduisent aux deux valeurs

dx ^ dx °* D'où il suit que le point IVI(x=sO,i/«0)y est un point double.

2** Pour y= — (a + a;), l'équation w = 0, n'est pas satisfaite car elle donne o'«0. Il faut donc rejeter la valeur y=s, — (a+x).

3"* Exemp. Soit l'équation u = (y— x— x«)« — «« =» , (1)

ou y — X — x«=px^=0. (2)

On aura : ( ^) = — 2(y — x— x')(l + 2x)— Sx* = 0, dx

Ces deux équations fournissent x = 0, y™ , valeurs qui satisfont à l'équation (1). Donc le point M(« = 0,î/==0) , peut être un point multiple. Mais on a

#__^ 2(y— x-^x«)(l+2x) + Sx* dx 2(y— X— x«) • ^ '

Cette valeur réduit à § quand on pose x = 0,y=0. Mais en différentiant les deux termes du 2*^ membre de (3) , et en résolvant

l'équation résultante par rapport à -y^, on trouve

d'u x = 0; 2/ s=s donne pour ~ , deux valeurs, savoir

CuX

dx ' ' dx

Il suit de là que le point MCxs^O^y » 0), est un point double de contact ou un point de rebroussement. Mais Féquation (2) donne

jf^^x+x^dbx'y d'où — Y«:2db^l/lc. Quand on con-

çoit A suffisamment petit , Ton voit que y devient imaginaire pour a;=i) — hf et que -— reçoit deux valeurs positives pour

x— 0-{-A; donc le point M(x=0,j/=0) est un point de rebroussement de la 2^* espèce.

4"*' Exemp. L'équation de la lemniscate est

On en lire :

du (^)=-[«'-2(3/'+a:»)]x=0, |

Gomme a'-{-2(x*-j-2/') ne peut pas devenir nul pour des valeurs réelles de a; et de y, on déduira des équations (2) les deux systèmes de valeurs

Il faudra rejeter le système (4), puisqu'il ne satisfait pas à l'équation ttssO. Mais le système (3) satisfaisant à l'équation (1) le point M(a;=0, î/s=0), qui est l'origine des coordonnées pourra être un point multiplié. Pour s'en assurer cherchons la vraie valeur de

dy ^ [^{y^ + x^)-a^]x

dx [2(î/*4.a;«) + a']j/ ' ^ ^

qui pour a;a0^y=sO devient §. Or^ en diSerentiant les deux termes de (5), et en chassant le dénominateur^ on trouve

ley'+^x^ + a'\(^y^Sxy^ + ^y^ + 6x' — a'=^0.

CUXf (IX

du En posant dans celle-ci «=0, ye=sO, on trouve — = db 1 .

Donc le point M(x=»0,2/= 0) est un point double^ et l'on voit que les deux tangentes à la courbe , en ce point ; se coupent à angle droit.

En différentiant l'équation (1) trois fois, on trouve :

^ dx^ dx* dx

Or, pour ir==0, y=0,~ = rfc ! , cette équation donne :

donc le point M(xs«0,î/=0) est, en même temps, un point d'inflexion ; car on peut s'assurer facilement que le coefficient différentiel du 3"' ordre ne devient pas nul pour a; = 0, y =0.

Des Courbes parallèles.

Une courbe F(X,Y) = est parallèle à une courbe donnée f(x,t/)s=0, lorsqu'elle est partout également distante de celle-ci, c'est-à-dire , lorsque les portions des normales aux divers points de la courbe f=0, comprises entre les deux courbes , ont une longueur constante L

Problême. Étant donnée Féquation f(x,y)==0 d'une courbe y trouver l'équation d'une courbe F(X, Y) sasO, parallèle à la première.

Solution. L'équation de la normale au point M'(x',y') de la courbe donnée est

Cette normale rencontre la courbe cherchée en un point que je désignerai par N'(X',Y'). Soit / la distance constante entre les points M^ et N^ on aura les deux équations

Comme ces équations subsistent entre deux points correspon-

dants quelconques M(a;,y) , N(X,Y) des deux courbes, on aura :

On aura de plus les deux équations

Si l'on élimine entre ces quatre équations, les trois quantités X, y, -p- , on aura une équation entre X et Y de la forme

F(X,Y) = 0, qui sera réquation cherchée.

Exemple. Trouver la courbe F(X,Y)==0, parallèle au cercle x* + y* — r* = 0, 1 élant l'équidistance constante des points coirespondants des deux courbes.

On a ici les quatre équations

a:* + !/^ = ^> dy X

dx "" y *

On en lire : 2/=--r7'Y, x==— — -.X, •^ rdbt rdzl

et en substituant ces valeurs dans la 3°"* de ces quatre équa* tions , on aura

c'est l'équation cherchée.

Des Courbes enveloppes.

Si dans une courbe f{xjyfa) = Of la constante a varie d'une manière continue ^ on obtiendra une suite continue de courbes fi=sO, fs=0, etc., de la même espèce que la proposée, que Ton appelle enve/oppée* ; une courbe F(X,Y) — 0, tangente à toutes ces enveloppées f| = 0,f2=0, etc., se nomme courbe envehp^ pantCj ou simplement enveloppe.

Problème. Étant donnée l'équation f(x,y,a)>aO, trouver sa courbe enveloppe F (X , Y) = 0.

Règle. Soit ft=f(x,y,a) = 0; éliminez a entre f«-0, et il f — es 9 le résultat de cette élimination sera l'équation cherchée

Démonstration. Les coordonnées X et Y de la courbe cherchée F = 0, sont évidemment des fonctions de la constante a^ telles que X==fa, Y = ipa. Si donc on connaissait les fonctions f et i//, on n'aurait qu'à éliminer entre elles la constante a pour obtenir l'équation cherchée.

Mais puisque la courbe enveloppe est tangente aux enveloppées , on a évidemment

(2) f(X,Y,a)=0 ou f(ta, ;/ia,a) = 0. (3

df On a donc aussi, par cette dernière équation --i-«iO,

ou '^ j — — =0. (4). Les équations (2) et (4) conduiaa

sent aux valeurs X = fa, Y = ipa. Donc, en éliminant a entre

les équations (2) et (4), ou, à cause des relations (1, entre les

suivantes :

on aura l'équation cherchée F(X,Y) = ou F(x,2/) = 0.

Rem. Pour que Féquation trouvée ¥=^0, soit une courbe enveloppe y il faut qu'en déterminant a, à Taide de cette équation , on trouve pour cette constante une fonction de x ou de y»

jer Exemple. Le centre d'un cercle donné se meut sur une courbe donnée , trouver l'enveloppe du cercle mobile.

Soient ^ (is^/S) -» 0^ Féquation de la courbe donnée, a le rayon du cercle ) x^y ses coordonnées courantes, et par conséquent

(y—fiy-hix^ay^o, (1

son équation , on aura par différentiation :

En éliminant a ei fi entre (1, (2^ et Féquation faO, on obtiendra une équation entre x et y^ qui sera Féquation cherchée.

2°''' Exemp. Le centre d'un cercle décrit une courbe donnée , sa circonférence passe continuellement par un point donné, trouver Féquation de la courbe enveloppe.

Soient 0, origine des coordonnées, le point donné, a, 6 les coordonnées du centre du cercle, son équation fera

j,«+a? — 26y — 2aa:-0. (1)

Soit f(xyy) = 0y Féquation de la courbe donnée, on aura î>(o,6) = 0; d'où 6 = ;//a.

6 étant une fonction de a, la diSërentielle de Féquation (1) donnera :

db , y^ + ^ = 0. (2)

En éliminant a et 6, entre les équations (1), (2) et ^ (a,6)e=0, on obtiendra une équation entre x et y qui sera Féquation cherchée.

Rayon de Courbure.

d. coordonnées rectangulaires.

Soient pris sur la courbe quelconque y=:{xy les trois points consécutifs

M(x,î/), M'(x+Ax, 2/+AJ/), M''(^+2Aa?,yi+Ayi),

yi = y + Aî/, et élevons aux milieux des cordes MM' , WM" des perpendiculaires qui se couperont en un point . Ce point sera le centre du cercle qui passe par les 3 points M^ M', M'^ Soit J" l'arc pour le rayon 1 , qui mesure l'angle formé en par les deux perpendiculaires. Soient fi et /x' les milieux des arcs du cercle passant par M M' M'', correspondants aux cordes MM', M' M". Si nous menons à ce cercle des tangentes dont les points de contacts soient fi ei juf y l'angle formé par ces tangentes aura aussi pour mesure 9, car ces deux angles auront leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. Mais en désignant par a l'angle que la tangente au point ff fait avec Taxe des x, et par v l'angle que la tangente au point /uf fait avec l'axe des x, l'angle compris par les deux tangentes , sera égal à a—rj; on a donc

Mais en désignant par R le rayon du cercle dont est le centre et qui passe par les trois points M, M', M'', et par A« l'arc ^, on aura la proportion

^:1::A««R> ou A^-l-'A^-R;

d ou R = ^=— = -=-^ .

Soit maintenant g ce que devient R pour A^^O, ou pour le cas dans lequel les points M', M'' viennent à coïncider avec le point M ; q sera ce qu'on nomme le raywi de courbure; et le cercle qui a ig pour rayon se nomme le cercle de courbure. Mais q est une fonction de x tel qu'en y changeant x en x-}* ax , on obtienne R ; on peut donc poser R -=: «+ ax* A, Ax^fc devenant nul avec ax. On aura donc

Si nous représentons par as' l'arc de la courbe correspondant à Tare AS du cercle de courbure, on pourra poser évidemment

Ail A« A«' . •

puisque pour ^« = 0, les deux rapports — , , coinei-

A'C /\ 3c dent. On a donc

4^ ± A" . AX A^c

ç4- Ax-A= •

Mais oh a trouvé — = -r — H N • a« , Ax dx

A« da

et — = -: ^P-AX,

AX dx

N*Ax et P*AX s'évanouissant avec ax. On a, par conséquent

ç + AX»* = — -— •

Donc, en faisant Ax=0, on a :

ds'

da da

dx ds'

et dx

Mettons pour — et -r- > leurs valeurs trouvées dans les ^ dx ax

§ 39 , 41 , on a :

c'est Texpression de la valeur du rayon de courbure. — Déterminons en second lieu les coordonnées (»ei fi d\x centre 0' du cercle de courbure.

A cet effet on a Téquation

c'est l'équation du cercle de courbure au point M(x,2/) de la courbe. Différentions cette équation deux fois , nous trouverons :

De ces deux équations on tire :

dhf dx

'dpF

On a donc enfin

, ^ ^ doi?^ ^ ^ dx*^ dv

^ = y+ £y > ''^^ -JT^'d^-

Remarque. Si pour une valeur particulière a? = a , on trouve

de;

-— *« , il est clair que pour le point de la courbe , qui ré-

pond à cette valeur, q sera un maximum ou un minimum selon que — sera négative ou positive.