PROPRIÉTÉ DE LA DÉVELOPPÉE
1.) La tangente a la développée est normale a la développante.
Soient F(^,iô)-=0, l'équation de la développée, y=fx celle de la développante. La tangente au point N(a',/3') de la développée a pour équation
Soit M(x,y) le point où cette tangente rencontre la développante, on aura
Mais on a , par les équations («) :
, ■ da:* dx" dy
dx^' dx"
En différentiant ces équations , dans lesquelles dx est constant ,
on a : dH^Zdy — ^ — ^ d»y,
''^ dx ^ {dhjy dx ^
Multiplions la 1" par dy, la 2**' par dx, on a, en ajoutant les
produits :
diSdy + d«dx = 0;
dx' donc l'équation (1) devient
D'un autre côté, la normale au point M(x',y') de la développante a pour équation
Ix'
ou y'— y — (x' — x).
dp
L'on voit donc, par la formule (4), que cette équation est satisfaite pour t/ = i3',x=a'; donc la normale en M passe par N. Mais par hypothèse , la tangente en N passe par M ; donc la tangente à la développée, et la normale à la développante ont deux points communs , donc elles coïncident. L'on voit , en même temps , que (/ est le rayon de courbure correspondant à M(x', j/),
2. Soient N et N„ deux points de la développée, et menons deux tangentes à cette courbe en ces points; elles rencontreront la développante respectivement en des points que nous désignerons par M et M«; soient MN = ç, M«N« = ç„, et nommons S l'arc de la développée compris entre les points N et N» , je dis que l'on aura :
Démonstration. Soit F(x,y)=0 Féqualion de la développée, il est clair que « et S seront des fonctions de x telles que
Çea ijjX, S =fX.
Changeons x en a;,ar-j^Ax, x4-2ax, ... ar + **^^ ^^ soient ^i==^(a?+A«), 4r,= ^(a:+2Aa:) , ... ç*-i == v/'Ca-f-n— 1 ax) ,
S4 = ?(a? + Aa;), S, = 9»(x + 2Aa:),... Sn-i = îp(a; + n— 1 Aa?) ,
Sn= y(a; + nAx);
Cela posé, comme les rapports -—, -r — et ■—, s*identifient, pour Aa;=sO, on pourra écrire les égalités :
Aç aS ^
AX AX
AX AX
AÇj aS, ,
=• = H AX»Pa,
AX AX
"T = .^ + A^-Pn-1.
AX AX
On a donc, en ajoutant :
A« A* A« A a; A« A« Ax
etc. + ^+A»-Q,Q=P+P. + ... + P^x.
Mais on a d*un autre côté :
Çfi — Çn^i = A^n-l ;
en ajoutant ces équations, et en divisant la somme par Ax^ on
trouve
çn-ç Al ^ AfL + etc. + ^'^^
Ax A^ A» A^
On a donc aussi :
